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河南省信阳市浉河区新时代学校2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)
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这是一份河南省信阳市浉河区新时代学校2021-2022学年八年级下学期期末数学试卷(word版含答案)，共28页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省信阳市浉河区新时代学校八年级（下）
期末数学试卷
一、选择题（大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）成都市某医院开展了主题为“抗击疫情，迎战硝烟”的护士技能比赛活动，决赛中5名护士的成绩（单位：分）分别为：88，93，90，93，92，则这组数据的中位数是（ ）
A．88 B．90 C．92 D．93
2．（3分）函数y＝自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x≤5 C．x≤5且x≠3 D．x＜5且x≠3
3．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．8 B．12 C．18 D．20
4．（3分）一次函数y＝﹣2x﹣3的图象和性质．叙述正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．与y轴交于点（0，﹣2）
C．函数图象不经过第一象限
D．与x轴交于点（﹣3，0）
5．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．2+
C．＝3 D．（﹣1）2＝3﹣2
6．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．方差越大，数据越稳定
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．矩形的对角线互相垂直
D．在实数范围内有意义的条件是a＞0
7．（3分）如图所示，函数y1＝|x|和y2＝x+的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜﹣1或x＞2
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
9．（3分）A，B两地相距80km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，l1，l2分别表示甲、乙两人离B地的距离y（km）与骑车时间x（h）的函数关系．根据图象得出的下列结论，正确的个数是（ ）
①甲骑车速度为30km/小时，乙的速度为20km/小时；
②l1的函数表达式为y＝80﹣30x；
③l2的函数表达式为y＝20x；
④小时后两人相遇．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，已知直线l：y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，以OB1为半径作弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2，为半径作弧交x轴于点A3……按此作法进行下去，则点An的坐标为（ ）
A．（2n，0） B．（2n﹣1，0） C．（2n+1，0） D．（2n+2，0）
二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 ．
12．（3分）将直线y＝﹣2x向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，△DEF的周长是11，则AB＝ ．
14．（3分）定义一种新函数：对于给定的一次函数y＝kx+b（k≠0），我们称函数为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“相关函数”．已知一次函数y＝2x﹣1，若点A（a，3）在该函数的“相关函数”的图象上，则a的值为 ．
15．（3分）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发，沿B→A→D→C的方向以每秒1cm的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t的函数图象如图②所示，则AD＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（6分）计算：
（1）﹣3+；
（2）（﹣）（+）+（﹣2）2．
17．（8分）星期天小明去钓鱼，鱼钩A在离水面BD1.3米处，在距离鱼线1.2米处D点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2m/s的速度向鱼饵游来，那么这条鱼至少几秒后才能到这鱼饵处？
18．（10分）新华学校团支部发起了以“完善自我，服务社会：关爱弱势，大写人生”为主题的志愿活动，鼓励和倡导大家在暑假期间积极参加志愿活动，开学后该校团支部抽取了部分学生进行调查，并对他们参加志愿活动的次数进行了统计，根据调查情况绘制成的统计图表如下：
被抽取学生参加志愿活动的次数统计表：
次数
1
2
3
4
5
6
人数
1
2
a
6
b
2
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）这组暑假的中位数和众数各是多少？
（3）若该校初二年级共有700名学生，请估计初二年级中参加志愿活动在4次及以上的学生人数；若要提高学生们主动参加志愿活动的意识，请你帮忙提出两条建议．
19．（10分）已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．
（1）求证：BD、EF互相平分；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．
20．（10分）已知点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上，直线l和函数y＝﹣4x+a的图象交于点B．
（1）求直线l的表达式；
（2）若点B的横坐标是1，求关于x、y的方程组的解及a的值．
（3）在（2）的条件下，根据图象比较当x＞1时，kx+b的值与﹣4x+a的值的大小．
21．（10分）2022年翻开序章，冬奥集结号已经吹响，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱，2021年十一月初，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，当月售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元，十二月售出了“冰墩墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为52000元．
（1）求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；
（2）已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为90元/个和60元/个，进入2022年一月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共600个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的2倍，为回馈新老客户，旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若一月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．
22．（11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0，5），点C在x轴正半轴上，OC＝4．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若P为线段BC上一点，且△ABP的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，E为直线AP上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（10分）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．
