2021-2022学年河南省周口市项城第三高级中学高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年河南省周口市项城第三高级中学高一（下）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 已知向量，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 已知复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 在中，已知为上一点，且满足，则(    )

A.  B.  C.  D.

4. 某校高一年级名学生的血型统计情况如图所示．某课外兴趣小组为了研究血型与饮食之间的关系，决定采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则从高一年级型血的学生中应抽取的人数是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，则(    )

A.
B.
C.
D. 以上均有可能

6. 设直线，，，若与是异面直线，与平行，则与的位置关系是(    )

A. 平行 B. 相交 C. 平行或异面 D. 相交或异面

7. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图，是水平放置的的直观图，其中，，分别与轴，轴平行，则(    )

A.
B.
C.
D.

9. 已知单位向量，的夹角为，与垂直，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件表示“小于的偶数点出现”，事件表示“不小于的点数出现”，则一次试验中，事件或事件至少有一个发生的概率为(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知，为单位向量，且，向量满足，则的范围为(    )

A.  B.
C.  D.

12. 已知为锐角三角形，，，则的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 若复数满足是虚数单位，则______．
14. 已知中角，，所对的边分别为，，，，则的面积，该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出．若的周长为，：：：：，则的面积为______．
15. 圆锥的母线长为，母线所在直线与圆锥的轴所成角为，则该圆锥的侧面积大小为______结果保留
16. 已知一组数据，，，，，，，，，，则这一组数据的百分位数______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    已知复数，．
    若复数在复平面内对应的点在第二象限，求实数的取值范围；
    若复数为纯虚数，求的虚部．
18. 本小题分
    已知，，．
    求的值；
    求向量与夹角的余弦值．
19. 本小题分
    某中学有初中生人，高中生人，为了解全校学生本学期开学以来天的课外阅读时间，学校采用按比例分层随机抽样方法，从中抽取了名学生进行问卷调查．将样本中的“初中生”和“高中生”按学生的课外阅读时间单位：小时各分为组：，，，，，得其频率分布直方图如图所示．
    
    估计全校学生中课外阅读时间不足个小时的总人数是多少；
    从课外阅读时间不足个小时的样本学生中随机抽取人，求至少有个初中生的概率．
20. 本小题分
    已知射手甲射击一次，命中环含环以上的概率为，命中环的概率为，命中环的概率为．
    求甲射击一次，命中不足环的概率；
    求甲射击一次，至少命中环的概率．
21. 本小题分
    如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，，为与的交点．
    证明：平面；
    若为的中点，求三棱锥的体积．

22. 本小题分

改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月，两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的名学生中随机抽取了人，发现样本中，两种支付方式都不使用的有人，样本中仅使用和仅使用的学生的支付金额分布情况如下：

Ⅰ估计该校学生中上个月，两种支付方式都使用的人数；

Ⅱ从样本仅使用的学生中随机抽取人，求该学生上个月支付金额大于元的概率；

Ⅲ已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用的学生中随机抽查人，发现他本月的支付金额大于元．结合Ⅱ的结果，能否认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于元的人数有变化？说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：设，向量，即，
，解得，
则．
故选：．
利用平面向量的坐标表示计算即可．
本题考查了平面向量的坐标表示，也考查了平面向量的坐标运算问题，是基础题目．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
复数的虚部为．
故选：．
根据已知条件，结合复数的运算法则，以及复数虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的运算法则，以及复数虚部的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：在中，，
所以．
故选：．
由向量的线性运算直接求解即可．
本题主要考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由分层抽样法，可得从高一年级型血的学生中应抽取的人数是名．
故选：．
根据分层抽样法，即可得解．
本题考查分层随机抽样，考查运算求解能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查直线与平面平行的性质定理的应用，属于基础题．
直接利用直线与平面平行的性质定理推出结果即可．
【解答】
解：四棱锥中，，分别为，上的点，且平面，
平面，平面平面，
由直线与平面平行的性质定理可得：．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：如图，

