重庆市九龙坡区育才中学教育集团2021-2022学年下学期八年级期末数学试卷(word版含答案)

这是一份重庆市九龙坡区育才中学教育集团2021-2022学年下学期八年级期末数学试卷(word版含答案)，共32页。
2021-2022学年重庆市九龙坡区育才中学教育集团八年级（下）期末数学试卷
一.选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）下列字母中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）若有意义，则x的范围是（　　）
A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣1
3．（4分）小育同学在我校举办的“青春心向党，歌唱新时代”歌唱比赛中，根据七位评委所给的分数作了如下表格：
平均数
中位数
众数
方差
8.6
8.4
8.3
0.14
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不会发生变化的是（　　）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
4．（4分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
5．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．方差越大，数据越稳定
B．平行四边形的对角线互相平分
C．△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
D．菱形的对角线相等
6．（4分）一次函数y＝（m+3）x+m2﹣9的图象经过原点，则m的值为（　　）
A．m＝﹣3 B．m＝3 C．m＝±3 D．m＝4
7．（4分）估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
8．（4分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣2）x+4＝0的一个根是2，则k的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
9．（4分）甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往100千米外的B地，甲、乙两人离A地的距离（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示，以下说法正确的是（　　）

A．甲的速度是30km/h
B．乙出发2小时后两人第一次相遇
C．乙的速度是60km/h
D．甲乙同时到达B地
10．（4分）在△ABC中，AB＝30，AC＝25，高AD＝24，则BC的长是（　　）
A．25 B．18 C．25或11 D．25或18
11．（4分）若关于x的分式方程＝﹣2的解是正整数，且一次函数y＝（a﹣1）x+（a+10）的图象不经过第三象限，则满足条件的所有整数a的和是（　　）
A．﹣3 B．﹣13 C．﹣16 D．﹣17
12．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①abc＜0；②3a+b＞﹣c；③2c＜3b；④（k+1）（ak+a+b）≤a+b，其中正确的是（　　）

A．①③④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于原点O的对称点A′的坐标为　 　．
14．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣3）2﹣2的图象上，若x1＜x2＜3，则y1　 　y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
15．（4分）关于x的一元二次方程（3﹣m）x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝　 　．
16．（4分）将直线y＝﹣x+6向下平移2个单位，平移后的直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点O为坐标原点，则S△ABO＝　 　．
17．（4分）如图，已知正方形ABCD，AD＝4，E为CD的中点，连接AE，H为AE的中点，连接DH，把△ADH沿DH所在直线翻折得到△FDH，连接BF，CF，则BF的长为 　 　．

18．（4分）“赤日满天地，火云成山岳，草木尽焦卷，川泽皆竭涸．”炎炎复日，甲、乙两水果店老板决定一起去批发市场同一家店进购顾客夏季最喜欢的A、B、C三种品种的水果．两位老板一共购进A、B、C三种水果数量之比为5：6：6，其中甲店老板购进A、B、C三种水果数量之比为3：7：4，并且乙老板购进B、C两种水果数量之比为5：8．他们决定A、B、C三种水果的每千克售价分别比其成本高50%，40%，30%，则甲店老板销售完A和C两种水果的利润与乙店老板销售完A和C两种水果的利润之比为 　 　．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）（1）计算：4÷2+﹣18×；
（2）解方程：3x2﹣6x+2＝0．
20．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）尺规作图：过点A作线段BC的垂线，垂足为点E；
（2）连接BD，分别与AE、AC交于点F、O，其中∠ACB＝∠BFE，求证：四边形ABCD是菱形．
证明：由（1）得AE⊥BC．
∴∠AEB＝　 　（ 　 　）．
∴在Rt△BFE中，∠FBE+　 　＝90°（直角三角形两锐角互余）．
∵∠ACB＝∠BFE，（已知）
∴∠FBE+　 　＝90°．（等量代换）
∴∠BOC＝90°．
∴BD⊥　 　．
∴平行四边形ABCD是菱形．