猜想结论：（要求用文字语言叙述）
写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE长．
2021-2022学年河南省信阳市浉河区新时代学校八年级（下）
期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）成都市某医院开展了主题为“抗击疫情，迎战硝烟”的护士技能比赛活动，决赛中5名护士的成绩（单位：分）分别为：88，93，90，93，92，则这组数据的中位数是（ ）
A．88 B．90 C．92 D．93
【分析】根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：从小到大排列此数据为：88，90，92，93，93，92处在第3位为中位数．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数的知识，属于基础题，掌握中位数的定义是解答本题的关键．
2．（3分）函数y＝自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x≤5 C．x≤5且x≠3 D．x＜5且x≠3
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，5﹣x≥0，x﹣3≠0，
解得，x≤5且x≠3，
故选：C．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0是解题的关键．
3．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．8 B．12 C．18 D．20
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，
∴AB＝＝＝2，
∴正方形的面积＝AB2＝（2）2＝20，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的面积，正确的理解题意是解题的关键．
4．（3分）一次函数y＝﹣2x﹣3的图象和性质．叙述正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．与y轴交于点（0，﹣2）
C．函数图象不经过第一象限
D．与x轴交于点（﹣3，0）
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x﹣3，
∴该函数y随x的增大而减小，故选项A错误；
与y轴交于点（0，﹣3），故选项B错误；
该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故选项C正确；
与x轴交于点（﹣，0），故选项D错误；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
5．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．2+
C．＝3 D．（﹣1）2＝3﹣2
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据完全平方公式对D进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、2与不能合并，所以B选项错误；
C、原式＝＝，所以C选项错误；
D、原式＝2﹣2+1＝3﹣2，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
6．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．方差越大，数据越稳定
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．矩形的对角线互相垂直
D．在实数范围内有意义的条件是a＞0
【分析】根据方差的定义，直角三角形的性质，矩形性质，算术平方根的概念逐项判断．
【解答】解：方差越小，数据越稳定，故A是假命题，不符合题意；
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故B是真命题，符合题意；
矩形的对角线相等，故C是假命题，不符合题意；
在实数范围内有意义的条件是a≥0，故D是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
7．（3分）如图所示，函数y1＝|x|和y2＝x+的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜﹣1或x＞2
【分析】首先由已知得出y1＝x或y1＝﹣x又相交于（﹣1，1），（2，2）两点，根据y1＞y2列出不等式求出x的取值范围．
【解答】解：当x≥0时，y1＝x，又，
∵两直线的交点为（2，2），
∴当x＜0时，y1＝﹣x，又，
∵两直线的交点为（﹣1，1），
由图象可知：当y1＞y2时x的取值范围为：x＜﹣1或x＞2．
故选：D．
【点评】此题考查的是两条直线相交问题，关键要由已知列出不等式，注意象限和符号．
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
【分析】根据正方形的对角线互相垂直可得OA⊥OD，对角线平分一组对角可得∠OAD＝45°，然后求出四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF＝OE，根据等腰直角三角形的性质可得PE＝OE，从而得到PE+PF＝OA，然后根据正方形的性质解答即可．
【解答】解：在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD＝45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝AE，
∴PE+PF＝AE+OE＝OA，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴OA＝AC＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
9．（3分）A，B两地相距80km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，l1，l2分别表示甲、乙两人离B地的距离y（km）与骑车时间x（h）的函数关系．根据图象得出的下列结论，正确的个数是（ ）
①甲骑车速度为30km/小时，乙的速度为20km/小时；
②l1的函数表达式为y＝80﹣30x；
③l2的函数表达式为y＝20x；
④小时后两人相遇．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据速度＝，即可求出两人的速度，利用待定系数法求出一次函数和正比例函数解析式即可判定②③正确，利用方程组求出交点的横坐标即可判断④即可．
【解答】解：甲骑车速度为＝30km/小时，乙的速度为＝20km/小时，故①正确，
设l1的表达式为y＝kx+b，把（0，80），（1，50）代入得到：，
解得，
∴直线l1的解析式为y＝﹣30x+80，故②正确，
设直线l2的解析式为y＝k′x，把（3，60）代入得到k′＝20，
∴直线l2的解析式为y＝20x，故③正确，
由，解得x＝，
∴小时后两人相遇，故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，已知直线l：y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，以OB1为半径作弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2，为半径作弧交x轴于点A3……按此作法进行下去，则点An的坐标为（ ）
A．（2n，0） B．（2n﹣1，0） C．（2n+1，0） D．（2n+2，0）
【分析】依据直线l为y＝x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，可得A2（2，0），同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，依据规律可得点An的坐标为（2n﹣1，0）．
【解答】解：∵直线l为y＝x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，
∴当x＝1时，y＝，
即B1（1，），
∴tan∠A1OB1＝，
∴∠A1OB1＝60°，∠A1B1O＝30°，
∴OB1＝2OA1＝2，
∵以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2，
