2021-2022学年河南省豫北名校联盟高二下学期联考二数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年河南省豫北名校联盟高二下学期联考二数学（文）试题

一、单选题

1．

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由复数的乘法运算展开即可．

【详解】解：

故选D.

【点睛】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．

2．对变量x, y 有观测数据理力争（，）（i=1,2,…，10），得散点图1；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图2. 由这两个散点图可以判断．

A．变量x 与y 正相关，u 与v 正相关 B．变量x 与y 正相关，u 与v 负相关

C．变量x 与y 负相关，u 与v 正相关 D．变量x 与y 负相关，u 与v 负相关

【答案】C

【详解】变量x 与中y随x增大而减小，为负相关；u 与v中，u 随v的增大而增大，为正相关．

3．下列说法错误的是(　　)

A．回归直线过样本点的中心

B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1

C．对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程度越小

D．在回归直线方程中，当解释变量每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位

【答案】C

【分析】利用相关系数的意义和的意义可得正确的选项.

【详解】本题考查命题真假的判断．根据相关定义分析知A，B，D正确；对分类变量与，随机变量的观测值越大，则判断“与有关系”的把握程度越大，故C错误，故选C.

【点睛】本题考查相关系数的意义和的意义，属于基础题.

4．下面使用类比推理正确的是（       ）．

A．“若，则”类推出“若，则”

B．“若”类推出“”

C．“若”类推出“”

D．“”类推出“”

【答案】C

【分析】利用特殊值判断AD；利用乘法与除法的运算法则判断BC.

【详解】对于：“若，则”类推出“若，则”是错误的，因为0乘任何数都等于0，

对于：“若”类推出“”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误，

对于：将乘法类推除法，即由“”类推出“ ”是正确的；

对于： “”类推出“”是错误的，如错误，

故选：C．

5．已知与之间的一组数据：

若关于的线性回归方程为，则的值为（       ）A．1.25 B．-1.25 C．1.65              D．-1.65

【答案】D

【分析】根据最小二乘法计算即可求出答案.

【详解】解：由表中数据得，，，

，

所以，，

故选：D．

6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为20，则输出的值为

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【详解】分析：由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.

详解：结合流程图运行程序如下：

首先初始化数据：，

，结果为整数，执行，，此时不满足；

，结果不为整数，执行，此时不满足；

，结果为整数，执行，，此时满足；

跳出循环，输出.

本题选择B选项.

点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路：

(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构．

(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题．

(3)按照题目的要求完成解答并验证．

7．设为虚数单位，复数为纯虚数，则．

A．2 B．-2 C． D．

【答案】D

【解析】整理得：，由复数为纯虚数列方程即可得解．

【详解】因为

又它是纯虚数，所以，解得：

故选D

【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，还考查了复数的相关概念，考查方程思想，属于基础题．

8．观察，，，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】由归纳推理可知偶函数的导数是奇函数，因为是偶函数，则是奇函数，所以，应选答案D．

9．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证”索的因应是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据分析法的步骤以及不等式的性质求解即可.

【详解】由a>b>c，且a＋b＋c＝0得b＝－a－c，a>0，c<0.

要证

只要证

即证

即证

即证

即证

故求证“”索的因应是.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了分析法，属于中档题.

10．若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是（       ）

A．lg(1＋a2)＞0 B．a2＋b2≥2(a－b－1)

C．a2＋3ab＞2b2 D．

【答案】B

【解析】根据函数单调性和不等式性质以及作差比较法对选项进行逐一判断.

【详解】A．时，，即可判断出A不成立；

B．因为a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立．所以B正确

C．时, a2＋3ab= 2b2，即可判断出C不成立；

D．取，可得，即可判断出D不成立．

故选：B

【点睛】本题考查了不等式的基本性质，作差比较法比较两个数（式）的大小，属于基础题．

11．分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使结论成立的（　　）

A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．等价条件

【答案】A

【详解】试题分析：分析法是从要证明的结论出发，逐步的去寻找使结论成立的条件，即由哪些条件能推得结论成立，所以要找的条件是结论的充分条件

【解析】分析法

点评：分析法是从结论入手去寻找使其成立的条件，综合法是从已知，定理入手逐步推证所求结论，这两种方法在求解证明题时经常结合应用

12．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：

由

附表：

参照附表，得到的正确结论是（     ）A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”

B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

C．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”

D．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”

【答案】A

【详解】由，而，故由独立性检验的意义可知选A

二、填空题

13．已知函数，则______．

【答案】12

【分析】由导数的定义计算即可.

【详解】

故答案为：12

14．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.

【答案】

【分析】分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．

【详解】根据题意可得基本事件数总为个.

点数和为5的基本事件有，，，共4个.

∴出现向上的点数和为5的概率为.

故答案为：.