21．（10分）“喜迎二十大，七一建党节”，某学校举办了以“学党史、强信念、跟党走”为主题的党史知识竞赛活动．从七、八年级中各随机抽取了20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩数据，并进行整理、描述和分析（竞赛成绩均为整数，满分50分，成绩得分用x表示，共分成四组：A．42＜x≤44；B．44＜x≤46：C．46＜x≤48；D．48＜x≤50），下面给出了部分信息．
七年级抽取学生在C组的数据个数为5个．
八年级抽取学生竞赛成绩为：
44，45，45，46，46，47，47，48，48，48，49，49，50，50，50，50，50，50，50，50．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
满分率
七年级
47.7
48.5
b
30%
八年级
48.1
a
50
40%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请填空：a＝　 　；b＝　 　；m＝　 　．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的党史知识竞赛成绩更好？请说明理由（一
条理由即可）；
（3）若该校七年级有900名学生，八年级有1600名学生，估计该校党史知识竞赛成绩为满分的人数．

22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，作出函数y＝﹣2x+4的图象，（请先填表再作图，不写作法，不下结论）
列表：
x
0
n
y＝﹣2x+4
m
0
（1）m＝　 　；n＝　 　．
（2）若直线y＝x+1交x轴于点A，交y轴于点B，与直线y＝﹣2x+4交于点C，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点E，求四边形BCEO的面积．

23．（10分）如图，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝3，过点A作AE⊥BC，垂足为E．连接AC、BD，交于点O，连接OE，延长EO交AD于点F．
（1）若BE＝1，求AC的长；
（2）求证：AO＝EF．

24．（10分）新晋网红打卡地一一重庆规划展览馆吸引众多游客，某商家借此购进一批文创产品钥匙扣和手账本．商家用1600元购买钥匙扣，800元购买手账本，每个钥匙扣和手账本的进价之和为10元，且购进手账本的数量是钥匙扣的2倍．
（1）求商家购买每个钥匙扣的进价和每个手账本的进价；
（2）商家在销售过程中发现，当于账本的售价为每个5元，钥匙扣的售价为每个15元时，平均每天可售出40个手账本，20个钥匙扣．据统计，钥匙扣的售价每降低0.5元平均每天可多售出5个，且降价幅度不超过20%．商家在保证手账本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使钥匙扣和手账本平均每天的总获利为300元，则每个钥匙扣的售价为多少元？
25．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象和x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C、D（0，﹣1）．
（1）求二次函数解析式；
（2）在线段AC上方的抛物线上有一动点P，直线PC与直线BD交于点Q，当△PAQ面积最大时，求点P的坐标及△PAQ面积的最大值；
（3）在（2）条件下，将抛物线y＝ax2+bx+3沿射线AC平移2个单位长度，得到新二次函数y′＝ax2+bx+c，点R在新抛物线对称轴上，在直线y＝﹣x上有一点S，使得以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．


四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
26．（8分）△ABC与△DCE均为等边三角形，D在边AC上，连接BE．
（1）如图1，若AB＝4，CE＝2，求BE的长；
（2）如图2，若AB＞DC，在平面内将图1中△DCE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜120°），连接BD、AE，交于点O，连接OC，在△CDE运动过程中，猜想线段AO，OC，BO之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，将△DCE绕点C顺时针旋转30°，连接BD，点F、G为直线BD上两个动点，且FG＝，连接CF，AG．若CD＝2，AB＝CD，求CF+FG+GA的最小值．



