2021-2022学年辽宁省沈阳市和平区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年辽宁省沈阳市和平区八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（本题共10小题，共30分）

1. 许多数学符号蕴含着对称美，在下列数学符号中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的符号是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 不等式组的解集在数轴上表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4. 下列各式从左到右的变形一定正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若顺次连接四边形各边的中点所得四边形是菱形，则原四边形一定是(    )

A. 平行四边形 B. 对角线相等的四边形
C. 菱形 D. 对角线互相垂直的四边形

6. 若正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是(    )

A. 六 B. 七 C. 八 D. 九

7. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交的延长线于点，则的长度为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 下列命题正确的是(    )

A. 等腰三角形底边上的中线垂直于腰
B. 等腰三角形的边长为，另边长为，则这 个三角形的周长为
C. 若分式有意义，则
D. 一组对边相等另一组对边平行的四边形是平行四边形

9. 某市在创建全国文明城市的行动中，对一段米路段进行整修，为了减少施工对城市交通的影响，实际施工时每天的工效比计划增加，结果提前天完成任务，设计划每天整修米，根据题意所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10. 如图，与都是等边三角形，连接，，，，若将绕点顺时针旋转，当点、、在同一条直线上时，线段的长为(    )

A.
B.
C. 或
D. 或

二、填空题（本题共6小题，共24分）

11. 分解因式：______．
12. 若函数的图象如图所示，则不等式的解集是______．

13. 计算：______．
14. 如图，点为轴负半轴上点，过点作轴，与直线交于点，将沿直线平移个单位长度得到，若点的坐标为，则点的坐标是______．

15. 如图，在四边形中中，点是对角线的中点，点、分别是、的中点，，，则的度数是______．

16. 如图，在中，，，，点为的中点，点是边上一个动点，将沿着翻折，使得点落在点处，当时，的长为______．

三、选择题（本题共9小题，共66分）

17. 因式分解：．
18. 解分式方程：．
19. 解不等式组：．
20. 如图，在等边三角形中，点是边上的一点，过点作交于点，作，交的延长线于点．
    求证：；
    当，时，请直接写出的面积．

21. 在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，将线段平移，点，的对应点分别为点，，且点坐标为连接，，．
    直接画出四边形；
    四边形的面积为______面积单位；
    点是轴上一动点，当时，请直接写出点的坐标．

22. 如图，点，是▱对角线上的两点，且．
    求证：四边形是平行四边形．
    若，，，．
    线段长为______．
    四边形的面积为______．

23. 暑假期间，某校部分家长组织学生到户外开展劳动实践活动，一名学生由一名家长陪同，家长联系了甲乙两家组织机构，他们的报价相同，每位学生的报价比家长少元，按报价计算，家长的总费用为元，学生的总费用为元．
    求每位学生报价是多少元？
    经协商，甲机构的优惠条件是：家长全价，学生都按折收费；乙机构的优惠条件是：家长、学生都按为正整数折收费，他们选择了总费用较少的乙机构，请直接写出的最大值．
24. 如图，在正方形中点，分别在边，上，且，连接，求证：，；
    如图，若将边长为的正方形折叠，使得点落在的中点处折痕为点在边上，点在边上，则折痕______；
    如图，在正方形中，，则的最小值为______直接填空
     

25. 如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，，．
    求直线的函数表达式；
    如图，点的坐标为，连接，将绕点逆时针旋转得，连接交轴于点，请直接写出的长；
    如图，射线与轴交于点，在第四象限内有一点，当的面积为，且的面积为时，连接，将线段，从点出发，沿射线的方向平移，平移后的线段记为点在射线上，点为轴上的动点，当是以为直角边的等腰直角三角形时，请直接写出点的坐标．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转后与原图重合．
本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．
 