∴A2（2，0），
同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，
∴点An的坐标为（2n﹣1，0），
故选：B．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 2 ．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
12．（3分）将直线y＝﹣2x向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为 y＝﹣2x+1 ．
【分析】根据一次函数图象上下平移时解析式的变化规律求解．
【解答】解：将直线y＝﹣2x向上平移1个单位，得到的直线的解析式为y＝﹣2x+1．
故答案为y＝﹣2x+1．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换：对于一次函数y＝kx+b，若函数图象向上平移m（m＞0）个单位，则平移的直线解析式为y＝kx+b+m．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，△DEF的周长是11，则AB＝ 8 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝DF＝AB，EF＝BC，然后代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，
∴DE＝DF＝AB，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，
∵BE⊥AC，
∴EF＝BC＝3，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝11，
∴AB＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．
14．（3分）定义一种新函数：对于给定的一次函数y＝kx+b（k≠0），我们称函数为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“相关函数”．已知一次函数y＝2x﹣1，若点A（a，3）在该函数的“相关函数”的图象上，则a的值为 2或﹣1 ．
【分析】分a≥0及a＜0两种情况考虑，根据“相关函数”的定义及点A（a，3）在该函数的“相关函数”的图象上，即可得出关于a的方程，解之即可得出a的值，取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：当a≥0时，2a﹣1＝3，
解得：a＝2，符合题意；
当a＜0时，﹣2a+1＝3，
解得：a＝﹣1，符合题意．
综上，a的值为2或﹣1．
故答案为：2或﹣1．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，分a≥0及a＜0两种情况，找出关于a的方程是解题的关键．
15．（3分）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发，沿B→A→D→C的方向以每秒1cm的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t的函数图象如图②所示，则AD＝ ．
【分析】根据图1和图2得当t＝3时，点P到达A处，即AB＝3；当S＝15时，点P到达点D处，即可求解．
【解答】解：当t＝3时，点P到达A处，即AB＝3，
过点A作AE⊥CD交CD于点E，则四边形ABCE为矩形，
∵AC＝AD，∴DE＝CE＝CD，
∴CD＝6，
当S＝15时，点P到达点D处，则S＝CD•BC＝（2AB）•BC＝3×BC＝15，
则BC＝5，
由勾股定理得AD＝AC＝，
故答案为：．
【点评】本题以动态的形式考查了分类讨论的思想、函数的知识和等腰三角形，具有很强的综合性．
三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（6分）计算：
（1）﹣3+；
（2）（﹣）（+）+（﹣2）2．
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用平方差公式，完全平方公式，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）﹣3+
＝2﹣+3
＝4；
（2）（﹣）（+）+（﹣2）2
＝5﹣2+7﹣4
＝10﹣4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．（8分）星期天小明去钓鱼，鱼钩A在离水面BD1.3米处，在距离鱼线1.2米处D点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2m/s的速度向鱼饵游来，那么这条鱼至少几秒后才能到这鱼饵处？
【分析】根据题意直接得出AE，EC的长，再利用勾股定理得出AC的长，进而求出答案．
【解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，
由题意可得：EC＝BD＝1.2m，AE＝AB﹣BE＝AB﹣DC＝1.3﹣0.8＝0.5（m），
故AC＝＝＝1.3（m），
则1.3÷0.2＝6.5（s），
答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出AE，EC的长是解题关键．
18．（10分）新华学校团支部发起了以“完善自我，服务社会：关爱弱势，大写人生”为主题的志愿活动，鼓励和倡导大家在暑假期间积极参加志愿活动，开学后该校团支部抽取了部分学生进行调查，并对他们参加志愿活动的次数进行了统计，根据调查情况绘制成的统计图表如下：
被抽取学生参加志愿活动的次数统计表：
次数
1
2
3
4
5
6
人数
1
2
a
6
b
2
（1）a＝ 4 ，b＝ 5 ；
（2）这组暑假的中位数和众数各是多少？
（3）若该校初二年级共有700名学生，请估计初二年级中参加志愿活动在4次及以上的学生人数；若要提高学生们主动参加志愿活动的意识，请你帮忙提出两条建议．
【分析】（1）利用活动次数为4次的学生的数量以及对应的扇形圆心角的度数，即可得到抽取的学生数，利用活动次数为5次的学生数对应的扇形圆心角的度数，即可得到b，进而可得a的值；
（2）根据中位数和众数的定义即可求解；
（3）利用样本估计总体的方法即可求解．
【解答】解：（1）∵被随机抽取的学生共有：6÷＝20（人），
∴活动次数为5次的学生数为：b＝20×＝5，
∴活动次数为5次的学生数为：a＝20﹣1﹣2﹣6﹣5﹣2＝4，
故答案为：4，5；
（2）这组数据的中位数是4，众数是4；
（3）700×＝455（名）．
答：初二年级中参加志愿活动在4次及以上的学生约有455名，
建议：①学校可以多组织一些志愿服务讲座和分享具有志愿精神的事迹；
②班级可以多开展一些以“志愿服务”为主题的班会，和同学们进行心得分享（答案不唯一，合理即可）．
【点评】本题主要考查频数统计表、扇形统计图、用样本估计总体、中位数和众数，根据频数统计表和扇形统计图得出解题所需的数据是解题的关键．
19．（10分）已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．
（1）求证：BD、EF互相平分；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．
【分析】（1）欲证明BD、EF互相平分，只要证明四边形DEBF是平行四边形即可；
（2）根据等边三角形的判定和性质以及解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，
∴AE＝AD，CF＝CB，
∴AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF 即BE＝DF，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴BD、EF互相平分；
（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，
∴△ADE是等边三角形，
∵AD＝4，
∴DE＝AE＝4，
∵AE＝2EB，
∴BE＝GE＝2，
∴BG＝4，
过D点作DG⊥AB于点G，
在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，
∴AG＝AD＝2，
∴DG＝＝2，
∴BD＝＝＝2．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（10分）已知点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上，直线l和函数y＝﹣4x+a的图象交于点B．
