2021-2022学年广东省梅州市梅江区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年广东省梅州市梅江区八年级（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 在以下”绿色食品、响应环保、可回收物、节水“四个标志图案中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若，则下列各式中一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 已知一个等腰三角形的两边长分别为和，则第三边长是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如果分式有意义，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 下列多项式中，不能进行因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 如图，在中，是的垂直平分线，且分别交、于点和，，，则为(    )

A.
B.
C.
D.

7. 下列命题中，真命题是(    )

A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形

8. 关于的一元二次方程 有两个不相等实数根，则 的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 且

9. 如图所示，平行四边形的对角线交于点，且，的周长为，则平行四边形的两条对角线长的和是(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、，对连续作旋转变换依次得到三角形，，，，，则第个三角形的直角顶点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本题共5小题，共15分）

11. 分解因式：______．
12. 一个多边形的内角和等于，则这个多边形是______边形．
13. 已知点，将它先向左平移个单位，再向上平移个单位后得到点，则点的坐标是______．
14. 如图，直线：与直线：在同一平面直角坐标系中相交于一点，则关于的不等式的解集是______．

15. 如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为______．

三、解答题（本题共8小题，共75分）

16. 解不等式组：．
17. 解方程：．
18. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，
    画出．
    若与关于原点成中心对称，则点的坐标是______的面积是______．

19. 先化简，再从，，中选择合适的值代入求值．
20. 如图，四边形是平行四边形，、是对角线上的两点，．
    求证：．
    若时，求证：四边形是菱形．

21. 教材中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
    例如：分解因式．
    原式；
    例如：求代数式的最小值．
    原式．
    ，
    当时，有最小值是．
    根据阅读材料用配方法解决下列问题：
    分解因式：______；
    求代数式的最小值；
    若，当______时，有最______值填“大”或“小”，这个值是______；
    当，，分别为的三边时，且满足时，判断的形状并说明理由．
22. 新时代书店准备购进甲、乙两种图书．已知甲种图书进价比乙种图书贵元，用元购进甲种图书的数量与用元购进乙种图书的数量相同．
    甲、乙两种图书的单价分别为多少元？
    若甲种图书每本售价元，乙种图书每本售价元，书店欲同时购进两种图书共本，请写出所获利润单位：元关于甲种图书单位：本的函数解析式
    在的条件下，若书店计划用不超过元购进两种图书，且甲种图书至少购进本，并将所购图书全部销售，共有多少种购进方案？哪一种方案利润最大？
23. 如图，矩形中，，，、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒．
    若、分别是、的中点，且，求证：以、、、为顶点的四边形始终是平行四边形．
    在的条件下，当为何值时，以、、、为顶点的四边形为矩形？
    若、分别是折线，上的动点，分别从、开始，与、相同的速度同时出发，当为何值时，以、、、为顶点的四边形为菱形？请直接写出的值．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．对称中心在中心点故正确；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念解答即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，故本选项不符合题意；
B.，
，故本选项不符合题意；
C.，
，故本选项符合题意；
D.，
，本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变，不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
腰的长不能为，只能为，
第三边长是，
故选：．
题目给出等腰三角形有两条边长为和，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
根据分式有意义的条件可得，再解之即可得出答案．
【解答】
解：由题意得：，
解得：，
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：、原式，故此选项不符合题意；
B、原式不能分解，故此选项符合题意；
C、原式，故此选项不符合题意；
D、原式，故此选项不符合题意．
故选：．
直接利用因式分解的意义分别分析得出答案．
此题主要考查了因式分解的意义，正确分解因式是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：在中，，，
则，
是的垂直平分线，
，
，
，
故选：．
根据三角形内角和定理求出，根据线段垂直平分线的性质得到，得到，计算即可．
本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．
A、根据矩形的定义作出判断；
B、根据菱形的性质作出判断；
C、根据平行四边形的判定定理作出判断；
D、根据正方形的判定定理作出判断．

【解答】
解：、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形，故本选项错误；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项正确；
D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项错误，
故选：．  

8.【答案】 

【解析】解：根据题意得且，
所以且．
故选：．
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
 

9.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
的周长为，
，
，，
，
故选：．
由平行四边形的性质得，，，再由的周长求出的长，即可得出结论．
本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形周长，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：由图可知，每三次旋转为一个循环单元，一个循环单元的长度为，
第个三角形相当于第个三角形向右平移个单位，
第个三角形的直角顶点的坐标是，
第个三角形的直角顶点的坐标是，
故选：．
由图可知，每三次旋转为一个循环单元，根据一个循环单元的长度为，可求出第六个三角形的直角顶点坐标．
本题考查了坐标与图形的旋转变化，解题关键在于能够正确找出第个三角形所对应第个三角形的顶点坐标．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
所求代数式中含有公因数，可先提取公因数，然后再运用平方差公式分解因式．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行两次分解，注意要分解彻底．
 