2.【答案】 

【解析】解：原不等式组的解集为，处是空心圆点且折线向右；处是实心圆点且折线向左，
故选：．
根据在数轴上表示不等式解集的方法进行解答即可．
本题考查的是在数轴上表示不等式组的解集，熟知实心圆点与空心原点的区别是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、不是因式分解，故此选项错误；
B、等式的左边和右边不相等，故此选项错误；
C、是因式分解，但是分解错误，应该是，故此选项错误；
D、是因式分解，故此选项正确．
故选：．
根据把整式变成几个整式的积的过程叫因式分解进行分析即可；
根据平方差公式可作判断即可；
先提公因式，再运用完全平方公式分解可作判断；
直接利用完全平方公式分解因式．
此题主要考查了分解因式，关键是掌握分解因式的定义和乘法公式．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意．
B、当时，，故B不符合题意．
C、，故C不符合题意．
D、，故D符合题意．
故选：．
根据分式的基本性质判断即可，分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图，

、分别是、的中点，、分别是、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，，
同理，，，
四边形是平行四边形，
若四边形是菱形，则，
，
故选：．
如图，由三角形中位线的性质得出，，，，进而得出四边形是平行四边形，若四边形是菱形，则，得出，即可得出答案．
本题考查了中点四边形，平行四边形的判定，菱形的判定与性质，掌握三角形中位线的判定与性质，平行四边形的判断，菱形的判定与性质是解决问题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：任意多边形的外角和是，
因为多边形是正多边形，
所以多边形的每个外角相等等于，
则多边形的边数是：．
故选：．
根据任何多边形的外角和都是，用除以外角的度数就可以求出外角的个数，即多边形的边数．
本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：由作法得平分，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
．
故选：．
先利用基本作图得到平分，则，再根据平行四边形的性质得到，，再证明得到，然后计算即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和平行四边形的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：、等腰三角形的底边上的中线垂直与底，故原命题错误，不符合题意；
B、等腰三角形的一边长为，另一边长为，则这 个三角形的周长为，故原命题错误，不符合题意；
C、若分式有意义，则，正确，符合题意；
D、一组对边相等另一组对边平行的四边形可能是平行四边形也可能是等腰梯形，故错误，不符合题意．
故选：．
利用等腰三角形的性质、分式有意义的条件及平行四边形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解等腰三角形的性质、分式有意义的条件及平行四边形的判定方法，难度不大．
 

9.【答案】 

【解析】解：实际施工时每天的工效比计划增加，则且实际每天整修米，
依题意得：，
故选：．
根据实际及原计划工作效率之间的关系可得出实际施工时每天整修米，利用工作时间工作总量工作效率，结合提前天完成任务，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当在延长线上时，过作于，如图：

与都是等边三角形，，，
，，
，
，
在中，
，，
；
当在的延长线上时，过作于，如图：

在中，
，，
，
在中，
；
综上所述，线段的长为或，
故选：．
分两种情况：当在延长线上时，过作于，根据与都是等边三角形，，，可得，，在中，可得，从而；当在的延长线上时，过作于，在中，，，在中，．
本题考查等边三角形的旋转变换，解题的关键是分类画出图形，应用含角的直角三角形三边关系，结合勾股定理解决问题．
 

11.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

12.【答案】 

【解析】解：当时，，
所以不等式的解集为．
故答案为：．
结合图象，写出直线在轴上方所对应的自变量的范围即可．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
 

13.【答案】 

【解析】解：


．
故答案为：．
首先把变为，然后利用同分母的分式加减法则计算即可求解．
此题主要考查了分式的加减法，解题的关键是首先把变为，接着利用分式加减法则计算即可加减问题．
 

14.【答案】 

【解析】解：点的坐标为，轴，与直线交于点，
，
将沿直线向上平移个单位长度得到，实质上是将向右平移个单位，向上平移个单位，
的坐标为，即，
故答案为：．
求得的坐标，根据题意，将向右平移个单位，向上平移个单位得到，从而得到的坐标为，即．
本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，点的平移问题，能根据题意得出平移的实质是本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：是的中点，点、分别是、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理得到，，，，再根据平行线的性质即可求出的度数，最后根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理进行计算，即可得到的度数．
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 

16.【答案】或 

【解析】解：在中，，，，点为的中点，
，，
如图：当在的右侧时，

延长交于，
，
，
由翻折的性质知，，
，
设，则，，
，
在直角三角形中，，
，
，
．
当在的左侧时，如图：

由翻折性质知，，
，，
，
，
，，
在直角三角形中，，
，
．
故答案为：或．
利用翻折的性质分类计算即可．
本题考查翻折的性质，充分利用翻折性质及含度角的直角三角形的性质是求解本题的关键．
 

