2023届高考数学一轮复习精选用卷 第三章 函数、导数及其应用 考点8 函数的单调性+答案解析

这是一份2023届高考数学一轮复习精选用卷 第三章 函数、导数及其应用 考点8 函数的单调性+答案解析，共14页。试卷主要包含了基础小题，高考小题，模拟小题等内容，欢迎下载使用。
考点测试8　函数的单调性
高考
概览
本考点是高考的常考知识点，常与函数的奇偶性、周期性相结合综合考查．题型为选择题、填空题，分值为5分，难度为低、中、高各种档次
考点
研读
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义
2．会运用基本初等函数的图象分析函数的单调性


一、基础小题
1．下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是(　　)
A．y＝|x| B．y＝3－x
C．y＝ D．y＝－x2＋4
答案　A
解析　函数y＝3－x，y＝，y＝－x2＋4在区间(0，1)上均为减函数，y＝|x|在区间(0，1)上为增函数．故选A.
2．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，4)上(　　)
A．单调递减
B．单调递增
C．先单调递减后单调递增
D．先单调递增后单调递减
答案　C
解析　由函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，对称轴为直线x＝3，知y＝x2－6x＋10在区间(2，4)上先单调递减后单调递增．故选C.
3．若函数f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的减函数，则实数a的取值范围为(　　)
A． B．
C． D．
答案　D
解析　当2a－11时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
答案　D
解析　因为f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f＝f.由x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)c.
9．(多选)已知函数f(x)＝log(x2－2x－3)，规定区间E，对任意x1，x2∈E，当x13或x0，则a的取值范围是________．
答案　
解析　由f(x)＝＝a＋，且y＝f(x)在(－2，＋∞)上是增函数，得1－2a.
二、高考小题
13．(2021·全国甲卷)下列函数中是增函数的为(　　)
A．f(x)＝－x B．f(x)＝
C．f(x)＝x2 D．f(x)＝
答案　D
解析　解法一(排除法)：取x1＝－1，x2＝0，对于A，有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以A不符合题意；对于B，有f(x1)＝，f(x2)＝1，所以B不符合题意；对于C，有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以C不符合题意．故选D.
解法二(图象法)：如图，在同一平面直角坐标系中分别作出A，B，C，D四个选项中函数的大致图象，由图可快速直观地判断D项符合题意．故选D.


14．(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－1|，则f(x)(　　)
A．是偶函数，且在单调递增
B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增
D．是奇函数，且在单调递减
答案　D
解析　f(x)＝ln |2x＋1|－ln |2x－1|的定义域为，关于坐标原点对称，又f(－x)＝ln |1－2x|－ln |－2x－1|＝ln |2x－1|－ln |2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)为定义域上的奇函数，可排除A，C；当x∈时，f(x)＝ln (2x＋1)－ln (1－2x)，∵y＝ln (2x＋1)在上单调递增，y＝ln (1－2x)在上单调递减，∴f(x)在上单调递增，排除B；当x∈时，f(x)＝ln (－2x－1)－ln (1－2x)＝ln ＝ln ，∵μ＝1＋在上单调递减，f(μ)＝ln μ在定义域内单调递增，∴根据复合函数单调性可知f(x)在上单调递减，D正确．故选D.
15．(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y＜3－x－3－y，则(　　)
A．ln (y－x＋1)＞0 B．ln (y－x＋1)＜0
C．ln |x－y|＞0 D．ln |x－y|＜0
答案　A
解析　由2x－2y＜3－x－3－y，得2x－3－x＜2y－3－y.令f(t)＝2t－3－t，∵y＝2x为R上的增函数，y＝3－x为R上的减函数，∴f(t)为R上的增函数．∴x＜y，∴y－x＞0，∴y－x＋1＞1，∴ln (y－x＋1)＞0，故A正确，B错误．∵|x－y|与1的大小关系不确定，故C，D无法确定．故选A.
16．(2020·新高考Ⅰ卷)若定义在R的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　)
A．[－1，1]∪[3，＋∞)
B．[－3，－1]∪[0，1]
C．[－1，0]∪[1，＋∞)
D．[－1，0]∪[1，3]
答案　D
解析　因为定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)上单调递减，且f(2)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上也单调递减，且f(－2)＝0，f(0)＝0，所以当x∈(－∞，－2)∪(0，2)时，f(x)>0；当x∈(－2，0)∪(2，＋∞)时，f(x)f(2)>f(2)
B．f>f(2)>f(2)
C．f(2)>f(2)>f
D．f(2)>f(2)>f
答案　C
解析　因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f＝f(－log34)＝f(log34).又因为log34>1>2>2>0，且函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，所以f(log34)0，a≠1)在R上是减函数，∴02；当x>1时，f(x)＋f(x－1)>2成立；当x≤1时，f(x)＋f(x－1)＝x＋1＋x>2，解得0，
只要a0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．
(1)求F(x)的表达式；
(2)当x∈[－2，2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．
解　(1)因为f(－1)＝0，所以a－b＋1＝0，
所以b＝a＋1，所以f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.
因为对任意实数x均有f(x)≥0成立，
所以
所以
所以a＝1，从而b＝2，所以f(x)＝x2＋2x＋1，
所以F(x)＝
(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.
因为g(x)在[－2，2]上是单调函数，
所以≤－2或≥2，
解得k≤－2或k≥6.
故实数k的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞).
3．(2021·陕西西安长安区大联考)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x>1时，f(x)>0.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：f(x)为增函数；
(3)若f＝－1，求f(x)在上的最值.
解　(1)因为函数f(x)满足f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，
令x1＝x2＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.
(2)证明：设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，
则>1，所以f>0，
所以f(x1)－f(x2)＝f－f(x2)
＝f(x2)＋f－f(x2)＝f>0，
所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
(3)由(2)得f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
若f＝－1，则f＋f＝f＝－2，
因为f＝f(1)＝f＋f(5)＝0，
所以f(5)＝1，则f(5)＋f(5)＝f(25)＝2，
f(5)＋f(25)＝f(125)＝3，
即f(x)在上的最小值为－2，最大值为3.
4．(2022·湖南湘潭摸底)已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1，1]，a＋b≠0，有>0成立．
(1)判断函数f(x)在[－1，1]上是增函数还是减函数，并加以证明；
(2)解不等式f>f；
(3)若对所有x∈[－1，1]，a∈[－1，1]，m2－2am＋1≥f(x)恒成立，求实数m的取值范围．
解　(1)f(x)在[－1，1]上是增函数，证明如下：
任取x1，x2∈[－1，1]，且x10，x1－x2