12.【答案】九 

【解析】解：根据题意，得
，
解得．
这个多边形的内角和是边形的内角和是，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
 

13.【答案】 

【解析】解：原来点的横坐标是，纵坐标是，向左平移个单位，再向上平移个单位得到新点的横坐标是，纵坐标为．
则点的坐标是．
故答案填：．
直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
解题关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
 

14.【答案】 

【解析】解：直线：与直线：相交于点，
当时，，
关于的不等式的解集为．
故答案为：．
结合图象，写出直线在直线的下方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

15.【答案】 

【解析】解：连接，
，且，，
，
，，
，
四边形是矩形，
，
当时，的值最小，
此时，的面积，
，
的最小值为；
故答案为：．
由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

16.【答案】解：解第一个不等式去括号得，解得；
解第二个不等式去分母得，解得；
不等式组的解集是． 

【解析】解先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

17.【答案】解：分解因式得：，
可得或，
解得：，． 

【解析】方程左边分解因式后，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：如图：

即为所求；
与关于原点成中心对称，
点的坐标是，
与关于原点成中心对称，
的面积的面积


，
故答案为：；．
根据点的坐标在平面直角坐标系中画出图形，即可解答；
根据关于原点对称的点的坐标特征，即可求出点的坐标，再根据对称性求出的面积，即可解答．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，三角形的面积，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
 

19.【答案】解：原式

，
，
，
当时，原式． 

【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在与中，
，
≌，
；
，
．
由知，≌，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形． 

【解析】证明≌，即可得出结论；
由平行线的判定得，再由全等三角形的性质得，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
本题考查了菱形的判定、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
 

21.【答案】    大   

【解析】解：．
故答案为：．
；
的最小值是．
故答案为；．
，
       ，
       ，
当的时候，有最大值．
故答案为：若，当时，有最大值，这个值是．

 ，
 ，
三个完全平方式子的和为，所以三个完全平方式子分别等于．
，，，
得，，，．
是直角三角形．
故答案为：是直角三角形．
凑完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解．
凑成完全平方加一个数值的形式．
和类似，凑成完全平方加以一个数值的形式．
先因式分解，判断字母、、三边的关系，再判定三角形的形状．
完全平方公式的运用要熟练．根据三角形三边关系判断三角形得形状．
 

22.【答案】解：设甲种图书的单价为元本，则乙种图书的单价为元本，根据题意，
得：，
解得：，
经检验是原方程的根，
则，
答：甲种图书的单价为元本，乙种图书的单价为元本；

根据题意，有：
；

根据题意，得：，
解得：，
需取整数，
的值可以是：，，，
故购买方案有种．
，，
随的增大而增大，
取最大值时，有最大值，
故购买方案有种．利润最大的方案是：购买甲种图书本，购买乙种图书本． 

【解析】设甲种图书的单价为元本，则乙种图书的单价为元本，根据用元购进甲种图书的数量用元购进乙种图书的数量列出方程求解即可；
由于购买甲种图书本，则购买乙种图书本，根据：总利润甲种图书的总利润乙种图书的总利润可列函数关系式；
根据用不超过元购进两种图书，且甲种图书至少购进本列出不等式组，解不等式组求出解集，从而确定方案，进而求出利润最大的方案．
本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系或不等关系是解应用题的关键．
 

23.【答案】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，，
在中，，
、分别是、的中点，
，，
，
、是对角线上的两个动点，分别从、同时出发，相向而行，速度均为，
，
，
≌，
，或得，
，
以、、、为顶点的四边形始终是平行四边形；
如图，连接，由可知四边形是平行四边形，

、分别是、的中点，
，
当时，四边形是矩形，分两种情况：
若，则，解得：，
若，则，解得：，
即当为秒或秒时，四边形是矩形；
如图，连接、，

四边形是菱形，
，，，

，
四边形是菱形，
，
设，则，
由勾股定理得：，
即，解得：，
，
，
，
即为秒时，四边形是菱形． 

【解析】根据勾股定理求出，证明≌，根据全等三角形的性质得到，利用内错角相等得，根据平行四边形的判定可得结论；
如图，连接，分、两种情况，列方程计算即可；
连接、，判定四边形是菱形，得到，根据勾股定理求出，得到的长，根据题意解答．
本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、平行四边形的判定和菱形的判定，掌握矩形的性质定理、菱形的判定定理，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．