初中湘教版5.2 二次根式的乘法和除法第2课时教学设计

5.2 二次根式的乘法和除法

第2课时

教学目标

1.了解商的算术平方根性质.

2.利用公式进行二次根式的化简和除法运算.

教学重难点

【教学重点】

简单的二次根式的除法运算，利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简.

【教学难点】

探索二次根式的除法法则.

课前准备

无

教学过程

一、情境导入

一个长方形的面积为，长为，那么这个长方形的宽是多少？

二、合作探究

探究点一：商的算术平方根的性质

【类型一】 利用商的算术平方根的性质确定字母的取值范围

例1 若＝，则a的取值范围是(　　)

A．a＜2  B．a≤2

C．0≤a＜2  D．a≥0

解析：根据题意得解得0≤a＜2，故选C.

方法总结：运用商的算术平方根的性质：＝(a＞0，b≥0)，必须注意被开方数是非负数且分母不等于零这一条件．

【类型二】 利用商的算术平方根的性质化简二次根式

例2 化简：

(1)；(2)(a＞0，b＞0，c＞0)．

解析：按商的算术平方根的性质，用分子的算术平方根除以分母的算术平方根．

解：(1)＝＝＝；

(2)＝＝.

方法总结：被开方数中的带分数要化为假分数，被开方数中的分母要化去，即被开方数不含分母，从而化为最简二次根式．

探究点二：二次根式的除法

【类型一】 二次根式的除法运算

例3 计算：

(1)；　(2)；　(3)；

(4)÷(－)(a＞0，b>0)．

解析：(1)直接把被开方数相除；(2)把系数与系数相除，被开方数与被开方数相除；(3)被开方数相除时，注意约分；(4)系数相除时，把除法转化为乘法，被开方数相除时，写成商的算术平方根的形式，再化简．

解：(1)＝＝＝；

(2)＝＝＝；

(3)＝＝＝；

(4)÷(－)

＝×(－)＝－＝－.

方法总结：①二次根式的除法运算，可以类比单项式的除法运算，当被除式或除式中有负号时，要先确定商的符号．②二次根式相除，根据除法法则，把被开方数与被开方数相除，转化为一个二次根式．③二次根式的除法运算还可以与商的算术平方根的性质结合起来，灵活选取合适的方法．④最后结果要化为最简二次根式．

【类型二】 二次根式的乘除混合运算

例4 计算：

(1)3×÷(－5)；

(2)÷×12.

解析：把系数与系数相乘除，被开方数与被开方数相乘除，最后结果化为最简二次根式．

解：(1)3×÷(－5)＝(－3××)＝－＝－＝－×＝－；

(2)÷×12＝(÷×12)＝(××12)＝3＝1.

方法总结：二次根式的乘除混合运算，与有理数的乘除混合运算一样，按从左到右的顺序进行，也可以先统一为乘法运算，再进行运算．

【类型三】 二次根式除法的实际应用

例5 已知某长方体的体积为30cm3，长为cm，宽为cm，求长方体的高．

解析：因为长方体的体积＝长×宽×高，所以高＝长方体的体积÷(长×宽)，代入计算即可．

解：长方体的高为：

30÷(×)＝30＝30＝(cm)．

方法总结：本题也可以设高为x，根据长方体体积公式建立方程求解．

三、板书设计

1．商的算术平方根的性质：＝(a＞0，b≥0)

2．二次根式的除法：＝(a＞0，b≥0)

四、教学反思

本节课的学习中要注意拓展知识间的相互联系：商的算术平方根的性质与二次根式的除法的联系，二次根式的乘法与二次根式的除法的联系，类比单项式的乘除法运算进行二次根式的乘除法运算，让学生顺利实现知识的迁移．