（1）求直线l的表达式；
（2）若点B的横坐标是1，求关于x、y的方程组的解及a的值．
（3）在（2）的条件下，根据图象比较当x＞1时，kx+b的值与﹣4x+a的值的大小．
【分析】（1）利用待定系数法求直线l的解析式；
（2）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求方程组的解，然后把B点坐标代入y＝﹣4x+a可求出a的值；
（3）结合函数图象写出直线y＝kx+b在直线y＝﹣4x+a上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）把A（0，4）、C（﹣2，0）代入y＝kx+b得，解得，
∴直线l的解析式为y＝2x+4；
（2）当x＝1时，y＝2x+4＝6，则B（1，6），
∵直线l和函数y＝﹣4x+a的图象交于点B．
∴关于x、y的方程组的解为；
把B（1，6）代入y＝﹣4x+a得﹣4+a＝6，解得a＝10；
（3）当x＞1时，kx+b＞﹣4x+a．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
21．（10分）2022年翻开序章，冬奥集结号已经吹响，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱，2021年十一月初，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，当月售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元，十二月售出了“冰墩墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为52000元．
（1）求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；
（2）已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为90元/个和60元/个，进入2022年一月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共600个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的2倍，为回馈新老客户，旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若一月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．
【分析】（1）设“冰墩墩”的销售单价为x元，“雪容融”的销售单价为y元，利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合去年十一月及十二月的销售量及销售总额，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润＝“冰墩墩”和“雪熔融”利润之和列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设“冰墩墩”的销售单价为x元，“雪容融”的销售单价为y元，
依题意得：，
解得：，
答：“冰墩墩”的销售单价为120元，“雪容融”的销售单价为80元；
（2）设购进“冰墩墩”m个，则购进“雪容融”（600﹣m）个，该旗舰店当月销售利润为w元，
依题意得：w＝（120﹣120×10%﹣90）m+（80﹣60）（600﹣m）＝﹣2m+12000，
∵，
解得：200≤m≤600，
∵﹣2＜0，
∴当m＝200时，w最大，最大值为11600，
∴“冰墩墩”购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元．
【点评】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出函数解析式．
22．（11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0，5），点C在x轴正半轴上，OC＝4．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若P为线段BC上一点，且△ABP的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，E为直线AP上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由点C在x轴正半轴上，OC＝4，得C（4，0），用待定系数法即得直线BC的解析式为y＝﹣x+5；
（2）过P作PH⊥AC于H，设P（n，﹣n+5），PH＝﹣n+5，将B（0，5）代入y＝x+b可得y＝x+5，A（﹣2，0），根据△ABP的面积等于△AOB的面积，有15﹣（﹣n+15）＝×2×5，即可解得P（，）；
（3）由A（﹣2，0），P（，）代入得直线AP解析式为y＝x+2，设E（p，p+2），D（q，0），又B（0，5），C（4，0），分3种情况：①若ED，BC为对角线，则ED，BC的中点重合，可得，即可解得D（1，0）；②若EB，DC为对角线，，D（﹣11，0）；③若EC，DB为对角线，，D（7，0）．
【解答】解：（1）∵点C在x轴正半轴上，OC＝4，
∴C（4，0），
由B（0，5）设直线BC解析式为y＝mx+5，
将C（4，0）代入得：0＝4m+5，
解得m＝﹣，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5；
（2）过P作PH⊥AC于H，如图：
设P（n，﹣n+5），则PH＝﹣n+5，
将B（0，5）代入y＝x+b得：
b＝5，
∴y＝x+5，
在y＝x+5中，令y＝0得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AC＝6，
∴S△ABC＝AC•OB＝×6×5＝15，S△APC＝AC•PH＝×6×（﹣n+5）＝﹣n+15，
∵△ABP的面积等于△AOB的面积，
∴15﹣（﹣n+15）＝×2×5，
解得n＝，
∴P（，）；
（3）存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
设直线AP解析式为y＝kx+t，将A（﹣2，0），P（，）代入得：
，
解得，
∴直线AP解析式为y＝x+2，
设E（p，p+2），D（q，0），又B（0，5），C（4，0），
①若ED，BC为对角线，则ED，BC的中点重合，如图：
∴，
解得，
∴D（1，0）；
②若EB，DC为对角线，同理可得：
，
解得，
∴D（﹣11，0）；
③若EC，DB为对角线，
∴，
解得，
∴D（7，0），
综上所述，D的坐标为（1，0）或（﹣11，0）或（7，0）．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分列方程解决问题．
23．（10分）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．
猜想结论：（要求用文字语言叙述） 垂美四边形两组对边的平方和相等
写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE长．
【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．
【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．
证明：∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，
求证：AD2+BC2＝AB2+CD2
证明：∵AC⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）连接CG、BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE，
∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，
∴GE＝．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
2021-2022学年河南省信阳市浉河区新时代学校八年级（下）
期末数学试卷
一、选择题（大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）成都市某医院开展了主题为“抗击疫情，迎战硝烟”的护士技能比赛活动，决赛中5名护士的成绩（单位：分）分别为：88，93，90，93，92，则这组数据的中位数是（ ）