2021-2022学年重庆市九龙坡区育才中学教育集团八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑。
1．（4分）下列字母中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2．（4分）若有意义，则x的范围是（　　）
A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣1
【分析】在二次根式中，被开方数要大于或等于零式子才有意义．
【解答】解：若有意义，
1+x≥0，
x≥﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式有意义的条件，解题关键在于知道被开方数要大于或等于零．
3．（4分）小育同学在我校举办的“青春心向党，歌唱新时代”歌唱比赛中，根据七位评委所给的分数作了如下表格：
平均数
中位数
众数
方差
8.6
8.4
8.3
0.14
如果去掉一个最高分和一个最低分，则表中数据一定不会发生变化的是（　　）
A．众数 B．平均数 C．中位数 D．方差
【分析】根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数，可以得到去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
【解答】解：去掉一个最高分和一个最低分对中位数没有影响，
故选：C．
【点评】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义．
4．（4分）抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
【分析】由函数解析式可求得其顶点坐标．
【解答】解：
∵y＝﹣（x+1）2﹣2，
∴顶点坐标为（﹣1，﹣2），
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．
5．（4分）下列说法正确的是（　　）
A．方差越大，数据越稳定
B．平行四边形的对角线互相平分
C．△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形
D．菱形的对角线相等
【分析】选项A根据方差的意义判断即可；选项B根据平行四边形的性质判断即可；选项C根据勾股定理的逆定理判断即可；选项D根据菱形的性质判断即可．
【解答】解：A．方差越小，数据越稳定，原说法错误，故本选项不合题意；
B．平行四边形的对角线互相平分，正确，故本选项符合题意；
C．△ABC中，若a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形，说法错误，因为没有说明a、b是较小的两边，c是较大的边，故本选项不合题意；
D．菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等，原说法错误，故本选项不合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了方差，平行四边形的性质，菱形的性质以及勾股定理的逆定理，掌握相关性质是解答本题的关键．
6．（4分）一次函数y＝（m+3）x+m2﹣9的图象经过原点，则m的值为（　　）
A．m＝﹣3 B．m＝3 C．m＝±3 D．m＝4
【分析】把（0，0）代入y＝（m+3）x+m2﹣9求解，注意m的取值范围．
【解答】解：把（0，0）代入y＝（m+3）x+m2﹣9得m2﹣9＝0，
解得m＝3或m＝﹣3，
∵m+3≠0，
∴m＝3．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为0．
7．（4分）估计的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【分析】原式化简后，估算即可得到结果．
【解答】解：原式＝4﹣2＝2＝
∵4＜8＜9
∴2＜＜3
∴2＜＜3
故选：B．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．（4分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣2）x+4＝0的一个根是2，则k的值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
【分析】把x＝2代入方程kx2﹣（k﹣2）x+4＝0得关于k的方程，解方程即可确定k的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣2）x+4＝0的一个根是2，
∴k×22﹣2（k﹣2）+4＝0，即2k＝﹣8，
∴k＝﹣4，
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
9．（4分）甲、乙两人沿同一条路从A地出发，去往100千米外的B地，甲、乙两人离A地的距离（千米）与时间t（小时）之间的关系如图所示，以下说法正确的是（　　）

A．甲的速度是30km/h
B．乙出发2小时后两人第一次相遇
C．乙的速度是60km/h
D．甲乙同时到达B地
【分析】根据图象以及“路程÷时间＝速度”即可进行判断．
【解答】解：∵60÷3＝20（km/h）
∴甲的速度是20km/h，
故A选项不正确，不符合题意；
根据图象可知，甲出发2小时后两人第一次相遇，
故B选项不正确，不符合题意；
∵（100﹣40）÷（3﹣2）＝60（km/h），
∴乙的速度是60km/h，
故C选项正确，符合题意；
根据图象可知，乙比甲先到达B地，
故D选项不正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，理解图象上各点的含义是解题的关键．
10．（4分）在△ABC中，AB＝30，AC＝25，高AD＝24，则BC的长是（　　）
A．25 B．18 C．25或11 D．25或18
【分析】根据勾股定理求出求出BD、CD，分情况计算即可．
【解答】解：如图1，在Rt△ABD中，BD＝＝＝18，
在Rt△ADC中，CD＝＝＝7，
∴BC＝BD+CD＝18+7＝25，
如图2，BC＝BD﹣CD＝18﹣7＝11，
综上所述，BC的长为25或11，
故选：C．


【点评】本题考查的是勾股定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
11．（4分）若关于x的分式方程＝﹣2的解是正整数，且一次函数y＝（a﹣1）x+（a+10）的图象不经过第三象限，则满足条件的所有整数a的和是（　　）
A．﹣3 B．﹣13 C．﹣16 D．﹣17
【分析】根据关于x的分式方程的解是正整数，一次函数图像不经过第三象限可以求得满足条件的a的值，进而求得所有整数a的和．
【解答】解：＝﹣2，
x＝，
∵关于x的分式方程＝﹣2的解是正整数，
∴是非负整数且不等于2，
∵一次函数y＝（a﹣1）x+（a+10）的图象不经过第三象限，
∴，
解得﹣10≤a＜1，
∵是非负整数且不等于2，﹣10≤a＜1，
∴a＝﹣10，﹣2，﹣1，
∵（﹣10）+（﹣2）+（﹣1）＝﹣13，
∴满足条件的所有整数a的和是﹣13，
故选：B．
【点评】本题考查一次函数的性质，分式方程的解，解答本题关键在于明确题意，求出a的值，利用一次函数性质和分式方程的知识解答．
12．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①abc＜0；②3a+b＞﹣c；③2c＜3b；④（k+1）（ak+a+b）≤a+b，其中正确的是（　　）

