2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--8.4　直线、平面垂直的判定与性质（课件）

这是一份2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--8.4　直线、平面垂直的判定与性质（课件），共42页。PPT课件主要包含了内容索引，强基础增分策略，增素能精准突破，a⊥α，直二面角，b⊥α，方法总结，答案D等内容，欢迎下载使用。

知识梳理1.直线与平面垂直(1)定义:一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫做平面α的　　　　,平面α叫做直线l的　　　　.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足. 
与“所有直线”是同义的,但与“无数条”不同
(2)判定定理与性质定理
微思考空间中任意一直线m,在平面α内是否存在无数条直线与m垂直?
提示 存在,如图.
2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是　　　　　　　,就说这两个平面互相垂直. 
微点拨面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.
微思考若平面α⊥β,且α∩β=l,若直线m⊥l,则m与平面β一定垂直吗?
提示 不一定.当m⊂α时,m⊥β.
常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.
对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.(　　)(2)设m,n是两条不同的直线,α是一个平面,若m∥n,m⊥α,则n⊥α.(　　)(3)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(　　)(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.(　　)
2.已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则(　　)A.m∥lB.m∥nC.n⊥lD.m⊥n
答案 C　解析 对于A,m与l可能平行或异面,故A错误;对于B,D,m与n可能平行、相交或异面,故B,D错误;对于C,因为n⊥β,l⊂β,所以n⊥l,故C正确.故选C.
3.已知直线a和平面α,β,若α⊥β,a⊥β,则a与α的位置关系为　　　　　. 
答案 a∥α或a⊂α　解析 当a⊂α且a垂直于α,β的交线时,满足已知条件;当a∥α时也满足已知条件
典例突破例1.(1)(多选)已知a,b表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面,下列说法正确的是(　　)A.若a⊥α,b⊥β,α∥β,则a∥bB.若a⊥α,b⊥β,a⊥b,则α⊥βC.若a⊥α,a⊥b,α∥β,则b∥βD.若α∩β=a,a∥b,则b∥α或b∥β
(2)(2021浙江丽水二模)已知直线l,m,平面α,β,则(　　)A.若l⊂α,m∥l,则m∥αB.若l∥α,l⊥β,则α⊥βC.若l∥α,α⊥β,则l⊥βD.若m⊂α,l⊂β,l∥m,则α∥β
答案 (1)ABD　(2)B　
解析 (1)对于A,若a⊥α,α∥β,则a⊥β.又b⊥β,所以a∥b,故A正确;对于B,若a⊥α,a⊥b,则b⊂α或b∥α,所以存在直线m⊂α,使得m∥b.又b⊥β,所以m⊥β,所以α⊥β.故B正确;对于C,若a⊥α,a⊥b,则b⊂α或b∥α.又α∥β,所以b⊂β或b∥β,故C错误;对于D,若α∩β=a,a∥b,则b∥α或b∥β,故D正确.故选ABD.
(2)在长方体ABCD-EFGH中,如图.对于A,若l⊂α,m∥l,则m∥α,取平面ABCD为α,直线AB为l,CD为m,则l⊂α,m∥l,但是m⊂α,所以m∥α不成立,故A不正确;对于B,因为l∥α,作平面γ,使得l⊂γ,且α∩γ=m,由线面平行的性质可得l∥m.因为l⊥β,所以m⊥β.又m⊂α,所以α⊥β,故B正确;对于C,若l∥α,α⊥β,则l⊥β,取平面ABCD为α,平面ADHE为β,直线EH为l,此时满足“l∥α,α⊥β”,但是l⊂β,所以l⊥β不满足,故C不正确;对于D,若m⊂α,l⊂β,l∥m,则α∥β,取平面ABCD为α,平面ADHE为β,直线BC为l,直线EH为m,此时满足“m⊂α,l⊂β,l∥m”,但是α,β相交,不满足α∥β,故D不正确.故选B.
对点训练1下列说法中错误的是(　　)A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β
解析 如图1所示,在正方体中,平面APCF⊥平面PBDC,AF∥平面PBDC,故A正确;如果平面α内存在直线垂直于平面β,则平面α垂直于平面β,故B正确;如图2所示,在平面γ内取一点Q,作QM⊥CP,QN⊥CD,因为平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,所以QM⊥平面α,QN⊥平面β.又因为α∩β=l,所以QM⊥l,QN⊥l.又QM∩QN=Q,则l⊥平面γ,故C正确;如图3所示,在正方体中,平面APCF⊥平面PBDC,AF∥平面PBDC,故D错误.故选D.
