2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--8.3　直线、平面平行的判定与性质（课件）

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知识梳理1.直线与平面平行的判定与性质
作为画一条与已知直线平行的直线的依据
应用时不能漏掉b⊂α
a∥α,a⊂β,α∩β=b
微点拨辅助线(面)是解(证)线面平行的关键.为了能利用线面平行的判定定理及性质定理,往往需要作辅助线(面).
微思考设m,l表示两条不同的直线,α表示平面,若m⊂α,l∥α,则l与m的位置关系如何?
提示 平行或异面.
2.面面平行的判定与性质
这两条直线必须相交　不能理解为:α∥β⇒a∥b
微点拨判定两个平面平行与判定线面平行一样,应遵循“先找后作”的原则,即先在一个平面内找到两条与另一个平面平行的相交直线,若找不到再作辅助线.
微思考一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别对应平行,那么这两个平面平行吗?
提示 平行.可以转化为“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行”,这就是面面平行的判定定理.
常用结论1.平面与平面平行的三个性质(1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.(2)夹在两个平行平面间的平行线段长度相等.(3)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.2.判断两个平面平行的三个结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行.(2)平行于同一平面的两个平面平行.(3)如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,那么这两个平面平行.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.(　　)(2)若直线a与平面α内无数条直线平行,则a∥α.(　　)(3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.(　　)(4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.(　　)
2.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别为棱AA1,BB1的中点,过MN作一平面分别交底面三角形ABC的边BC,AC于点E,F,则下列说法正确的是(　　)A.MF∥NEB.四边形MNEF为梯形C.四边形MNEF为平行四边形D.A1B1∥NE
答案 B　解析 ∵在▱AA1B1B中,AM=MA1,BN=NB1,∴AM=BN.又AM∥BN,∴四边形ABNM是平行四边形,∴MN∥AB.又MN⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,∴MN∥平面ABC.又MN⊂平面MNEF,平面MNEF∩平面ABC=EF,∴MN∥EF,∴EF∥AB.在△ABC中,EF≠AB,∴EF≠MN,∴四边形MNEF为梯形.故选B.
3.已知直线a,b,平面α,β,a⊂α,b⊂α,则a∥β,b∥β是α∥β的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
答案 B　解析 因为直线a,b,平面α,β,a⊂α,b⊂α,由a∥β,b∥β,得α,β平行或相交;由α∥β,得a∥β,b∥β,所以a∥β,b∥β是α∥β的必要不充分条件.故选B.
典例突破例1.(1)平面α∥平面β的一个充分条件是(　　)A.存在一条直线a,a∥α,a∥βB.存在一条直线a,a⊂α,a∥βC.存在两条平行直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥αD.存在两条异面直线a,b,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α
(2)(多选)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ平行的是(　　)
答案 (1)D　(2)BCD　
解析 (1)对于A,一条直线与两个平面都平行,两个平面不一定平行,故A错误;对于B,一个平面中的一条直线平行于另一个平面,两个平面不一定平行,故B错误;对于C,两个平面中的两条直线平行,不能保证两个平面平行,故C错误;对于D,两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面,可以保证两个平面平行,故D正确.(2)对于A,作如图1所示的辅助线,其中D为BC的中点,则QD∥AB.因为QD∩平面MNQ=Q,所以QD与平面MNQ相交,所以直线AB与平面MNQ相交.
对于B,作如图2所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥MQ,所以AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.
对于C,作如图3所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥MQ,所以AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.对于D,作如图4所示的辅助线,则AB∥CD,CD∥NQ,所以AB∥NQ.又AB⊄平面MNQ,NQ⊂平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.故选BCD.
方法总结直线、平面平行的判定方法
对点训练1(1)已知a,b,c为三条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列说法正确的是(　　)A.若a∥b,b⊂α,则a∥αB.若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥βC.若α∥β,a∥α,则a∥βD.若α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,a∥b,则b∥c
(2)①若直线a与平面α内无数条直线平行,则a与α的位置关系是　　　　　　　. ②已知直线a,b和平面α,β,若a⊂α,b⊂α,a∥β,b∥β,则α,β的位置关系是　　　　　. ③若α∥β,直线a∥α,则a与β的位置关系是　　　　. 
答案 (1)D　(2)①a∥α或a⊂α　②平行或相交　③a∥β或a⊂β　
解析 (1)若a∥b,b⊂α,则a∥α或a⊂α,故A不正确;若a⊂α,b⊂β,a∥b,则α∥β或α与β相交,故B不正确;若α∥β,a∥α,则a∥β或a⊂β,故C不正确;如图,由a∥b可得b∥α,易证b∥c,故D正确.(2)①由直线与平面平行的定义和判定定理知,a∥α或a⊂α.②当a,b相交时,α∥β;当a,b平行时,α,β平行或相交.③当a在β外时,a∥β;当a在β内时也满足条件.
考向1.直线与平面平行的判定典例突破例2.如图,在四棱锥E-ABCD中,AB∥CD,∠ABC=90°,CD=2AB=2CE=4,点F为棱DE的中点.证明:AF∥平面BCE.
证明 (方法1)如图,取CE的中点M,连接FM,BM.因为点F为棱DE的中点,所以FM∥CD,且FM= CD=2,因为AB∥CD,且AB=2,所以FM∥AB,且FM=AB,所以四边形ABMF为平行四边形,所以AF∥BM.因为AF⊄平面BCE,BM⊂平面BCE,所以AF∥平面BCE.
(方法2)如图,在平面ABCD内,分别延长CB,DA,交于点N,连接EN.因为AB∥CD,CD=2AB,所以A为DN的中点.又F为DE的中点,所以AF∥EN.因为EN⊂平面BCE,AF⊄平面BCE,所以AF∥平面BCE.
