【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件培优课　直线中的对称问题

培优课　直线中的对称问题

对称问题是解析几何中比较典型、高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称；直线关于直线的对称. 本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.

类型一　点关于点的对称问题

例1 求点A(2，4)关于点B(3，5)的对称点C的坐标.

解　由题意知，B是线段AC的中点.

设点C(x，y)，由中点坐标公式有

解得故C(4，6).

思维升华　点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类.点关于点的对称问题常利用中点坐标公式.点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y).

类型二　点关于直线的对称问题

例2 求点A(1，3)关于直线l：x＋2y－3＝0的对称点A′的坐标.

解　据分析，直线l与直线AA′垂直，并且平分线段AA′.设A′的坐标为(x，y)，则AA′的中点B的坐标为，kAA′＝.

由题意可知，

解得

故所求点A′的坐标为.

思维升华　点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：(1)两点连线与已知直线斜率乘积等于－1；(2)两点所连线段的中点在已知直线上.

类型三　直线关于某点对称的问题

例3 求直线2x＋11y＋16＝0关于点P(0，1)对称的直线方程.

解　法一　 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x＋11y＋c＝0(c≠16).

由点到直线的距离公式，

得＝，

即|11＋c|＝27，得c＝16(即为已知直线，舍去)或c＝－38.

故所求对称直线方程为2x＋11y－38＝0.

法二　 在直线2x＋11y＋16＝0上取一点A(－8，0)，则点A(－8，0)关于P(0，1)的对称点为B(8，2).

 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x＋11y＋c＝0(c≠16).

将B(8，2)代入，解得c＝－38.

故所求对称直线方程为2x＋11y－38＝0.

思维升华　直线关于点的对称直线通常用转移或取特殊点来求.设l的方程为Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，点P(x0，y0)，则l关于P点的对称直线方程为A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.

类型四　直线关于直线的对称问题

例4 求直线l1：x－y－1＝0关于直线l2：x－y＋1＝0对称的直线l的方程.

解　根据分析，可设直线l的方程为x－y＋c＝0，在直线l1：x－y－1＝0上取点M(1，0)，则易求得M关于直线l2：x－y＋1＝0的对称点为N(－1，2)，

将N的坐标代入方程x－y＋c＝0，

解得c＝3，

故所求直线l的方程为x－y＋3＝0.

例5 求直线l1：x－y－2＝0关于直线l2：x＋2y＋1＝0对称的直线l的方程.

解　由题意知直线l1与l2相交，

由解得

即交点为P(1，－1).

在直线l1上任取一点A(0，－2)，则点A关于直线l2对称的点A′(x，y)满足

解得A′.

由直线的两点式得＝，

即直线l的方程为7x－y－8＝0.

思维升华　直线关于直线对称问题，包含有两种情形：(1)两直线平行；(2)两直线相交. 对于(1)，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于(2)，其一般解法为先求交点，再转化为点关于直线对称问题，利用两点式写出直线方程.