典例突破例2.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.
证明 (1)在四棱锥P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.又AB⊥AD,且PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD.又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.
方法总结证明直线与平面垂直与利用线面垂直的性质证明线线垂直的通法是线面垂直的判定定理的应用,其思维流程为:
对点训练2在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为D1D的中点,O为底面ABCD的中心,求证:B1O⊥AP.
证明如图,易证AB1=CB1.又因为O为AC的中点,所以B1O⊥AC.在矩形BDD1B1中,O,P分别为BD,D1D的中点.易证△POD∽△OB1B,所以∠POD=∠OB1B.所以B1O⊥PO.又AC∩PO=O,所以B1O⊥平面PAC.又AP⊂平面PAC,所以B1O⊥AP.
典例突破例3.(2021新高考Ⅰ,20)如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.
(1)证明:OA⊥CD;(2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.
解 (1)在△ABD中,∵AB=AD,O为BD的中点,∴AO⊥BD.∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO⊂平面ABD,∴AO⊥平面BCD.∵CD⊂平面BCD,∴AO⊥CD.
(2)如图,过点E作EN∥AO交BD于N,过点N作NM∥CD交BC于M.∵AO⊥平面BCD,EN∥AO,∴EN⊥平面BCD.∴EN⊥BC.在△BCD中,∵OB=OD=OC=1,∴∠BCD=90°,即DC⊥BC.∵NM∥CD,∴NM⊥BC.又EN∩NM=N,∴BC⊥平面EMN,∴BC⊥ME.∴二面角E-BC-D的平面角是∠EMN=45°,即△EMN是等腰直角三角形.
方法总结利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法
对点训练3如图,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥AC,AB⊥PA,AB∥CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分别为PB,AB,BC,PD,PC的中点.求证:(1)CE∥平面PAD;(2)平面EFG⊥平面EMN.
证明 (1)(方法1)取PA的中点H,连接EH,DH.因为E为PB的中点,
所以四边形DCEH是平行四边形,所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD,CE⊄平面PAD,所以CE∥平面PAD.
(方法2)连接CF.因为F为AB的中点,所以AF= AB.又CD= AB,所以AF=CD.又AF∥CD,所以四边形AFCD 为平行四边形.因此CF∥AD,又CF⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以CF∥平面PAD.因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.又EF⊄平面PAD,PA⊂平面PAD,所以EF∥平面PAD.因为CF∩EF=F,故平面CEF∥平面PAD.又CE⊂平面CEF,所以CE∥平面PAD.
(2)因为E,F分别为PB,AB的中点,所以EF∥PA.又因为AB⊥PA,所以EF⊥AB,同理可证AB⊥FG.又因为EF∩FG=F,EF,FG⊂平面EFG,所以AB⊥平面EFG.又因为M,N分别为PD,PC的中点,所以MN∥CD.又AB∥CD,所以MN∥AB,所以MN⊥平面EFG.又因为MN⊂平面EMN,所以平面EFG⊥平面EMN.
典例突破例4.如图,四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PAB,AP⊥AB.(1)求证:CD⊥AP;(2)若CD⊥PD,求证:CD∥平面PAB.
证明 (1)因为AD⊥平面PAB,AP⊂平面PAB,所以AD⊥AP.又AP⊥AB,AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以AP⊥平面ABCD.因为CD⊂平面ABCD,所以CD⊥AP.
(2)由(1)知CD⊥AP,又因为CD⊥PD,PD∩AP=P,PD⊂平面PAD,AP⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD.①因为AD⊥平面PAB,AB⊂平面PAB,所以AB⊥AD.又AP⊥AB,AP∩AD=A,AP⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,所以AB⊥平面PAD.②由①②得CD∥AB,因为CD⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以CD∥平面PAB.
名师点析立体几何中线线、线面、面面的平行、垂直关系的两种转化
对点训练4如图,在四面体ABCD中,平面BAD⊥平面CAD,∠BAD=90°.M,N,Q分别为棱AD,BD,AC的中点.求证:(1)CD∥平面MNQ;(2)平面MNQ⊥平面CAD.
证明 (1)在△ACD中,因为M,Q分别为棱AD,AC的中点,所以MQ∥CD.又CD⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ,所以CD∥平面MNQ.