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专题02 全等三角形中垂直和旋转问题-2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练(苏科版)
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这是一份专题02 全等三角形中垂直和旋转问题-2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练(苏科版),文件包含专题02全等三角形中垂直和旋转问题解析版-2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练苏科版docx、专题02全等三角形中垂直和旋转问题原卷版-2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练苏科版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共29页, 欢迎下载使用。
2021-2022学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练(苏科版)
专题02 全等三角形中垂直和旋转问题
【典型例题】
1.(2021·上海市傅雷中学八年级期中)已知:△ABC与△BDE都是等腰三角形.BA=BC,BD=BE(AB>BD)且有∠ABC=∠DBE.
(1)如图1,如果A、B、D在一直线上,且∠ABC=60°,求证:△BMN是等边三角形;
(2)在第(1)问的情况下,直线AE和CD的夹角是 °;
(3)如图2,若A、B、D不在一直线上,但∠ABC=60°的条件不变则直线AE和CD的夹角是 °;
(4)如图3,若∠ACB=60°,直线AE和CD的夹角是 °.
【答案】(1)证明见解析;(2)60;(3)60;(4)60;
【分析】
(1)根据题意,得∠ABC=∠DBE=60°,从而得;通过证明,得;通过证明,得,根据等边三角形的性质分析,即可完成证明;
(2)结合题意,通过证明为等边三角形,得;结合(1)的结论,根据三角形外角性质,推导得,从而完成求解;
(3)同理,通过证明为等边三角形,得;通过证明,得;根据三角形外角性质,推导得,从而完成求解;
(4)根据题意,通过证明为等边三角形,推导得,通过证明,得,结合三角形外角的性质计算,即可得到答案.
【详解】
(1)∵∠ABC=∠DBE=60°
∴,,
∴
∵BA=BC,BD=BE
和中
∴
∴
和中
∴
∴
∴为等边三角形;
(2)∵∠ABC=∠DBE=60°, BA=BC
∴为等边三角形;
∴
根据题意,AE和CD相交于点O
∵
∴
∵
∴
∴,即直线AE和CD的夹角是
故答案为:;
(3)∵∠ABC=∠DBE=60°, BA=BC
∴为等边三角形;
∴
∵,,∠ABC=∠DBE=60°
∴
∵BA=BC,BD=BE
和中
∴
∴
如图,延长,交CD于点O
∴
∵
∴
∴,即直线AE和CD的夹角是
故答案为:;
(4)∵BA=BC,
∴
∵∠ACB=60°
∴
∴为等边三角形
∵BD=BE,∠ABC=∠DBE
∴
∵,
∴
和中
∴
∴
分别延长CD、AE,相较于点O,如下图:
∴
∵
∴
∴,即直线AE和CD的夹角是
故答案为:.
【点睛】
本题考查了等腰三角形、等边三角形、全等三角形、补角、三角形外角的知识;解题的关键是熟练掌握等边三角形、全等三角形、三角形外角的性质,从而完成求解.
【专题训练】
一、 填空题
1.(2021·河南偃师·八年级期中)如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,∠1=21°,∠2=30°,则∠3=___.
【答案】51°
【分析】
根据∠BAC=∠DAE通过角的计算即可得出∠1=∠CAE,结合AB=AC、AD=AE即可证出△BAD≌△CAE(SAS),进而即可得出∠ABD=∠2=30°.再根据外角的性质即可得出∠3的度数.
【详解】
解:∵∠BAC=∠DAE,∠BAC=∠1+∠DAC,∠DAE=∠DAC+∠CAE,
∴∠1=∠CAE.
在△BAD和△CAE中,
,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠ABD=∠2=30°.
∵∠3=∠1+∠ABD=21°+30°=51°.
故答案为:51°.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质以及外角的性质,通过证明三角形全等找出∠ABD=∠2是解题的关键.
2.(2021·辽宁甘井子·八年级期中)如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD=5,DE=2.7,则BE=__________.