A．①③④ B．①②③④ C．②③④ D．①③
【分析】根据二次函数图象与性质，逐项判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴是直线x＝1，
∴﹣＝1，即b＝﹣2a，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交点在正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
由图象可知，x＝3时y＜0，
∴9a+3b+c＜0，
∴3a+b＜﹣c，故②错误；
∵9a+3b+c＜0，b＝﹣2a，
∴﹣b+3b+c＜0，
∴2c＜3b，故③正确，
∵x＝1时，y＝a+b+c是函数的最大值，
∴a（k+1）2+b（k+1）+c≤a+b+c，
∴a（k+1）2+b（k+1）≤a+b，
∴（k+1）（ak+a+b）≤a+b，
故④正确，
∴正确的有①③④，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于原点O的对称点A′的坐标为　（1，﹣2）　．
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
【解答】解：在平面直角坐标系中，点A（﹣1，2）关于原点O的对称点A′的坐标为（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）．
【点评】考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．
14．（4分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣3）2﹣2的图象上，若x1＜x2＜3，则y1　＞　y2（填“＞”、“＜”或“＝”）．
【分析】先得到抛物线的对称轴，然后根据二次函数的性质求解．
【解答】解：∵y＝（x﹣3）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝3，抛物线开口向上，
∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝（x﹣3）2﹣2的图象上，且x1＜x2＜3，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
15．（4分）关于x的一元二次方程（3﹣m）x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝　1.5　．
【分析】根据方程有两个相等的实数根得到Δ＝0，再根据二次项的系数不等于0即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：，
解得：m＝1.5．
故答案为：1.5．
【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，根据方程有两个相等的实数根得到Δ＝0是解题的关键．
16．（4分）将直线y＝﹣x+6向下平移2个单位，平移后的直线分别交x轴、y轴于A、B两点，点O为坐标原点，则S△ABO＝　16　．
【分析】直接根据“左加右减”的平移规律求解平移后的函数的解析式，然后求出OA、OB的值，根据三角形面积公式求出即可．
【解答】解：直线y＝﹣x+6向下平移2个单位，所得平移后的直线为y＝﹣x+6﹣2＝﹣x+4，
把x＝0代入y＝﹣x+4得：y＝4，
把y＝0代入y＝﹣x+4得：x＝8，
即OA＝8，OB＝4，
∴S△AOB＝OA×OB＝×8×4＝16，
故答案为：16．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征的应用，关键是求出OA、OB的值．
17．（4分）如图，已知正方形ABCD，AD＝4，E为CD的中点，连接AE，H为AE的中点，连接DH，把△ADH沿DH所在直线翻折得到△FDH，连接BF，CF，则BF的长为 　　．