A．88 B．90 C．92 D．93
2．（3分）函数y＝自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x≤5 C．x≤5且x≠3 D．x＜5且x≠3
3．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．8 B．12 C．18 D．20
4．（3分）一次函数y＝﹣2x﹣3的图象和性质．叙述正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．与y轴交于点（0，﹣2）
C．函数图象不经过第一象限
D．与x轴交于点（﹣3，0）
5．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．2+
C．＝3 D．（﹣1）2＝3﹣2
6．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．方差越大，数据越稳定
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．矩形的对角线互相垂直
D．在实数范围内有意义的条件是a＞0
7．（3分）如图所示，函数y1＝|x|和y2＝x+的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜﹣1或x＞2
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
9．（3分）A，B两地相距80km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，l1，l2分别表示甲、乙两人离B地的距离y（km）与骑车时间x（h）的函数关系．根据图象得出的下列结论，正确的个数是（ ）
①甲骑车速度为30km/小时，乙的速度为20km/小时；
②l1的函数表达式为y＝80﹣30x；
③l2的函数表达式为y＝20x；
④小时后两人相遇．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，已知直线l：y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，以OB1为半径作弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2，为半径作弧交x轴于点A3……按此作法进行下去，则点An的坐标为（ ）
A．（2n，0） B．（2n﹣1，0） C．（2n+1，0） D．（2n+2，0）
二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 ．
12．（3分）将直线y＝﹣2x向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，△DEF的周长是11，则AB＝ ．
14．（3分）定义一种新函数：对于给定的一次函数y＝kx+b（k≠0），我们称函数为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“相关函数”．已知一次函数y＝2x﹣1，若点A（a，3）在该函数的“相关函数”的图象上，则a的值为 ．
15．（3分）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发，沿B→A→D→C的方向以每秒1cm的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t的函数图象如图②所示，则AD＝ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（6分）计算：
（1）﹣3+；
（2）（﹣）（+）+（﹣2）2．
17．（8分）星期天小明去钓鱼，鱼钩A在离水面BD1.3米处，在距离鱼线1.2米处D点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2m/s的速度向鱼饵游来，那么这条鱼至少几秒后才能到这鱼饵处？
18．（10分）新华学校团支部发起了以“完善自我，服务社会：关爱弱势，大写人生”为主题的志愿活动，鼓励和倡导大家在暑假期间积极参加志愿活动，开学后该校团支部抽取了部分学生进行调查，并对他们参加志愿活动的次数进行了统计，根据调查情况绘制成的统计图表如下：
被抽取学生参加志愿活动的次数统计表：
次数
1
2
3
4
5
6
人数
1
2
a
6
b
2
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）这组暑假的中位数和众数各是多少？
（3）若该校初二年级共有700名学生，请估计初二年级中参加志愿活动在4次及以上的学生人数；若要提高学生们主动参加志愿活动的意识，请你帮忙提出两条建议．
19．（10分）已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．
（1）求证：BD、EF互相平分；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．
20．（10分）已知点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上，直线l和函数y＝﹣4x+a的图象交于点B．
（1）求直线l的表达式；
（2）若点B的横坐标是1，求关于x、y的方程组的解及a的值．
（3）在（2）的条件下，根据图象比较当x＞1时，kx+b的值与﹣4x+a的值的大小．
21．（10分）2022年翻开序章，冬奥集结号已经吹响，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱，2021年十一月初，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，当月售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元，十二月售出了“冰墩墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为52000元．
（1）求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；
（2）已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为90元/个和60元/个，进入2022年一月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共600个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的2倍，为回馈新老客户，旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若一月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．
22．（11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0，5），点C在x轴正半轴上，OC＝4．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若P为线段BC上一点，且△ABP的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，E为直线AP上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
23．（10分）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．
猜想结论：（要求用文字语言叙述）
写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE长．
2021-2022学年河南省信阳市浉河区新时代学校八年级（下）
期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
1．（3分）成都市某医院开展了主题为“抗击疫情，迎战硝烟”的护士技能比赛活动，决赛中5名护士的成绩（单位：分）分别为：88，93，90，93，92，则这组数据的中位数是（ ）
A．88 B．90 C．92 D．93
【分析】根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：从小到大排列此数据为：88，90，92，93，93，92处在第3位为中位数．
故选：C．
【点评】本题考查了中位数的知识，属于基础题，掌握中位数的定义是解答本题的关键．