【答案】2.3
【分析】
证明△BCE≌△CAD,根据全等三角形的性质得到CE=AD=5,BE=CD,结合图形计算即可.
【详解】
解:∵AD⊥CE,BE⊥CE,
∴∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠BCE+∠CBE=90°,∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠CBE=∠ACD,且AC=BC,∠ADC=∠CEB=90°,
∴△BCE≌△CAD(AAS),
∴CE=AD=5,CD=BE,
∴BE=CD=CE-DE=2.3,
故答案为:2.3.
【点睛】
本题考查的是全等三角形的判定和性质,掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.
3.(2021·山东庆云·八年级期中)如图,AC=BC,DC=EC,∠ACB=∠ECD=90°,且∠EBD=53°,则∠AEB=____.
【答案】
【分析】
先求出,再利用“”证明,进而得,从而得出,再利用三角形的内角和等于180°列式求出,然后再次利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解.
【详解】
解:∵,
∴,
即,
在和中,
∴,
∴,
∵,
∴,
在中,,
在中,.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质,三角形的内角和定理,熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.
4.(2021·湖北·黄石八中八年级期中)如图,在 中,,,分别过点 , 作经过点 的直线的垂线段 ,,若 ,,则 的长为____.
【答案】
【分析】
利用垂直的定义得到一对直角相等,由∠BAC=90°,利用平角的定义得到一对角互余,利用同角的余角相等得到一对角相等,再由AB=AC,利用AAS得到三角形ABD与三角形ACE全等,利用全等三角形对应边相等得到DB=AE=2,AD=CE=4,由DE=AD+AE即可求出DE长.
【详解】
解:∵BD⊥DE,CE⊥DE,BA⊥AC,
∴∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°,
∵∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠ABD=∠CAE,
在△ABD和△CAE中,
,
∴△ABD≌△CAE(AAS),
∴DB=AE=2,CE=AD=4,
则DE=AD+AE=4+2=6.
故答案为:6.
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键.
5.(2021·江苏·南京市第十二初级中学八年级期中)如图,已知ABC和DCE均是等边三角形,点B、C、E在同一条直线上,AE与BD交于点O,AE与CD交于点G,AC与BD交于点F,连接OC、FG,则下列结论:①AE=BD;②AG=BF;③FGBE;④∠BOC=∠EOC.其中正确结论有_______.
【答案】①②③④
【分析】
首先根据等边三角形的性质,得到BC=AC,CD=CE,∠ACB=∠BCD=60°,然后由SAS判定△BCD≌△ACE,根据全等三角形的对应边相等即可证得①正确;又由全等三角形的对应角相等,得到∠CBD=∠CAE,根据ASA,证得△BCF≌△ACG,即可得到②正确,同理证得CF=CG,得到△CFG是等边三角形,易得③正确.过C作CM⊥AE于M,CN⊥BD于N,想办法证明CN=CM即可判断④正确;
【详解】
解:∵△ABC和△DCE均是等边三角形,
∴BC=AC,CD=CE,∠ACB=∠ECD=60°,
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD,∠ACD=60°,
∴△BCD≌△ACE(SAS),
∴AE=BD,(①正确)
∠CBD=∠CAE,
∵∠BCA=∠ACG=60°,AC=BC,
∴△BCF≌△ACG(ASA),
∴AG=BF,(②正确)
同理:△DFC≌△EGC(ASA),
∴CF=CG,
∴△CFG是等边三角形,
∴∠CFG=∠FCB=60°,
∴FG∥BE,(③正确)
过C作CM⊥AE于M,CN⊥BD于N,
∵△BCD≌△ACE,
∴∠BDC=∠AEC,
∵CD=CE,∠CND=∠CMA=90°,
∴△CDN≌△CEM,
∴CM=CN,
∵CM⊥AE,CN⊥BD,
∴△Rt△OCN≌Rt△OCM(HL)
∴∠BOC=∠EOC,
∴④正确;
故答案为:①②③④.