【分析】如图，连接AF，延长DH交AF于点K，交AB于点T．证明AT＝TB，AF⊥BF，求出AF，利用勾股定理求解．
【解答】解：如图，连接AF，延长DH交AF于点K，交AB于点T．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC＝AB＝4，∠ADE＝∠DAT＝90°，
∵DE＝EC＝2，
∴AE＝＝＝2，
∵AH＝HE，
∴DH＝AH＝EH＝，
∴∠HAD＝∠HDA，
∵∠HAT+∠DAH＝90°，∠ATD+∠ADH＝90°，
∴∠HAT＝∠ATH，
∴HA＝HT，
∴DT＝2，
∴AT＝＝＝2，
∴AT＝TB，
∵S△ADT＝•AD•AT＝•DT•AK，
∴AK＝，
∵△ADH与△FDH关于DH对称，
∴DT垂直平分线段AF，
∴AK＝KF，
∵AT＝TB，
∴TK∥CF，
∴BF⊥AF，
∵AF＝2AK＝，
∴BF＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查翻折变换，正方形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题．
18．（4分）“赤日满天地，火云成山岳，草木尽焦卷，川泽皆竭涸．”炎炎复日，甲、乙两水果店老板决定一起去批发市场同一家店进购顾客夏季最喜欢的A、B、C三种品种的水果．两位老板一共购进A、B、C三种水果数量之比为5：6：6，其中甲店老板购进A、B、C三种水果数量之比为3：7：4，并且乙老板购进B、C两种水果数量之比为5：8．他们决定A、B、C三种水果的每千克售价分别比其成本高50%，40%，30%，则甲店老板销售完A和C两种水果的利润与乙店老板销售完A和C两种水果的利润之比为 　27：59　．
【分析】设甲店老板购进A、B、C三种水果的数量分别为3x、7x、4x，乙老板购进B、C两种水果的数量分别为5y、8y，根据两位老板一共购进A、B、C三种水果数量之比为5：6：6，可得7x+5y＝4x+8y，即x＝y，可得乙老板购进A种水果的数量为7x，再根据A、C两种水果的每千克售价分别比其成本高50%，30%即可求解．
【解答】解：设甲店老板购进A、B、C三种水果的数量分别为3x、7x、4x，乙老板购进B、C两种水果的数量分别为5y、8y，
∵两位老板一共购进A、B、C三种水果数量之比为5：6：6，
∴7x+5y＝4x+8y，即x＝y，
∴乙老板购进A种水果的数量为7x，
∵A、C两种水果的每千克售价分别比其成本高50%，30%，
∴甲店老板销售完A和C两种水果的利润为3x×50%+4x×30%＝2.7x，
乙店老板销售完A和C两种水果的利润为7x×50%+8x×30%＝5.9x，
∴甲店老板销售完A和C两种水果的利润与乙店老板销售完A和C两种水果的利润之比为2.7x：5.9x＝27：59．
故答案为：27：59．
【点评】本题主要考查了应用类问题，列代数式，关键是根据题意正确表示出乙老板购进A种水果的数量．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）（1）计算：4÷2+﹣18×；
（2）解方程：3x2﹣6x+2＝0．
【分析】（1）根据二次根式的相关运算法则计算即可；
（2）用一元二次方程的求根公式即可解答．
【解答】解：（1）原式＝2+3﹣9
＝5﹣9；
（2）a＝3，b＝﹣6，c＝2，
∵Δ＝b2﹣4ac＝36﹣24＝12，
∴x＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题考查二次根式的运算及解一元二次方程，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则和一元二次方程的求根公式．
20．（10分）如图，四边形ABCD是平行四边形．
（1）尺规作图：过点A作线段BC的垂线，垂足为点E；
（2）连接BD，分别与AE、AC交于点F、O，其中∠ACB＝∠BFE，求证：四边形ABCD是菱形．
证明：由（1）得AE⊥BC．
∴∠AEB＝　90°　（ 　垂直的定义　）．
∴在Rt△BFE中，∠FBE+　∠BFE　＝90°（直角三角形两锐角互余）．
∵∠ACB＝∠BFE，（已知）
∴∠FBE+　ACB　＝90°．（等量代换）
∴∠BOC＝90°．
∴BD⊥　AC　．
∴平行四边形ABCD是菱形．

【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】（1）解：如图，垂线AE即为所求；


（2）证明：如图，

由（1）得AE⊥BC．
∴∠AEB＝90°（垂直的定义）．
在Rt△BFE中，∠FBE+∠BFE＝90°（直角三角形两锐角互余），
∵∠ACB＝∠BFE（已知），
∴∠FBE+∠ACB＝90°（等量代换），
∴∠BOC＝90°，
∴BD⊥AC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
故答案为：90°，垂直的定义，∠BFE，∠ACB，AC．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，菱形的判定，平行四边形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
21．（10分）“喜迎二十大，七一建党节”，某学校举办了以“学党史、强信念、跟党走”为主题的党史知识竞赛活动．从七、八年级中各随机抽取了20名学生，统计这部分学生的竞赛成绩数据，并进行整理、描述和分析（竞赛成绩均为整数，满分50分，成绩得分用x表示，共分成四组：A．42＜x≤44；B．44＜x≤46：C．46＜x≤48；D．48＜x≤50），下面给出了部分信息．
七年级抽取学生在C组的数据个数为5个．
八年级抽取学生竞赛成绩为：
44，45，45，46，46，47，47，48，48，48，49，49，50，50，50，50，50，50，50，50．
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
平均数
中位数
众数
满分率
七年级
47.7
48.5
b
30%
八年级
48.1
a
50
40%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）请填空：a＝　48.5　；b＝　50　；m＝　15　．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的党史知识竞赛成绩更好？请说明理由（一
条理由即可）；
（3）若该校七年级有900名学生，八年级有1600名学生，估计该校党史知识竞赛成绩为满分的人数．