2．（3分）函数y＝自变量x的取值范围是（ ）
A．x≠3 B．x≤5 C．x≤5且x≠3 D．x＜5且x≠3
【分析】根据二次根式有意义的条件、分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得，5﹣x≥0，x﹣3≠0，
解得，x≤5且x≠3，
故选：C．
【点评】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分式的分母不为0是解题的关键．
3．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2．以AB为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）
A．8 B．12 C．18 D．20
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，
∴AB＝＝＝2，
∴正方形的面积＝AB2＝（2）2＝20，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，正方形的面积，正确的理解题意是解题的关键．
4．（3分）一次函数y＝﹣2x﹣3的图象和性质．叙述正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大
B．与y轴交于点（0，﹣2）
C．函数图象不经过第一象限
D．与x轴交于点（﹣3，0）
【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣2x﹣3，
∴该函数y随x的增大而减小，故选项A错误；
与y轴交于点（0，﹣3），故选项B错误；
该函数图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故选项C正确；
与x轴交于点（﹣，0），故选项D错误；
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
5．（3分）下列运算结果正确的是（ ）
A． B．2+
C．＝3 D．（﹣1）2＝3﹣2
【分析】根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据完全平方公式对D进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、2与不能合并，所以B选项错误；
C、原式＝＝，所以C选项错误；
D、原式＝2﹣2+1＝3﹣2，所以D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
6．（3分）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．方差越大，数据越稳定
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．矩形的对角线互相垂直
D．在实数范围内有意义的条件是a＞0
【分析】根据方差的定义，直角三角形的性质，矩形性质，算术平方根的概念逐项判断．
【解答】解：方差越小，数据越稳定，故A是假命题，不符合题意；
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故B是真命题，符合题意；
矩形的对角线相等，故C是假命题，不符合题意；
在实数范围内有意义的条件是a≥0，故D是假命题，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握教材上相关的概念和定理．
7．（3分）如图所示，函数y1＝|x|和y2＝x+的图象相交于（﹣1，1），（2，2）两点．当y1＞y2时，x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜﹣1或x＞2
【分析】首先由已知得出y1＝x或y1＝﹣x又相交于（﹣1，1），（2，2）两点，根据y1＞y2列出不等式求出x的取值范围．
【解答】解：当x≥0时，y1＝x，又，
∵两直线的交点为（2，2），
∴当x＜0时，y1＝﹣x，又，
∵两直线的交点为（﹣1，1），
由图象可知：当y1＞y2时x的取值范围为：x＜﹣1或x＞2．
故选：D．
【点评】此题考查的是两条直线相交问题，关键要由已知列出不等式，注意象限和符号．
8．（3分）如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF的值为（ ）
A．4 B．2 C． D．2
【分析】根据正方形的对角线互相垂直可得OA⊥OD，对角线平分一组对角可得∠OAD＝45°，然后求出四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，再根据矩形的对边相等可得PF＝OE，根据等腰直角三角形的性质可得PE＝OE，从而得到PE+PF＝OA，然后根据正方形的性质解答即可．
【解答】解：在正方形ABCD中，OA⊥OB，∠OAD＝45°，
∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴四边形OEPF为矩形，△AEP是等腰直角三角形，
∴PF＝OE，PE＝AE，
∴PE+PF＝AE+OE＝OA，
∵正方形ABCD的边长为2，
∴OA＝AC＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
9．（3分）A，B两地相距80km，甲、乙两人骑车分别从A，B两地同时相向而行，他们都保持匀速行驶．如图，l1，l2分别表示甲、乙两人离B地的距离y（km）与骑车时间x（h）的函数关系．根据图象得出的下列结论，正确的个数是（ ）
①甲骑车速度为30km/小时，乙的速度为20km/小时；
②l1的函数表达式为y＝80﹣30x；
③l2的函数表达式为y＝20x；
④小时后两人相遇．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据速度＝，即可求出两人的速度，利用待定系数法求出一次函数和正比例函数解析式即可判定②③正确，利用方程组求出交点的横坐标即可判断④即可．
【解答】解：甲骑车速度为＝30km/小时，乙的速度为＝20km/小时，故①正确，
设l1的表达式为y＝kx+b，把（0，80），（1，50）代入得到：，
解得，
∴直线l1的解析式为y＝﹣30x+80，故②正确，
设直线l2的解析式为y＝k′x，把（3，60）代入得到k′＝20，
∴直线l2的解析式为y＝20x，故③正确，
由，解得x＝，
∴小时后两人相遇，故④正确，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数的应用，速度、时间、路程之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
10．（3分）如图，已知直线l：y＝x，过点A1（1，0）作A1B1⊥x轴，与直线l交于点B1，以原点O为圆心，以OB1为半径作弧交x轴于点A2；再作A2B2⊥x轴，交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2，为半径作弧交x轴于点A3……按此作法进行下去，则点An的坐标为（ ）
A．（2n，0） B．（2n﹣1，0） C．（2n+1，0） D．（2n+2，0）
【分析】依据直线l为y＝x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，可得A2（2，0），同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，依据规律可得点An的坐标为（2n﹣1，0）．
【解答】解：∵直线l为y＝x，点A1（1，0），A1B1⊥x轴，
∴当x＝1时，y＝，
即B1（1，），
∴tan∠A1OB1＝，
∴∠A1OB1＝60°，∠A1B1O＝30°，
∴OB1＝2OA1＝2，
∵以原点O为圆心，OB1长为半径画圆弧交x轴于点A2，
∴A2（2，0），
同理可得，A3（4，0），A4（8，0），…，
∴点An的坐标为（2n﹣1，0），
故选：B．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题时注意：直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
二.填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 2 ．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为2，
故答案为：2．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
