2021-2022学年广东省梅州市大埔县八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年广东省梅州市大埔县八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列图形中，是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 若，则下列不等式中一定成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 用提公因式法分解因式时，提取的公因式是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 不等式的解集是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，中，的垂直平分线交于，如果，，那么的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

6. 若关于的分式方程有增根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，已知一次函数为常数，且的图象与轴交于点，若正比例函数为常数，且的图象与一次函数的图象相交于点，且点的横坐标为，则关于的不等式的解集为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 将一个有角的三角板的直角顶点放在一张宽为的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成角，如图，则三角板的最大边的长为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，在▱中，点在上，且，连接，过点作，垂足为，若，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，已知是等边三角形，是边上的一个动点异于点、，过点作，垂足为，的垂直平分线分别交、于点、，连接，当点在边上移动时，有下列三个结论：一定为等腰三角形；一定为等边三角形；可能为等腰三角形．其中正确的有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

二、填空题（本大题共7小题，共28分）

11. 分解因式：______．
12. 化简：           ．
13. 如图，在中，，将沿着的方向平移至，若平移的距离是，则图中阴影部分的面积为______．

14. 如图，▱的对角线、相交于点，是中点，且，则▱的周长为______．

15. 如图，平分，于点，点是射线上一个动点，若，则的最小值为______．

16. 在实数范围内规定新运算“”，基本规则是，已知不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为______．
17. 如图，在平面直角坐标系中，有一个等腰直角三角形，，直角边在轴上，且将绕原点顺时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，再将绕原点顺时针旋转并放大得到等腰直角三角形，且，，依此规律，得到等腰直角三角形，则点的横坐标为______．

三、解答题（本大题共8小题，共62分）

18. 分解因式：
    ；
    ．
19. 解不等式组，并把解集在如图所示的数轴上表示出来．

20. 解方程：．
21. 如图，在平面直角坐标系中，即的三个顶点分别是，，．
    将以点为旋转中心旋转，画出旋转后对应的．
    平移，若点的对应点的坐标为画出平移后对应的．

22. 如图，是等边三角形，是等腰三角形，，，为中点，连接．
    直接写出的度数为______；
    判断与的位置关系，并说明理由．

23. 现有、两种商品，已知买一件商品要比买一件商品少元，用元全部购买商品的数量与用元全部购买商品的数量相同．
    求、两种商品每件各是多少元？
    如果小亮准备购买、两种商品共件，总费用不超过元，且不低于元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
24. 将两块全等的三角板按如图所示摆放，其中，．
    将图中的按顺时针方向旋转得图，与交于点，与交于点，求证：；
    在图中，若，求的长．

25. 如图，在中，点、分别是边、的中点，过点作交的延长线于点，连接．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，，求的面积．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：选项D能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转后原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：．
根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．
此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，故A选项符合题意，选项不符合题意；
根据能推出，不能推出，故B选项不符合题意；不能推出，故D选项不符合题意；
即只有选项A符合题意；选项B、、都不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：不等式的性质：不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

3.【答案】 

【解析】解：用提公因式法分解因式时，提取的公因式是．
故选：．
直接根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：移项得，，
合并同类项得，，
故选：．
根据解一元一次不等式的基本步骤进行解答即可．
本题考查的是在解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：是的垂直平分线，
，
的周长，
而，，
的周长是．
故选：．
由于的垂直平分线交于，所以，而的周长，而，，由此即可求出的周长．
此题主要考查了线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．结合图形，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：去分母得：，
把代入得：，
解得：．
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，把代入计算即可求出的值．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

7.【答案】 

【解析】解：当时，，
所以关于的不等式的解集为．
故选：．
写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作，，
在直角三角形中，
，
，
又三角板是有角的三角板，
，
，
，
故选：．
过另一个顶点作垂线如图，可得直角三角形，根据直角三角形中角所对的边等于斜边的一半，可求出有角的三角板的直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．
此题考查的知识点是含角的直角三角形及等腰直角三角形问题，关键是先求得直角边，再由勾股定理求出最大边．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故选：．
首先根据，得到，然后利用四边形是平行四边形得到，再根据，得到，从而利用三角形的内角和定理求得即可．
考查了平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的对边平行且相等得到相关结论，难度不大．
 