【分析】（1）根据中位数定义、众数的定义即可找到a、b的值，求出七年级C组的百分比，可得B组的百分比，即可得m的值；
（2）根据平均数或满分率进行判断即可；
（3）求出七、八年级学生竞赛成绩满分即可．
【解答】解：（1）八年级抽取学生的竞赛成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为＝48.5（分），
因此中位数是a＝48.5，
七年级学生竞赛成绩A组有20×10%＝2（人），D组有20×50%＝10（人），满分率为30%，可得满分的有20×30%＝6（人），
∴49分的有4人，50分的有6人，
∵C组的数据个数为5个．
∴B组有20﹣2﹣5﹣10＝3（人），
因此七年级竞赛成绩的众数为50，即b＝50；
m%＝3÷20＝15%，
∴m＝15，
故答案为：48.5，50，15；
（2）八年级学生的党史知识竞赛成绩更好，理由如下：
八年级抽取学生竞赛成绩的平均数大于七年级的平均数（或满分率较高）；
（3）900×30%+1600×40%＝910（人），
答：估计该校党史知识竞赛成绩为满分的人数为910人．
【点评】本题考查条形统计图、中位数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，作出函数y＝﹣2x+4的图象，（请先填表再作图，不写作法，不下结论）
列表：
x
0
n
y＝﹣2x+4
m
0
（1）m＝　4　；n＝　2　．
（2）若直线y＝x+1交x轴于点A，交y轴于点B，与直线y＝﹣2x+4交于点C，直线y＝﹣2x+4与x轴交于点E，求四边形BCEO的面积．

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）构建方程组求出点C的坐标，根据四边形OECB的面积＝△OBC的面积+△OCE的面积求解．
【解答】解：（1）对于直线y＝﹣2x+4，令x＝0，得到y＝4，
令y＝0，得到x＝2，
∴m＝4，n＝2，
故答案为：4，2；

（2）如图，连接OC．

由，解得，
∴C（1，2），
由题意B（0，1），E（2，0），
∴四边形OECB的面积＝△OBC的面积+△OCE的面积＝×1×1+×2×2＝2.5．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，一次函数的性质，四边形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程组确定交点坐标，属于中考常考题型．
23．（10分）如图，在▱ABCD中，AB＝2，AD＝3，过点A作AE⊥BC，垂足为E．连接AC、BD，交于点O，连接OE，延长EO交AD于点F．
（1）若BE＝1，求AC的长；
（2）求证：AO＝EF．