12．（3分）将直线y＝﹣2x向上平移1个单位长度，平移后直线的解析式为 y＝﹣2x+1 ．
【分析】根据一次函数图象上下平移时解析式的变化规律求解．
【解答】解：将直线y＝﹣2x向上平移1个单位，得到的直线的解析式为y＝﹣2x+1．
故答案为y＝﹣2x+1．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换：对于一次函数y＝kx+b，若函数图象向上平移m（m＞0）个单位，则平移的直线解析式为y＝kx+b+m．
13．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB的中点，△DEF的周长是11，则AB＝ 8 ．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE＝DF＝AB，EF＝BC，然后代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵AF⊥BC，BE⊥AC，D是AB的中点，
∴DE＝DF＝AB，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴点F是BC的中点，∴BF＝FC＝3，
∵BE⊥AC，
∴EF＝BC＝3，
∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝AB+3＝11，
∴AB＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记各性质是解题的关键．
14．（3分）定义一种新函数：对于给定的一次函数y＝kx+b（k≠0），我们称函数为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“相关函数”．已知一次函数y＝2x﹣1，若点A（a，3）在该函数的“相关函数”的图象上，则a的值为 2或﹣1 ．
【分析】分a≥0及a＜0两种情况考虑，根据“相关函数”的定义及点A（a，3）在该函数的“相关函数”的图象上，即可得出关于a的方程，解之即可得出a的值，取其符合题意的值即可得出结论．
【解答】解：当a≥0时，2a﹣1＝3，
解得：a＝2，符合题意；
当a＜0时，﹣2a+1＝3，
解得：a＝﹣1，符合题意．
综上，a的值为2或﹣1．
故答案为：2或﹣1．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，分a≥0及a＜0两种情况，找出关于a的方程是解题的关键．
15．（3分）如图①，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AC＝AD．动点P从点B出发，沿B→A→D→C的方向以每秒1cm的速度匀速运动，在整个运动过程中，△BCP的面积S与运动时间t的函数图象如图②所示，则AD＝ ．
【分析】根据图1和图2得当t＝3时，点P到达A处，即AB＝3；当S＝15时，点P到达点D处，即可求解．
【解答】解：当t＝3时，点P到达A处，即AB＝3，
过点A作AE⊥CD交CD于点E，则四边形ABCE为矩形，
∵AC＝AD，∴DE＝CE＝CD，
∴CD＝6，
当S＝15时，点P到达点D处，则S＝CD•BC＝（2AB）•BC＝3×BC＝15，
则BC＝5，
由勾股定理得AD＝AC＝，
故答案为：．
【点评】本题以动态的形式考查了分类讨论的思想、函数的知识和等腰三角形，具有很强的综合性．
三、解答题（本大题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（6分）计算：
（1）﹣3+；
（2）（﹣）（+）+（﹣2）2．
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用平方差公式，完全平方公式，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）﹣3+
＝2﹣+3
＝4；
（2）（﹣）（+）+（﹣2）2
＝5﹣2+7﹣4
＝10﹣4．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．（8分）星期天小明去钓鱼，鱼钩A在离水面BD1.3米处，在距离鱼线1.2米处D点的水下0.8米处有一条鱼发现了鱼饵，于是以0.2m/s的速度向鱼饵游来，那么这条鱼至少几秒后才能到这鱼饵处？
【分析】根据题意直接得出AE，EC的长，再利用勾股定理得出AC的长，进而求出答案．
【解答】解：如图所示：过点C作CE⊥AB于点E，连接AC，
由题意可得：EC＝BD＝1.2m，AE＝AB﹣BE＝AB﹣DC＝1.3﹣0.8＝0.5（m），
故AC＝＝＝1.3（m），
则1.3÷0.2＝6.5（s），
答：这条鱼至少6.5秒后才能到这鱼饵处．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意得出AE，EC的长是解题关键．
18．（10分）新华学校团支部发起了以“完善自我，服务社会：关爱弱势，大写人生”为主题的志愿活动，鼓励和倡导大家在暑假期间积极参加志愿活动，开学后该校团支部抽取了部分学生进行调查，并对他们参加志愿活动的次数进行了统计，根据调查情况绘制成的统计图表如下：
被抽取学生参加志愿活动的次数统计表：
次数
1
2
3
4
5
6
人数
1
2
a
6
b
2
（1）a＝ 4 ，b＝ 5 ；
（2）这组暑假的中位数和众数各是多少？
（3）若该校初二年级共有700名学生，请估计初二年级中参加志愿活动在4次及以上的学生人数；若要提高学生们主动参加志愿活动的意识，请你帮忙提出两条建议．
【分析】（1）利用活动次数为4次的学生的数量以及对应的扇形圆心角的度数，即可得到抽取的学生数，利用活动次数为5次的学生数对应的扇形圆心角的度数，即可得到b，进而可得a的值；
（2）根据中位数和众数的定义即可求解；
（3）利用样本估计总体的方法即可求解．
【解答】解：（1）∵被随机抽取的学生共有：6÷＝20（人），
∴活动次数为5次的学生数为：b＝20×＝5，
∴活动次数为5次的学生数为：a＝20﹣1﹣2﹣6﹣5﹣2＝4，
故答案为：4，5；
（2）这组数据的中位数是4，众数是4；
（3）700×＝455（名）．
答：初二年级中参加志愿活动在4次及以上的学生约有455名，
建议：①学校可以多组织一些志愿服务讲座和分享具有志愿精神的事迹；
②班级可以多开展一些以“志愿服务”为主题的班会，和同学们进行心得分享（答案不唯一，合理即可）．
【点评】本题主要考查频数统计表、扇形统计图、用样本估计总体、中位数和众数，根据频数统计表和扇形统计图得出解题所需的数据是解题的关键．
19．（10分）已知：如图所示，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F，连接BD、EF．
（1）求证：BD、EF互相平分；
（2）若∠A＝60°，AE＝2EB，AD＝4，求线段BD的长．
【分析】（1）欲证明BD、EF互相平分，只要证明四边形DEBF是平行四边形即可；
（2）根据等边三角形的判定和性质以及解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC，
∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，
∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF，
∵CD∥AB，
∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF，
∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF，
∴AE＝AD，CF＝CB，
∴AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF 即BE＝DF，
∵DF∥BE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
∴BD、EF互相平分；
（2）∵∠A＝60°，AE＝AD，
∴△ADE是等边三角形，
∵AD＝4，
∴DE＝AE＝4，
∵AE＝2EB，
∴BE＝GE＝2，
∴BG＝4，
过D点作DG⊥AB于点G，
在Rt△ADG中，AD＝4，∠A＝60°，
∴AG＝AD＝2，
∴DG＝＝2，
∴BD＝＝＝2．
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（10分）已知点A（0，4）、C（﹣2，0）在直线l：y＝kx+b上，直线l和函数y＝﹣4x+a的图象交于点B．
（1）求直线l的表达式；
（2）若点B的横坐标是1，求关于x、y的方程组的解及a的值．