直线看作直线，直线看作直线，即直线和直线是异面直线，
若直线看作直线，可得，平行，则，异面；
若直线看作直线，可得，平行，则，相交．
若，平行，由，平行，可得，平行，这与，异面矛盾，故，不平行．
故选：．
由题意画出正方体模型，找出三条直线，，，符合题意，判断，的位置关系．
本题考查空间中直线与直线位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：因为，，，
所以由余弦定理，可得，整理可得，
解得，或舍去．
故选：．
由已知利用余弦定理可得，解方程即可求解的值．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：平面直观图中，，，
把平面直观图还原为原图形，如图所示：

则中，，，，
所以．
故选：．
把平面直观图还原为原图形，求出，，，利用勾股定理求出的值．
本题考查了平面图形的直观图与原图形的转化和应用问题，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：单位向量，的夹角为，与垂直，
，
则，
故选：．
由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求得的值．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：事件表示“小于的偶数点出现”，事件表示“不小于的点数出现”，
，，
又小于的偶数点有和，不小于的点数有和，
所以事件和事件为互斥事件，
则一次试验中，事件或事件至少有一个发生的概率为
，
故选：．
由古典概型概率公式分别计算出事件和事件发生的概率，又通过列举可得事件和事件为互斥事件，进而得出事件或事件至少有一个发生的概率即为事件和事件的概率之和．
本题主要考查古典概型计算公式，以及互斥事件概率加法公式的应用，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．
由，是单位向量，可设，，由向量满足，可得其圆心，半径利用即可得出．
【解答】
解：由，是单位向量，，
可设，，，
由向量满足，
，
，即，
其圆心，半径，

．
故选：．  

12.【答案】 

【解析】解：由于为锐角三角形，
故，整理得；
故由正弦定理得：，整理得，
由于，
所以．
故选：．
直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：复数满足是虚数单位，，即，
，
故，
故答案为．
由题意可得，可得，再利用两个复数代数形式的除法，虚数单位的幂运算性质求得的值，即可求得．
本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：由题意得，
：：：：：：，
所以：：：：，
则，，，
所以．
故答案为：．
由已知结合正弦定理可求，，，代入已知面积公式可求．
本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意，如图为圆锥的轴截面，底面圆心为，半径为，母线为，
母线所在直线与圆锥的轴所成角为，即，，
则，
该圆锥的侧面积；
故答案为：．
根据题意，分析底面圆的半径，由圆锥的侧面积公式计算可得答案．
本题考查圆锥的侧面积计算，注意圆锥侧面积的计算公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：将这组数据按照从小到大的顺序排列，
得，，，，，，，，，共个数据，
由，所以该组数据的第百分位数为第个数，即为，
故答案为：．
先将这组数据按照从小到大的顺序排列，再根据百分位数的定义即可得出答案．
本题考查了百分位数的求法，是基础题．
 

17.【答案】解：，，
，
复数在复平面内对应的点在第二象限，
，解得，
故实数的取值范围为
，
为纯虚数，
，解得，
，
的虚部为． 

【解析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数和虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数和虚部的定义，复数的几何意义，属于基础题．
 

18.【答案】解：，，
得，即，则；
，
．
又，且向量与夹角为，
则． 

【解析】由已知结合，可得的值；
请求出向量与的模，再由数量积求夹角公式求解．
本题考查平面向量数量积的性质与应用，训练了利用数量积求夹角，是中档题．
 

19.【答案】解：根据题意，分两类：
初中生中课外阅读时间不足个小时的频率为，故初中生中课外阅读时间不足个小时的学生约有人；
高中生中课外阅读时间不足个小时的频率为，故高中生中课外阅读时间不足个小时的学生约有人，
该校所有学生中，课外阅读时间不足个小时的学生人数约有人．
记事件为“从阅读时间不足个小时的样本学生中随机抽取人，至少抽到名初中生”，
抽取的初中生有名，高中生有名．
所以初中生中阅读时间不足个小时的学生样本人数为人，高中生中阅读时间不足个小时的学生样本人数为人．
设这名初中生为，，，这名高中生为，，
从阅读时间不足个小时的样本学生中随机抽取人，则样本空间，共个样本点．有限等可能，符合古典概型．
事件，，
故至少抽到名初中生的概率为． 