【分析】（1）根据勾股定理可得AE，根据四边形ABCD是平行四边形，可得BC＝AD＝3，然后利用勾股定理即可解决问题；
（2）利用平行四边形的性质证明△OAF≌△OCE（ASA），可得OE＝OF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可解决问题．
【解答】（1）解：∵AE⊥BC，BE＝1，AB＝2，
∴AE2＝AB2﹣BE2＝3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝3，
∴CE＝BC﹣BE＝2，
∴AC＝＝＝；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠OAF＝∠OCE，
在△OAF和△OCE中，
，
∴△OAF≌△OCE（ASA），
∴OE＝OF，
∵AD∥BC，AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∴AO＝EF．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
24．（10分）新晋网红打卡地一一重庆规划展览馆吸引众多游客，某商家借此购进一批文创产品钥匙扣和手账本．商家用1600元购买钥匙扣，800元购买手账本，每个钥匙扣和手账本的进价之和为10元，且购进手账本的数量是钥匙扣的2倍．
（1）求商家购买每个钥匙扣的进价和每个手账本的进价；
（2）商家在销售过程中发现，当于账本的售价为每个5元，钥匙扣的售价为每个15元时，平均每天可售出40个手账本，20个钥匙扣．据统计，钥匙扣的售价每降低0.5元平均每天可多售出5个，且降价幅度不超过20%．商家在保证手账本的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，想使钥匙扣和手账本平均每天的总获利为300元，则每个钥匙扣的售价为多少元？
【分析】（1）设商家购买每个钥匙扣的进价是x元，可得：×2＝，解方程并检验，即可得商家购买每个钥匙扣的进价是8元，每个手账本的进价是2元；
（2）设每个钥匙扣的售价为m元，有（m﹣8）×（20+×5）+40×（5﹣2）＝300，得m1＝11，m2＝14，根据降价幅度不超过20%，即知每个钥匙扣的售价为14元．
【解答】解：（1）设商家购买每个钥匙扣的进价是x元，则每个手账本的进价是（10﹣x）元，
根据题意得：×2＝，
解得x＝8，
经检验，x＝8是原方程的解，也符合题意，
∴10﹣x＝10﹣8＝2，
答：商家购买每个钥匙扣的进价是8元，每个手账本的进价是2元；
（2）设每个钥匙扣的售价为m元，
根据题意得：（m﹣8）×（20+×5）+40×（5﹣2）＝300，
整理得：m2﹣25m+154＝0，
解得m1＝11，m2＝14，
∵降价幅度不超过20%，
∴≤20%，
∴m≥12，
∴m＝14，
答：每个钥匙扣的售价为14元．
【点评】本题考查分式方程和一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出分式方程和一元二次方程．
25．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象和x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），与y轴交于点C、D（0，﹣1）．
（1）求二次函数解析式；
（2）在线段AC上方的抛物线上有一动点P，直线PC与直线BD交于点Q，当△PAQ面积最大时，求点P的坐标及△PAQ面积的最大值；
（3）在（2）条件下，将抛物线y＝ax2+bx+3沿射线AC平移2个单位长度，得到新二次函数y′＝ax2+bx+c，点R在新抛物线对称轴上，在直线y＝﹣x上有一点S，使得以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点R的坐标，并写出求解点R的坐标的其中一种情况的过程．


【分析】（1）将A，B的坐标代入二次函数解析式，建立方程组，求解即可；
（2）分别求出直线AC，BD的解析式，可证AC∥BD，所以△ACQ的面积＝△ACD的面积，进而求△PAQ的面积最大可转化为求△PAC的面积最大；过点P作PE∥y轴交AC于点E，表达△PAC的面积，利用二次函数的性质求解即可；
（3）由平移的性质可知，抛物线y＝ax2+bx+3沿射线AC平移2个单位长度，即向右平移2个单位，向上平移2个单位，由此可得出新抛物线的解析式，可得出点R的横坐标，根据平行四边形的性质，可分类讨论：当PD是平行四边形的边时，当PD是平行四边形的对角线时，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3的图象和x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），
∴，
∴．
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）∵抛物线与y轴交于点C，
∴C（0，3），
∴直线AC的解析式为：y＝x+3；
∵B（1，0），D（0，﹣1），
∴直线BD的解析式为：y＝x﹣1；
∴AC∥BD，CD＝4，
∴S△ACQ＝S△ACD＝×4×3＝6．
∴S△APQ＝S△APC+S△ACQ＝S△APC+S△ACD＝S△APC+6．
过点P作PE∥y轴交AC于点E，如图，
设点P的横坐标为t，
则P（t，﹣t2﹣2t+3），E（t，t+3），
∴PE＝﹣t2﹣3t．
∴S△APQ＝S△APC+6
＝×3×（﹣t2﹣3t）+6
＝﹣（t+）2+．
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣时，△PAQ的最大值为，此时P（﹣，）．
（3）由平移的性质可知，抛物线y＝ax2+bx+3沿射线AC平移2个单位长度，即向右平移2个单位，向上平移2个单位，
∵y′＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴当抛物线向右平移2个单位，向上平移2个单位后，平移后的抛物线为：y＝﹣（x﹣1）2+6＝﹣x2+2x+5．
∵R在新抛物线对称轴上，
∴R的横坐标为x＝1．
若以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，根据题意，需要分以下两种情况：
①当PD为平行四边形的边时，xP﹣xD＝xR﹣xS或xP﹣xD＝xS﹣xR，
∴﹣﹣0＝1﹣xS或﹣﹣0＝xS﹣1，
解得xS＝或xS＝﹣．
∴S（，﹣）或（﹣，）．
∵yP﹣yD＝yR﹣yS或yP﹣yD＝yS﹣yR，
∴﹣（﹣1）＝yR﹣（﹣）或﹣（﹣1）＝﹣yR，
∴yR＝﹣或yR＝﹣．
∴R（1，﹣）或（1，﹣）．
②当PD为平行四边形的对角线时，xP+xD＝xR+xS，
∴﹣+0＝1+xS，
解得xS＝﹣，
∴S（﹣，），
∵yP+yD＝yR+yS，
∴+（﹣1）＝yR+，
∴yR＝﹣．
∴R（1，﹣）．
综上，若以点P，D，R，S为顶点的四边形是平行四边形，点R的坐标为：（1，﹣）或（1，﹣）或（1，﹣）．
【点评】本题考查待定系数法求抛物线的解析式，二次函数的图象和性质，与抛物线有关的动三角形的面积最值，平行四边形的存在性等问题，做题时注意分类讨论．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
26．（8分）△ABC与△DCE均为等边三角形，D在边AC上，连接BE．
（1）如图1，若AB＝4，CE＝2，求BE的长；
（2）如图2，若AB＞DC，在平面内将图1中△DCE绕点C顺时针旋转α（0°＜α＜120°），连接BD、AE，交于点O，连接OC，在△CDE运动过程中，猜想线段AO，OC，BO之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，将△DCE绕点C顺时针旋转30°，连接BD，点F、G为直线BD上两个动点，且FG＝，连接CF，AG．若CD＝2，AB＝CD，求CF+FG+GA的最小值．