17.【答案】解：

． 

【解析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 

18.【答案】解：分式的两边都乘以得：
，
，
，
即，
检验：把代入，不是方程的解，
原方程无解． 

【解析】分式的两边都乘以得出，移项后合并同类项得出，求出方程的解，再代入进行检验即可．
本题主要考查对解分式方程的理解，能熟练地解分式方程是解此题的关键．
 

19.【答案】解：解第一个不等式去括号得，解得；
解第二个不等式去分母得，解得；
不等式组的解集是． 

【解析】解先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．
解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

20.【答案】证明：是等边三角形，
．
，
，，
，
，
，

，
，
．
解：过点作于点，

由可知，
．
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
的面积为：． 

【解析】证明中的三个角均为，然后再求得，从而可得到，故此可得到；
先求得，根据求得，所以，然后进一步求的面积即可．
本题主要考查的是等边三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：如图，四边形即为所求；
四边形的面积，
故答案为：；

设由题意，，
解得，或，
或．
根据要求作出图形即可；
利用平行四边形的面积公式求解；
设，构建方程求解即可．
本题考查坐标与图形变化平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会利用参数构建方程解决问题．
 

22.【答案】   

【解析】证明：连接交于，

四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：，，，
在中，，
，
，
，
；
过点作于点，

，
，
解得，
四边形的面积为：．
故答案为：，．
连接，根据平行四边形的性质可得，，根据已知证得，从而证得结论；
根据勾股定理求出，然后求得，进而求出；
作边上高，利用等面积法求出，计算的面积，进而求出四边形的面积．
本题考查平行四边形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：设每位学生报价是元，则每位家长报价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
答：每位学生报价是元．
参加劳动实践活动的学生人数为人．
一名学生由一名家长陪同，
参加劳动实践活动的家长有人．
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
的最大值为．
答：的最大值为． 

【解析】设每位学生报价是元，则每位家长报价是元，利用数量总价单价，结合学生和家长的人数相等，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
利用数量总价单价，可求出参与活动的学生及家长人数，根据选择乙机构所需总费用较少，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中最大整数值即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

24.【答案】  ． 

【解析】证明：如图，设、交于，

四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，且；
解：如图，过点作于，

则四边形中，，
由翻折变换的性质得，
，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
，
≌，
，
点是的中点，
，
在中，由勾股定理得，，
的长为．
故答案为：；
解：如图，连接，设、交于，

四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，
，
作点关于的对称点，连接，，
，
，
点，点，点三点共线时，的最小值为，
，
故答案为：．
根据正方形性质可得，，进而可证明≌，依据全等三角形性质即可证得结论；
过点作于，根据翻折变换的性质可得，然后求出，再利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再利用勾股定理列式求出，从而得解；
由“”可证≌，可得，点，点，点三点共线时，的最小值为，由勾股定理可求解．
此题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 

25.【答案】解：设的解析式为：，
，
解得：，
直线的函数表达式为：；
过点作轴于点，过点作轴，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，，
≌，
，
，
，
设的解析式为：，
解得，
的解析式为：，
当时有，
解得，
，
；
设直线的解析式为，
，
解得，
，
，
设，
的面积为，
，
，
的面积为，
，
，
，
设线段沿轴负方向移动个单位，则线段沿轴负方向移动个单位，
，，
当时，，
过点作轴的垂线交于，过点作交于点，
，，
，
≌，
，
，
，
舍或，
；
当时，过点作轴，过点作交于，过点作交于，
，，
，
，
≌，
，
，
，
解得舍或，
；
综上所述：点坐标为或 

【解析】用待定系数法求函数解析式即可；
过点作轴于点，过点作轴，先≌，再证明≌，由待定系数法求出的解析式后即可求出点坐标，由此可求解；
由三角形面积求出点坐标，设线段沿轴负方向移动个单位，则线段沿轴负方向移动个单位，则，，当时，过点作轴的垂线交于，过点作交于点，通过证明≌，求出，再由，可求；当时，过点作轴，过点作交于，过点作交于，通过证明≌，求出，再由，得到
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，图形旋转和平移的性质是解题的关键．