【点睛】
此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质,角平分线的判定定理等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
二、解答题
6.(2021·湖北·安陆市陈店乡初级中学八年级阶段练习)如图,△ABC中,点E在BC边上,AE=AB,将线段AC绕A点旋转到AF的位置,使得∠CAF=∠BAE,连接EF,EF与AC交于点G.
(1)求证:EF=BC;
(2)若∠ABC=65°,∠ACB=28°,求∠FGC的度数.
【答案】(1)见解析;(2)78°
【分析】
(1)证明△EAF≌△BAC,即可得到结论;
(2)由△EAF≌△BAC,推出∠AEF=∠ABC=65°,由AB=AE,得到∠AEB=∠ABC=65°,求出∠FEC,再利用三角形的外角的性质求出答案.
【详解】
(1)证明:∵∠CAF=∠BAE,
∴∠CAF+∠CAE=∠BAE+∠CAE,即∠EAF=∠BAC,
∵AE=AB,AC=AF,
∴△EAF≌△BAC,
∴EF=BC;
(2)∵△EAF≌△BAC,
∴∠AEF=∠ABC=65°,
∵AB=AE,
∴∠AEB=∠ABC=65°,
∴∠FEC=180°-∠AEB-∠AEF=50°,
∴∠FGC=∠FEC+∠ACB=78°.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定及性质,熟记全等三角形的判定定理及性质定理是解题的关键.
7.(2021·福建·武夷山市第二中学八年级期中)如图,在△ABC中,∠ACB = 90°,AC = BC,BE ⊥CE于点E,AD ⊥CE于点D.
(1)求证:△BCE ≌△CAD;
(2)若AD =12, BE =5,求ED的长.
【答案】(1)见解析;(2)ED的长为7.
【分析】
(1)根据AAS证明三角形全等即可;
(2)根据全等三角形的性质得到AD=CE=12,CD=BE=5,从而求得ED的长.
【详解】
解:(1)证明:∵BE ⊥CE于点E,AD ⊥CE于点D,
∴∠CEB=∠ADC=90°,
∴∠ACD+∠CAD=90°,
∵∠ACB = 90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,
∴∠CAD=∠BCE,
又∵AC = BC,
∴≌;
(2)由(1)知,≌,
∴BE=CD,CE=AD,
∵AD =12, BE =5,
∴CE=12,CD=5,
∴ED=CE-CD=12-5=7.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质,熟练掌握判定及性质定理是解题的关键.
8.(2021·山东邹城·八年级期中)如图,点D在△ABC的边BC上,DE交AC于点F,∠C=∠E,∠BAD=∠CDE,BC=DE.
(1)求证:△ABC≌△ADE;
(2)若AF=2CF,DF=EF,△CDF的面积为1,求△ABC的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)S△ABC=4.
【分析】
(1)首先根据∠C=∠E,得到∠FDC=∠FAE,然后根据∠BAD=∠CDE证得∠BAC=∠DAE,最后根据AAS证明△BAC≌△DAE即可;
(2)首先根据AF=2CF,△CDF的面积为1,求出S△ADF=2S△DFC=2,然后根据DF=EF,可求出S△AEF=S△ADF=2,进而可求出△ADE的面积,即可解决问题;
【详解】
(1)证明:∵∠C=∠E,∠DFC=∠AFE,
∴∠FDC=∠FAE,
∵∠BAD=∠CDE,
∴∠BAD=∠CAE,
∴∠BAC=∠DAE,
在△BAC和△DAE中,
,
∴△BAC≌△DAE(AAS).
(2)解:∵AF=2CF,
∴S△ADF=2S△DFC=2,
∵DF=EF,
∴S△AEF=S△ADF=2,
∴S△AED=4,
∵△BAC≌△DAE,
∴S△ABC=S△ADE=4.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质,等高模型,三角形的中线的性质等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
9.(2021·湖北·安陆市陈店乡初级中学八年级阶段练习)在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,
①求证:△ADC≌△CEB;
②求证:DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DE=AD﹣BE;
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明.