【解析】利用频率分布直方图分别求出初中、高中生课外阅读时间不足个小时的人数，再求和作答；
结合分层抽样方法求出课外阅读时间不足个小时的样本学生中初中生，高中生人数，再用列举法计算概率作答．
本题考查由频数分布直方图和古典概型概率公式，属于基础题．
 

20.【答案】解：记“甲射击一次，命中环不含环以下”为事件，
则，
“甲射击一次，命中环”为事件，则，
由于在一次射击中，与不可能同时发生，
故A与是互斥事件，
“甲射击一次，命中不足环”的事件为，
由互斥事件的概率加法公式，
．
答：甲射击一次，命中不足环的概率是．
方法：记“甲射击一次，命中环”为事件，
“甲射击一次，命中环含环以上”为事件，
则“甲射击一次，至少命中环”的事件为，
．
答：甲射击一次，至少命中环的概率为．
方法：“甲射击一次，至少命中环”为事件，
．
答：甲射击一次，至少命中环的概率为． 

【解析】本题考查概率的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地运用对立事件的概率的求法．
记“甲射击一次，命中环不含环以下”为事件，“甲射击一次，命中环”为事件，由于在一次射击中，与不可能同时发生，故A与是互斥事件．
“甲射击一次，命中不足环”的事件为，由互斥事件的概率加法公式，能求出甲射击一次，命中不足环的概率．
方法：记“甲射击一次，命中环”为事件，“甲射击一次，命中环含环以上”为事件，则“甲射击一次，至少命中环”的事件为，由此能求出甲射击一次，至少命中环的概率．
方法：“甲射击一次，至少命中环”为事件，由对立事件的概率求法能求出甲射击一次，至少命中环的概率．
 

21.【答案】证明：在四棱锥中，底面是正方形，
底面，，
底面是正方形，，
，平面，，
平面；
解：为与的交点，为与的中点，
，
为的中点，点到平面的距离为，
． 

【解析】证明和，原题即得证；
求出三棱锥的底面积和高即得解．
本题考查了线面垂直的证明和三棱锥的体积计算，属于中档题．
 

22.【答案】解：Ⅰ由题意得：
从全校所有的名学生中随机抽取的人中，
，两种支付方式都不使用的有人，
仅使用的有人，仅使用的有人，
，两种支付方式都使用的人数有：，
估计该校学生中上个月，两种支付方式都使用的人数为：人．
Ⅱ从样本仅使用的学生有人，其中不大于元的有人，大于元的有人，
从中随机抽取人，基本事件总数，
该学生上个月支付金额大于元包含的基本事件个数，
该学生上个月支付金额大于元的概率．
Ⅲ不能认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于元的人数有变化，
理由如下：
上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．
现从样本仅使用的学生中随机抽查人，
发现他本月的支付金额大于元的概率为，
虽然概率较小，但发生的可能性为．
故不能认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于元的人数有变化． 

【解析】本题考查频数、概率的求法，考查频数分布表、概率等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
Ⅰ从全校所有的名学生中随机抽取的人中，，两种支付方式都不使用的有人，仅使用的有人，仅使用的有人，求出，两种支付方式都使用的人数有人，由此能估计该校学生中上个月，两种支付方式都使用的人数．
Ⅱ从样本仅使用的学生有人，其中不大于元的有人，大于元的有人，从中随机抽取人，基本事件总数，该学生上个月支付金额大于元包含的基本事件个数，由此能求出该学生上个月支付金额大于元的概率．
Ⅲ从样本仅使用的学生中随机抽查人，发现他本月的支付金额大于元的概率为，虽然概率较小，但发生的可能性为不能认为样本仅使用的学生中本月支付金额大于元的人数有变化．