【最新版】高中数学（新苏教版）习题+同步课件培优课　利用导数研究函数零点

培优课　利用导数研究函数零点

1.解决函数y＝f(x)的零点问题，可通过求导判断函数图象的位置、形状和发展趋势，观察图象与x轴的位置关系，利用数形结合的思想方法判断函数的零点是否存在及零点的个数等.

2.通过等价变形，可将“函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点”与“方程f(x)＝g(x)的解”相互转化.

类型一　判断零点的个数

例1 已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数.

解　(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，

∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.

∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.

故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.

(2)由(1)知g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2，

∴g(x)的定义域为(0，＋∞)，

g′(x)＝1＋－＝，

令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.

当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下表：

当0<x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4<0，

当x>3时，g(e5)＝e5－－20－2>25－1－22＝9>0，

又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，

因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点，

故g(x)仅有1个零点.

思维升华　利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法

(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化为确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数.

(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数.

类型二　已知函数零点个数求参数的取值范围

例2 函数f(x)＝ax＋xln x在x＝1处取得极值.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围.

解　(1)函数f(x)＝ax＋xln x的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝a＋ln x＋1.

因为f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，

故f(x)＝－x＋xln x，f′(x)＝ln x，

令f′(x)>0，解得x>1；

令f′(x)<0，解得0<x<1.

所以f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1).

(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，可转化为y＝f(x)与y＝m＋1的图象有两个不同的交点.

由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝－1.

由题意得，m＋1>－1，

即m>－2，①

当0<x<e时，f(x)＝x(－1＋ln x)<0；当x>e时，f(x)>0.

当x>0且x→0时，f(x)→0；

当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞.

由图象可知，m＋1<0，

即m<－1，②

由①②可得－2<m<－1.

所以m的取值范围是(－2，－1).

思维升华　与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题.