【答案】(1)①见解析;②见解析;(2)见解析;(3),证明见解析
【分析】
(1)①根据角之间的关系可得,,即可求证;②根据全等得到线段之间的关系,即可求解;
(2)根据等角的余角相等得到,易得,得到,,所以;
(3)具有的等量关系为:.证明的方法与(2)相同.
【详解】
解:(1)①∵,
∴,
又∵,,
∴,,
∴.
在和中,
,
∴
②∵
∴
∴
(2)∵,
∴,
又∵,,
∴,,
∴.
在和中,
,
∴
∴
∴;
(3).
由(2)方法,可得,,
∴
∴.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质.
10.(2021·北京·东北师范大学附属中学朝阳学校八年级期中)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线l经过顶点C,过A、B两点分别作l的垂线AE、BF,E、F为垂足.
(1)当直线l不与底边AB相交时,
①求证:∠EAC=∠BCF.
②猜想EF、AE、BF的数量关系并证明.
(2)将直线l绕点C顺时针旋转,使l与底边AB交于点D(D不与AB点重合),请你探究直线l,EF、AE、BF之间的关系.(直接写出)
【答案】(1)①证明见解析,②EF=AE+BF;证明见解析;(2)AE=BF+EF或BF=AE+EF.
【分析】
(1)①根据∠AEC=∠BFC=90°,利用同角的余角相等证明∠EAC=∠FCB即可;②根据AAS证△EAC≌△FCB,推出CE=BF,AE=CF即可;
(2)类比(1)证得对应的两个三角形全等,求出线段之间的关系即可.
【详解】
(1)证明:①∵AE⊥EF,BF⊥EF,∠ACB=90°,
∴∠AEC=∠BFC=∠ACB=90°,
∴∠EAC+∠ECA=90°,∠ECA+∠FCB=90°,
∴∠EAC=∠FCB,
②EF=AE+BF;
证明:在△EAC和△FCB中,
,
∴△EAC≌△FCB(AAS),
∴CE=BF,AE=CF,
∴EF=CE+CF=AE+BF,
即EF=AE+BF;
(2)①当AD>BD时,如图①,
∵∠ACB=90°,AE⊥l直线,
同理可证∠BCF=∠CAE(同为∠ACD的余角),
又∵AC=BC,BF⊥l直线
即∠BFC=∠AEC=90°,
∴△ACE≌△CBF(AAS),
∴CF=AE,CE=BF,
∵CF=CE+EF=BF+EF,
∴AE=BF+EF;
②当AD<BD时,如图②,
∵∠ACB=90°,BF⊥l直线,
同理可证∠CBF=∠ACE(同为∠BCD的余角),
又∵AC=BC,BE⊥l直线,即∠AEC=∠BFC=90°.
∴△ACE≌△CBF(AAS),
∴CF=AE,BF=CE,
∵CE=CF+EF=AE+EF,
∴BF=AE+EF.
【点睛】
本题考查了三角形综合题,主要涉及到了全等三角形的判定与性质,解题关键是证明△ACE≌△CBF(AAS),利用全等三角形的性质得出线段之间的关系.
11.(2021·浙江·杭州江南实验学校八年级期中)如图,在△ABC中.
(1)如图①,分别以AB、AC为边作等边△ABD和等边△ACE,连接BE,CD;
①猜想BE与CD的数量关系是 ;
②若点M,N分别是BE和CD的中点,求∠AMN的度数;
(2)如图②,若分别以AB、AC为边作△ABD和△ACE,且AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE=α,DC、BE交于点P,连接AP,请直接写出∠APC与α的数量关系
【答案】(1)①BE=CD;②60°;(2)∠APC=
【分析】
(1)①证△ABE≌△ADC(SAS),即可得出结论;
②连接AN,由①得:△ABE≌△ADC(SAS),则BE=CD,∠ABE=∠ADC,再证△ADN≌△ABM(SAS),得AN=AM,∠DAN=∠BAM,然后证∠MAN=∠BAD=60°,得△AMN为等边三角形,即可得出∠AMN=60°;
(2)过A作AM⊥CD于M,AN⊥BE于N,同(2)得:△ABE≌△ADC(SAS),△ADM≌△ABN(AAS),则∠AEB=∠ACD,AM=AN,证出PA平分∠DPE,得∠APE=∠DPE,再证∠EPC=∠CAE=α,得∠DPE=180°﹣α,则∠APE=90°﹣α,即可得出结论.