(方法3)如图,取棱CD的中点G,连接AG,GF,因为点F为棱DE的中点,所以FG∥CE.因为FG⊄平面BCE,CE⊂平面BCE,所以FG∥平面BCE.因为AB∥CD,AB=CG=2,所以四边形ABCG是平行四边形,所以AG∥BC.因为AG⊄平面BCE,BC⊂平面BCE,所以AG∥平面BCE.又FG∩AG=G,FG⊂平面AFG,AG⊂平面AFG,所以平面AFG∥平面BCE.因为AF⊂平面AFG,所以AF∥平面BCE.
方法总结证明线面平行的两种常用方法
对点训练2(2021浙江义乌二模)如图,在四棱锥P-ABCD中,△PBC为正三角形,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=CD=3,BC=4,点M,N
求证:PM∥平面BDN.
考向2.直线与平面平行的性质典例突破例3.(2021湖北武汉三模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E在线段CD1上,CE=2ED1,点F为线段AB上的动点,AF=λFB,且EF∥平面ADD1A1.求λ的值.
解 过点E作EG⊥D1D于点G,连接GA.则EG∥CD,而CD∥FA,所以EG∥FA.因为EF∥平面ADD1A1,EF⊂平面EFAG,平面EGAF∩平面ADD1A1=GA,所以EF∥GA,即四边形EGAF是平行四边形,所以GE=AF.
名师点析应用线面平行性质定理的关键是确定交线的位置,有时需要经过已知直线作辅助平面来确定交线.
对点训练3如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形且∠ABC=120°,点E是棱PC的中点,平面ABE与棱PD交于点F.求证:EF∥CD.
证明 ∵底面ABCD是菱形,∴AB∥CD,又AB⊄平面PCD,CD⊂平面PCD,∴AB∥平面PCD.又A,B,E,F四点共面,且平面ABEF∩平面PCD=EF,∴AB∥EF,即可得EF∥CD.
典例突破例4.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G分别为B1C1,A1B1,AB的中点.(1)求证:平面A1C1G∥平面BEF;(2)若平面A1C1G∩BC=H,求证:H为BC的中点.
证明(1)∵E,F分别为B1C1,A1B1的中点,∴EF∥A1C1.∵A1C1⊂平面A1C1G,EF⊄平面A1C1G,∴EF∥平面A1C1G.又F,G分别为A1B1,AB的中点,∴A1F=BG.又A1F∥BG,∴四边形A1GBF为平行四边形,则BF∥A1G.∵A1G⊂平面A1C1G,BF⊄平面A1C1G,∴BF∥平面A1C1G.又EF∩BF=F,EF,BF⊂平面BEF,∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1,平面A1C1G1∩平面A1B1C1=A1C1,平面A1C1G与平面ABC有公共点G,则有经过G的直线,设该直线交BC于点H,则A1C1∥GH,得GH∥AC,∵G为AB的中点,∴H为BC的中点.
方法总结证明面面平行的三种常用方法
对点训练4如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.(1)证明:平面A1BD∥平面CD1B1;(2)若平面ABCD∩平面B1D1C=直线l,证明B1D1∥l.
证明(1)由题知,BB1?DD1,所以四边形BB1D1D是平行四边形,所以BD∥B1D1.又BD⊄平面CD1B1,B1D1⊂平面CD1B1,所以BD∥平面CD1B1.因为A1D1?B1C1?BC,所以四边形A1BCD1是平行四边形,所以A1B∥D1C.又A1B⊄平面CD1B1,D1C⊂平面CD1B1,所以A1B∥平面CD1B1.又因为BD∩A1B=B,BD,A1B⊂平面A1BD,所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1,又平面ABCD∩平面B1D1C=直线l,平面ABCD∩平面A1BD=直线BD,所以直线l∥直线BD.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,四边形BDD1B1为平行四边形,所以B1D1∥BD,所以B1D1∥l.
典例突破例5.在直角梯形ABCD中(如图1),AB∥DC,∠BAD=90°,AB=5,AD=2,CD=3,点E在CD上,且DE=2,将△ADE沿AE折起,使得平面ADE⊥平面ABCE(如图2),G为AE的中点.
(1)求四棱锥D-ABCE的体积;(2)在线段BD上是否存在点P,使得CP∥平面ADE?若存在,求 的值;若不存在,请说明理由.
解 (1)因为G为AE的中点,AD=DE=2,所以DG⊥AE.因为平面ADE⊥平面ABCE,平面ADE∩平面ABCE=AE,DG⊂平面ADE,所以DG⊥平面ABCE.
(2)在BD上存在点P,使得CP∥平面ADE.过点C作CF∥AE交AB于点F,过点F作FP∥AD交DB于点P,连接PC,如图所示,
因为CF∥AE,AE⊂平面ADE,CF⊄平面ADE,所以CF∥平面ADE.同理FP∥平面ADE.又因为CF∩PF=F,所以平面CFP∥平面ADE.因为CP⊂平面CFP,所以CP∥平面ADE.所以在BD上存在点P,使得CP∥平面ADE.因为四边形AECF为平行四边形.
名师点析解决存在性问题的步骤
对点训练5如图,四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,E为PB的中点.(1)求证:CE∥平面PAD;(2)在线段AB上是否存在一点F,使得平面PAD∥平面CEF?若存在,证明你的结论;若不存在,请说明理由.
(1)证明取PA的中点H,连接EH,DH.因为E为PB的中点,所以EH∥AB,EH= AB.又AB∥CD,CD= AB,所以EH∥CD,EH=CD,因此四边形DCEH是平行四边形,所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,因此CE∥平面PAD.