（3）在（2）的条件下，根据图象比较当x＞1时，kx+b的值与﹣4x+a的值的大小．
【分析】（1）利用待定系数法求直线l的解析式；
（2）利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求方程组的解，然后把B点坐标代入y＝﹣4x+a可求出a的值；
（3）结合函数图象写出直线y＝kx+b在直线y＝﹣4x+a上方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：（1）把A（0，4）、C（﹣2，0）代入y＝kx+b得，解得，
∴直线l的解析式为y＝2x+4；
（2）当x＝1时，y＝2x+4＝6，则B（1，6），
∵直线l和函数y＝﹣4x+a的图象交于点B．
∴关于x、y的方程组的解为；
把B（1，6）代入y＝﹣4x+a得﹣4+a＝6，解得a＝10；
（3）当x＞1时，kx+b＞﹣4x+a．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．也考查了待定系数法求一次函数解析式．
21．（10分）2022年翻开序章，冬奥集结号已经吹响，冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”深受广大人民的喜爱，2021年十一月初，奥林匹克官方旗舰店上架了“冰墩墩”和“雪容融”这两款毛绒玩具，当月售出了“冰墩墩”200个和“雪容融”100个，销售总额为32000元，十二月售出了“冰墩墩”300个和“雪容融”200个，销售总额为52000元．
（1）求“冰墩墩”和“雪容融”的销售单价；
（2）已知“冰墩墩”和“雪容融”的成本分别为90元/个和60元/个，进入2022年一月后，这两款毛绒玩具持续热销，于是旗舰店再购进了这两款毛绒玩具共600个，其中“雪容融”的数量不超过“冰墩墩”数量的2倍，为回馈新老客户，旗舰店决定对“冰墩墩”降价10%后再销售，若一月份购进的这两款毛绒玩具全部售出，则“冰墩墩”购进多少个时该旗舰店当月销售利润最大，并求出最大利润．
【分析】（1）设“冰墩墩”的销售单价为x元，“雪容融”的销售单价为y元，利用销售总额＝销售单价×销售数量，结合去年十一月及十二月的销售量及销售总额，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据总利润＝“冰墩墩”和“雪熔融”利润之和列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【解答】解：（1）设“冰墩墩”的销售单价为x元，“雪容融”的销售单价为y元，
依题意得：，
解得：，
答：“冰墩墩”的销售单价为120元，“雪容融”的销售单价为80元；
（2）设购进“冰墩墩”m个，则购进“雪容融”（600﹣m）个，该旗舰店当月销售利润为w元，
依题意得：w＝（120﹣120×10%﹣90）m+（80﹣60）（600﹣m）＝﹣2m+12000，
∵，
解得：200≤m≤600，
∵﹣2＜0，
∴当m＝200时，w最大，最大值为11600，
∴“冰墩墩”购进200个时该旗舰店当月销售利润最大，最大利润为11600元．
【点评】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出函数解析式．
22．（11分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+b交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B（0，5），点C在x轴正半轴上，OC＝4．
（1）求直线BC的解析式；
（2）若P为线段BC上一点，且△ABP的面积等于△AOB的面积，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，E为直线AP上一动点，在x轴上是否存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由点C在x轴正半轴上，OC＝4，得C（4，0），用待定系数法即得直线BC的解析式为y＝﹣x+5；
（2）过P作PH⊥AC于H，设P（n，﹣n+5），PH＝﹣n+5，将B（0，5）代入y＝x+b可得y＝x+5，A（﹣2，0），根据△ABP的面积等于△AOB的面积，有15﹣（﹣n+15）＝×2×5，即可解得P（，）；
（3）由A（﹣2，0），P（，）代入得直线AP解析式为y＝x+2，设E（p，p+2），D（q，0），又B（0，5），C（4，0），分3种情况：①若ED，BC为对角线，则ED，BC的中点重合，可得，即可解得D（1，0）；②若EB，DC为对角线，，D（﹣11，0）；③若EC，DB为对角线，，D（7，0）．
【解答】解：（1）∵点C在x轴正半轴上，OC＝4，
∴C（4，0），
由B（0，5）设直线BC解析式为y＝mx+5，
将C（4，0）代入得：0＝4m+5，
解得m＝﹣，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5；
（2）过P作PH⊥AC于H，如图：
设P（n，﹣n+5），则PH＝﹣n+5，
将B（0，5）代入y＝x+b得：
b＝5，
∴y＝x+5，
在y＝x+5中，令y＝0得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
∴AC＝6，
∴S△ABC＝AC•OB＝×6×5＝15，S△APC＝AC•PH＝×6×（﹣n+5）＝﹣n+15，
∵△ABP的面积等于△AOB的面积，
∴15﹣（﹣n+15）＝×2×5，
解得n＝，
∴P（，）；
（3）存在点D，使以点D，E，B，C为顶点的四边形为平行四边形，理由如下：
设直线AP解析式为y＝kx+t，将A（﹣2，0），P（，）代入得：
，
解得，
∴直线AP解析式为y＝x+2，
设E（p，p+2），D（q，0），又B（0，5），C（4，0），
①若ED，BC为对角线，则ED，BC的中点重合，如图：
∴，
解得，
∴D（1，0）；
②若EB，DC为对角线，同理可得：
，
解得，
∴D（﹣11，0）；
③若EC，DB为对角线，
∴，
解得，
∴D（7，0），
综上所述，D的坐标为（1，0）或（﹣11，0）或（7，0）．
【点评】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是利用平行四边形对角线互相平分列方程解决问题．
23．（10分）如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．
（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．
猜想结论：（要求用文字语言叙述） 垂美四边形两组对边的平方和相等
写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．
（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE长．
【分析】（1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．
【解答】解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．
证明：∵AB＝AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB＝CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，
求证：AD2+BC2＝AB2+CD2
证明：∵AC⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝∠BEC＝∠CED＝90°，
由勾股定理得，AD2+BC2＝AE2+DE2+BE2+CE2，
AB2+CD2＝AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2＝AB2+CD2；
（3）连接CG、BE，
∵∠CAG＝∠BAE＝90°，
∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE，
∴∠ABG＝∠AEC，又∠AEC+∠AME＝90°，
∴∠ABG+∠AME＝90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2＝CB2+GE2，
∵AC＝4，AB＝5，
∴BC＝3，CG＝4，BE＝5，
∴GE2＝CG2+BE2﹣CB2＝73，
∴GE＝．
【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
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