解:(1)①BE=CD,理由如下:
∵△ABD和△ACE是等边三角形,
∴AB=AD,∠BAD=∠CAE=60°,AC=AE,
∴∠CAE+∠BAC=∠BAD+∠BAC,
即∠BAE=∠DAC,
∴△ABE≌△ADC(SAS),
∴BE=CD,
故答案为:BE=CD;
②连接AN,如图①所示:
由①得:△ABE≌△ADC(SAS),
∴BE=CD,∠ABE=∠ADC,
∵点M,N分别是BE和CD的中点,
∴BM=DN,
又∵AD=AB,
∴△ADN≌△ABM(SAS),
∴AN=AM,∠DAN=∠BAM,
∴∠BAM+∠BAN=∠DAN+∠BAN,
即∠MAN=∠BAD=60°,
∴△AMN为等边三角形,
∴∠AMN=60°;
(2)∠APC=,理由如下:
过A作AM⊥CD于M,AN⊥BE于N,如图②所示:
同②得:△ABE≌△ADC(SAS),△ADM≌△ABN(AAS),
∴∠AEB=∠ACD,AM=AN,
∵AM⊥CD,AN⊥BE,
∴PA平分∠DPE,
∴∠APE=∠DPE,
又∵∠EPC+∠ACD=∠CAE+∠AEB,
∴∠EPC=∠CAE=α,
∴∠DPE=180°﹣α,
∴∠APE=(180°﹣α)=90°﹣α,
∴∠APC=∠APE+∠EPC=90°﹣α+α=90°+α.
12.(2021·湖北曾都·九年级期中)如图,OAB和OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=α,AC、BD交于M
(1)如图1,当α=90°时,∠AMD的度数为 °;
(2)如图2,当α=60°时,求∠AMD的度数;
(3)如图3,当OCD绕O点任意旋转时,∠AMD与α是否存在着确定的数量关系?如果存在,请你用α表示∠AMD,并用图3进行证明;若不确定,说明理由.
【答案】(1);(2);(3)
【分析】
(1)如图1,设交于,只要证明,推出,由,可得;
(2)如图2,设交于,只要证明,推出,由,可得;
(3)如图3,设交于,只要证明,推出,由,可得,可得;
【详解】
解:(1)如图1中,设交于
∵,
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为
(2)如图2,设交于,
∵,
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为
(3)如图3,设交于,
∵,
∴
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为
【点睛】
本题考查了几何变换综合题,全等三角形的判定,三角形内角和性质,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会利用“8字型”证明角相等.
13.(2021·河南郾城·八年级期中)在等边中,点D为的中点,点F在延长线上,点E在射线上,.
(1)如图1,当点E与点B重合时,则与的数量关系是_________;
(2)当点E在线段上时,(1)中的结论是否仍然成立?请结合图2说明理由;
(3)如图3,当点E在的延长线上时,,请直接写出的长.
【答案】(1)DE=DF;(2)DE=DF,理由见解析;(3)4
【分析】
(1)根据等腰三角形的性质及已知,可得∠DBC=∠F=30゜,从而可得DE=DF;
(2)仍有DE=DF;过点D作DG∥BC交AB于点G,可证明△DGE≌△DCF,从而可得DE=DF;
(3)过点D作DG∥BC交AB于点G,可证明△DGE≌△DCF,从而可得GE=CF;设BC=a,则CF=8-a,,,则可得方程,解方程即可求得a.