10.【答案】 

【解析】解：的垂直平分线分别交、于点、，
，
一定为等腰三角形，故正确；
，，
，
，
又是等边三角形，
，
中，，
一定为等边三角形；
故正确；
，，
，
不可能为等腰三角形．
故错误；
故选：．
的垂直平分线分别交、于点、，得，即可求解，故正确；由题意，，易得，得一定为等边三角形，故正确；，，，得不可能为等腰三角形，故错误；
本题考查了等边三角形的判定与性质，等边三角形是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
提取公因式，即可求得答案．
本题考查了提公因式法分解因式．题目比较简单，解题需细心．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式

，
故答案为：．
根据分式的运算法则即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
 

13.【答案】 

【解析】解：直角沿边平移个单位得到直角，
，，
四边形为平行四边形，
，
即阴影部分的面积为．
故答案为：．
先根据平移的性质得，，于是可判断四边形为平行四边形，然后根据平行四边形的面积公式计算即可．
本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．也考查了平行四边形的面积公式．
 

14.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
平行四边形的周长，
故答案为：．
首先证明，再由，推出即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理，属于中考常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：
过作于，当和重合时，的值最小，
平分，，，
，
即的最小值是，
故答案为：．
过作于，当和重合时，的值最小，根据角平分线性质得出，即可求出答案．
本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等．
 

16.【答案】 

【解析】解：根据图示知，不等式的解集是，
，，
，
，
，
解得．
故答案是：．
根据新运算法则得到不等式，通过解不等式即可求的取值范围，结合图象可以求得的值．
本题考查了在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

17.【答案】 

【解析】解：是等腰直角三角形，，
，
，
将绕原点顺时针旋转得到等腰直角三角形，且，
再将绕原点顺时针旋转得到等腰三角形，且，依此规律，
每次循环一周，，，，，
，
点与同在一个象限内，
，，，
点
故答案为：．
根据题意得出点坐标变化规律，进而得出点的坐标位置，进而得出答案．
此题主要考查了点的坐标变化规律，得出点坐标变化规律是解题关键．
 

18.【答案】解：

；


． 

【解析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解，即可解答；
先提公因式，再利用完全平方公式继续分解，即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

19.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】解：方程两边都乘，得：
，
即，
移项、合并同类项得，
系数化为得．
经检验：是原方程的解． 

【解析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的一般步骤进行解答即可．
 

21.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
 

【解析】根据旋转的性质作图即可．
根据平移的性质作图即可．
本题考查作图旋转变换、平移变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．
 

22.【答案】；
结论：．
理由：，，
，
，，
，
，
． 

【解析】解：是等边三角形，
，
，，
，
．
故答案为．
见答案．
分别求出，即可解决问题．
证明即可判断．
本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：设商品每件元，则商品每件元，
根据题意，得：，
经检验：是原方程的解，
所以商品每件元，则商品每件元．
设购买商品件，则购买商品共件，
列不等式组：，
解得：，即，
取整数：，，．
有三种方案：
商品件，则购买商品件；费用：，
商品件，则购买商品件；费用：，
商品件，则购买商品件；费用：，
所以方案费用最低． 

【解析】设商品每件元，则商品每件元，根据“元全部购买商品的数量与用元全部购买商品的数量相同”列方程求解可得；
设购买商品件，则购买商品共件，列不等式组：，解之求出的整数解，从而得出答案．
本题主要考查分式方程与不等式组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系与不等关系，并据此列出方程和不等式组．
 

24.【答案】证明：，，
；
又，，
≌，
；

解：如图：作于，
，
；
，
，
；
又，，
． 

【解析】根据和是两个完全一样的三角形，顺时针旋转两个条件证明≌，然后可求证：；
作于，根据，分别求出，，于是得到结论．
本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

25.【答案】
证明：点、分别是边、的中点，
，
，
四边形是平行四边形；


解：如图：过点作于点，

，点是边的中点，
，
由可知四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，，，
，
，
． 

【解析】本题主要考查了平行四边形的判定及平行四边形的性质，解题的过程中勾股定理的运用很关键．
求出，来证明四边形是平行四边形．
过点作于点，求出和的长再求的面积．