2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--第四章　一元函数的导数及其应用 高考解答题专项一　第3课时　利用导数研究函数的零点（课件）

这是一份2023年高考数学人教A版（2019）大一轮复习--第四章　一元函数的导数及其应用 高考解答题专项一　第3课时　利用导数研究函数的零点（课件），共23页。

考向1.利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数例1.(2021山东济南高三月考)若函数f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,且满足f(x)-g(x)=cs 2x+e-x-ex.(1)求函数f(x),g(x)的解析式;(2)令h(x)=f(x)+g(x),试判断函数h(x)零点的个数.
解 (1)因为f(x)是R上的偶函数,g(x)是R上的奇函数,所以
(2)由(1)得h(x)=cs 2x+ex-e-x,则h'(x)=-2sin 2x+ex+e-x,因为ex+e-x≥2(当且仅当ex=e-x,即x=0时取等号),-1≤sin 2x≤1,所以h'(x)≥0在R上恒成立,即h(x)在R上单调递增,
方法点拨利用单调性和函数零点存在定理确定零点个数(1)讨论函数的单调性,确定函数的单调区间;(2)在每个单调区间上,利用函数零点存在定理判断零点的个数;(3)注意区间端点的选取技巧;(4)含参数时注意分类讨论.
对点训练1(2021北京延庆高三模拟)已知函数f(x)=-ln x+2x-2.(1)求曲线y=f(x)的斜率等于1的切线方程;(2)求函数f(x)的极值;(3)设g(x)=x2f(x)-2f(x),判断函数g(x)的零点个数,并说明理由.
x0=1,所以y0=-ln 1+2-2=0,故切线方程为y=x-1.
考向2.利用两个函数图象的交点确定零点个数例2.(2021湖南长沙高三期中)已知函数f(x)=axex,a为非零实数.(1)求函数f(x)的单调递减区间;(2)讨论方程f(x)=(x+1)2的实数解的个数.
解 (1)f'(x)=aex+axex=a(x+1)ex,由f'(x)=0得x=-1.①若a>0时,由f'(x)<0得x<-1,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,-1);②若a<0时,由f'(x)<0得x>-1,所以f(x)的单调递减区间为(-1,+∞).综上所述,当a>0时,f(x)的单调递减区间为(-∞,-1);当a<0时,f(x)的单调递减区间为(-1,+∞).
当x∈(-∞,-1)时,g'(x)>0,g(x)在(-∞,-1)上单调递增;当x∈(-1,0)∪(0,+∞)时,g'(x)<0,所以g(x)在(-1,0)和(0,+∞)上单调递减,又因为g(-1)=0,
所以当x∈(-∞,-1)时,g(x)∈(-∞,0);当x∈(-1,0)时,g(x)∈(-∞,0);当x∈(0,+∞)时,g(x)∈(0,+∞).作出函数的图象(如图).所以,当a>0时,原方程有且只有一个解;当a<0时,原方程有两个解.
误区警示在借助函数图象研究函数零点问题时,要准确画出函数的图象,不仅要研究函数的单调性与极值的情况,还要关注函数值的正负以及变化趋势,把函数图象与x轴有无交点,哪一区间在x轴上方,哪一区间在x轴下方等情况分析清楚,这样才能准确地研究直线与图象交点的个数情况.
对点训练2(2021湖北天门高三月考)已知函数f(x)=x3(ln x-1),g(x)=x .(1)求函数f(x)的最值;(2)若m≤4,求关于x的方程f(x)=g(x)(x≥1)的实数根的个数.
所以当x>e时,h(x)>-1,又因为m≤4,所以- ≥-1.所以当m=4时,函数h(x)的图象与射线y=-1(x≥1)有两个交点,当m<4时,函数h(x)的图象与射线y=- (x≥1)有一个交点.综上,当m=4时,方程f(x)=g(x)(x≥1)实数根的个数为2;当m<4时,方程实数根的个数为1.
例3.(2020全国Ⅰ,文20)已知函数f(x)=ex-a(x+2).(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.
解 (1)当a=1时,f(x)=ex-x-2,则f'(x)=ex-1.当x<0时,f'(x)<0;当x>0时,f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.
(2)f'(x)=ex-a.当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,+∞)单调递增,故f(x)至多存在1个零点,不合题意.当a>0时,由f'(x)=0可得x=ln a.当x∈(-∞,ln a)时,f'(x)<0;当x∈(ln a,+∞)时f'(x)>0.所以f(x)在(-∞,ln a)单调递减,在(ln a,+∞)单调递增,故当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a)=-a(1+ln a).
方法总结已知函数零点个数求参数取值范围问题的解法
对点训练3(2021辽宁锦州高三期中)已知函数f(x)=(x-1)ex+ax2,a∈R.(1)若a<0,讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)有2个不同的零点,求实数a的取值范围.
解 (1)f'(x)=xex+2ax=x(ex+2a).由于a<0,令f'(x)=0,解得x1=0,x2=ln(-2a).