【详解】
(1)∵△ABC是等边三角形,D点为AC的中点
∴∠DBC=30゜
∵∠EDF=120゜
∴∠F=180゜―∠DBC―∠EDF=30゜
∴∠DBC=∠F
∴DE=DF
故答案为:DE=DF
(2)仍有DE=DF;理由如下:
过点D作DG∥BC交AB于点G,如图2所示
则∠AGD=∠ABC
∵△ABC是等边三角形
∴AB=AC,∠A=∠ABC=∠ACB=60゜
∴∠AGD=∠A=60゜
∴△AGD是等边三角形
∴∠ADG=∠AGD=60゜,AD=GD
∴∠DGE=∠GDC=120゜
∴∠EDF=∠GDC=120゜
∵∠GDE+∠EDC=∠EDC+∠CDF
∴∠GDE=∠CDF
∵D点是AC的中点
∴AD=DC=GD
∵∠ACB=60゜
∴∠DCF=120゜
∴∠DGE=∠DCF
在△DGE和△DCF中
∴△DGE≌△DCF(ASA)
∴DE=DF
(3)过点D作DG∥BC交AB于点G,如图3所示
与(2)同理有:△DGE≌△DCF
∴GE=CF
设BC=a,则CF=8-a,
∴
由GE=CF,得:
解得:a=4
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,作辅助线构造三角形全等是本题后两问的关键.
14.(2021·山西平定·八年级期中)通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题:
(1)如图1,∠BAD=90°,AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E.由∠1+∠2=∠2+∠D=90°,得∠1=∠D.又∠ACB=∠AED=90°,可以推理得到△ABC≌△DAE.进而得到AC= ,BC=AE.我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型;
(2)如图2,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且BC⊥AF于点F,DE与直线AF交于点G.求证:点G是DE的中点;
(深入探究)
(3)如图,已知四边形ABCD和DEGF为正方形,△AFD的面积为S1,△DCE的面积为S2,则有S1 S2(填“>、=、<”)
【答案】(1)DE;(2)见解析;(3)=
【分析】
(1)根据全等三角形的性质可直接进行求解;
(2)分别过点D和点E作DH⊥FG于点H,EQ⊥FG于点Q,进而可得∠BAF=∠ADH,然后可证△ABF≌△DAH,则有AF=DH,进而可得DH=EQ,通过证明△DHG≌△EQG可求解问题;
(3)过点D作DO⊥AF交AF于O,过点E作EN⊥OD交OD延长线于N,过点C作CM⊥OD交OD延长线于M,由题意易得∠ADC=∠90°,AD=DC,DF=DE,然后可得∠ADO=∠DCM,则有△AOD≌△DMC,△FOD≌△DNE,进而可得OD=NE,通过证明△ENP≌△CMP及等积法可进行求解问题.
【详解】
解:(1)∵,∴;
(2)分别过点D和点E作DH⊥FG于点H,EQ⊥FG于点Q,如图所示:
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴△ABF≌△DAH,
∴AF=DH,
同理可知AF=EQ,
∴DH=EQ,
∵DH⊥FG,EQ⊥FG,
∴,
∵
∴△DHG≌△EQG,
∴DG=EG,即点G是DE的中点;
(3),理由如下:如图所示,过点D作DO⊥AF交AF于O,过点E作EN⊥OD交OD延长线于N,过点C作CM⊥OD交OD延长线于M
∵四边形ABCD与四边形DEGF都是正方形
∴∠ADC=∠90°,AD=DC,DF=DE
∵DO⊥AF,CM⊥OD,
∴∠AOD=∠CMD=90°,∠OAD+∠ODA=90°,∠CDM+∠DCM=90°,
又∵∠ODA+∠CDM=90°,
∴∠ADO=∠DCM,
∴△AOD≌△DMC,
∴,OD=MC,
同理可以证明△FOD≌△DNE,
∴,OD=NE,
∴MC =NE,
∵EN⊥OD,CM⊥OD,∠EPN=∠CMP,
∴△ENP≌△CMP,
∴,
∵,
∴,
∴即.
【点睛】
本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法,熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键.
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