2023年新高考数学函数压轴小题专题突破 专题4 函数零点问题之分段分析法模型

专题4 函数零点问题之分段分析法模型

1．设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解析】解：的定义域为，

又，

函数至少存在一个零点可化为

函数至少有一个零点；

即方程有解，

则，

；

故当时，，

当时，；

则在上单调递增，

在上单调递减，

故；

又当时，，

故；

故选：．

2．设函数（其中为自然对数的底数，若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：令，

则，

设，

令，，

，发现函数，在上都是单调递增，在，上都是单调递减，

函数在上单调递增，在，上单调递减，

故当时，得，

函数至少存在一个零点需满足，

即．

故选：．

3．已知函数（其中为自然对数的底数）至少存在一个零点，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】解：令，即，

令，则函数与函数至少有一个交点，

易知，函数表示开口向上，对称轴为的二次函数，

函数的导函数，

令，解得，令，解得，

函数在上单调递增，在上单调递减，，

作出函数与函数的草图如下，

由图可知，要使函数与至少一个交点，只需，即，

解得．

故选：．

4．若函数至少存在一个零点，则的取值范围为　　

A．， B．， C．， D．，

【解析】解：函数至少存在一个零点，

有解，即有解，

，

当时，，为关于的增函数；

当时，，为关于的减函数．

因此，画出函数的图象如右图所示，

则若函数至少存在一个零点，

则小于函数的最大值即可，

函数的最大值为

即．

故选：．

5．设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是　，　．

【解析】解：，

令得，

当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增，

当时，起点最小值（e），

至少有1个零点，

，即．

故答案为：，．