【分析】（1）由直角三角形的性质可求CH，EH的长，由勾股定理可求解；
（2）由“SAS”可证△BCD≌△ACE，可得∠CBD＝∠CAE，AE＝BD，S△ACE＝S△BCD，由面积法可得CP＝CF，可证OC平分∠BOE，由“ASA”可证△BCH≌△ACO，可得BH＝AO，即可求解；
（3）先证四边形CNGF是平行四边形，可得FC＝GN，则CF+FG+GA＝GN++GA，即当A，点G，点N三点共线时，GN+GA有最小值为AN，即CF+FG+GA有最小值，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）如图，过点E作EH⊥BC交BC的延长线于H，

∵△ABC与△DCE均为等边三角形，
∴AB＝BC＝4，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ECH＝60°，
∴∠CEH＝30°，
∴CH＝CE＝1，EH＝，
∴BH＝BC+CH＝5，
在Rt△BEH中，BE＝＝＝2；
（2）BO＝AO+CO，理由如下：
如图，过点C作CP⊥AE于P，CF⊥BD于F，在BO上截取OH＝OC，连接CH，

∵△ABC与△DCE均为等边三角形，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠BCD＝∠ACE，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴∠CBD＝∠CAE，AE＝BD，S△ACE＝S△BCD，
∴×AE×CP＝×BD×CF，
∴CP＝CF，
又∵CP⊥AE，CF⊥BD，
∴OC平分∠BOE，
∵∠ABC+∠BAC＝120°，
∴∠ABO+∠CBO+∠BAC＝120°，
∴∠ABO+∠BAO+∠BAC＝120°，
∴∠AOB＝60°，
∴∠BOE＝120°，
∴OC平分∠BOE，
∴∠BOC＝∠EOC＝60°，
∵HO＝CO，
∴△CHO是等边三角形，
∴CH＝HO＝CO，∠HCO＝60°＝∠ACB，
∴∠BCH＝∠ACO，
∴△BCH≌△ACO（ASA），
∴BH＝AO，
∴BO＝BH+OH＝AD+CO；
（3）解：∵将△DCE绕点C顺时针旋转30°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠BCD＝∠ACE＝90°，
∵CD＝2，AB＝CD，
∴AB＝2＝AC，
∴BD＝＝4，
∴BD＝2CD，
∴∠DBC＝30°，
∴∠BDC＝60°＝∠DCE，
∴BD∥CE，
如图，在CE上截取CN＝FG＝，连接GN，

∵CN＝FG，BD∥CE，
∴四边形CNGF是平行四边形，
∴FC＝GN，
∵CF+FG+GA＝GN++GA，
∴当A，点G，点N三点共线时，GN+GA有最小值为AN，即CF+FG+GA有最小值，
∴AN＝＝，
∴CF+FG+GA的最小值为+．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质等知识，添加恰当的辅助线是解题的关键．