【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

15．某公司招聘员工，甲、乙、丙、丁四人去应聘，最后只有一人被录用．关于应聘结果四人说法如下：甲说“我没有被录用”；乙说“丙被录用”；丙说“丁被录用”；丁说“我没有被录用”，现知道他们只有一人说的是真话．根据以上条件，可以判断被录用的人是______

【答案】甲

【分析】运用假设法，结合题意进行判断即可.

【详解】解：假设被录用的人是甲，则丁说的是真话．与他们只有一人说的是真话相符，故假设成立，

假设被录用的人是乙，则甲、丁说的是真话．与他们只有一人说的是真话矛盾，故假设成立，

假设被录用的人是丙，则甲、乙、丁说的是真话．与他们只有一人说的是真话矛盾，故假设不成立，

假设被录用的人是丁，则甲、丙说的是真话．与他们只有一人说的是真话矛盾，故假设不成立，

即被录用的人是甲，

故答案为：甲

16．若对任意，不等式恒成立，则a的范围__________．

【答案】

【分析】由已知条件可得，首先将原不等式转化为，构造函数

，可得，判断在上的单调性，可得，分离转化为最值问题即可求解.

【详解】由题意可得：，

，

由可得，

即，

令，可得

由可得，由可得，

如图

可得在单调递增，

若

则，可得，

令，只需要，

对于恒成立，

所以在单调递减，

所以，

所以，实数a的范围为，

故答案为：.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是将原不等式变形，构造函数

，可得利用单调性脱掉，再分离参数求最值.

三、解答题

17．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且.

（1）求角A；

（2）若的面积，求a的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）由正弦定理化角为边可得，再利用余弦定理即可求出；

（2）由面积公式可得，再利用基本不等式即可求出.

【详解】（1）由已知结合正弦定理可得，即，

则由余弦定理可得，

，；

（2），则，

由，当且仅当时等号成立，

.

18．在数列中，，

（1）求证：数列为等差数列；

（2）若数列满足，求证：.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【详解】分析：（1）由可得数列为首项为0，公差为1的等差数列，进而可得结果；（2）由（1）知：，∴，，，利用裂项相消法求和，根据放缩法可得结论.

详解：（1）∵.

∴

又∵，∴

∴数列为首项为0，公差为1的等差数列.

（2）由（1）知：，∴

∴

∴

∵

∴

∴

∴

点睛：本题主要考查递推公式求通项、等差数列的通项公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：

(1)；（2） ；

（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

19．2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额．

（1）完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？

（2）已知在被调查的女生中有5名数学系的学生，其中3名对冰球有兴趣，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率．

附表：

【答案】（1）有（2）

【分析】（1）根据题中数据得到列联表，然后计算出，与临界值表中的数据对照后可得结论．（2）由题意得概率为古典概型，根据古典概型概率公式计算可得所求．

【详解】（1）根据已知数据得到如下列联表

由列联表中的数据可得

因为，

所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．

(2)记5人中对冰球有兴趣的3人为A、B、C，对冰球没有兴趣的2人为m、n，

则从这5人中随机抽取3人，所有可能的情况为：（A,m,n）,（B,m,n）,（C,m,n）,（A,B,m）,

（A,B,n）,（B,C,m）,（B,C,n）,（A,C,m）,（A,C,n）,（A,B,C），共10种情况，

其中3人都对冰球有兴趣的情况有（A,B,C），共1种，2人对冰球有兴趣的情况有（A,B,m）,（A,B,n）,（B,C,m）,（B,C,n）,（A,C,m）,（A,C,n），共6种，

所以至少2人对冰球有兴趣的情况有7种，

因此，所求概率为．

【点睛】由于独立性检验有其独特的作用，其原理不难理解和掌握，但解题时需要注意计算的准确性和判断的正确性，对独立性检验的考查多以解答题的形式出现，一般为容易题，多与概率、统计等内容综合命题．

20．定义在D上的函数，若满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界．

（1）设，判断在上是否是有界函数，若是，说明理由，并写出所有上界的值的集合；若不是，也请说明理由；

（2）若函数在上是以4为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

【答案】（1）是有界函数，理由见解析，；（2）.

【解析】（1）分离常数后,根据函数的单调性,在区间内求得最大值与最小值,即可根据有界函数的定义求得的取值范围.

（2）根据有界函数定义,可得的值域，代入解析式可分离得的不等式组，利用换元法转化为二次不等式形式,结合恒成立条件,即可求得的取值范围.

【详解】，

则在上是增函数；

故；

即，

故，故是有界函数；

故的所有上界的值的集合是；

由题意知，对恒成立．

即：，令，

，

所以，

对恒成立，

，

设，，由

由于在上递增，在上递减，

在上的最大值为，

在上的最小值为，

实数a的取值范围为．

【点睛】关键点点睛：根据新定义有界函数，函数的上界，函数在上是以4为上界的有界函数转化为对恒成立是解题关键，然后分离参数，求函数的最大值与最小值是难点，属于中档题.

21．定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）满足当﹣1≤x＜0时，f（x）=.

（1）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；

（2）当x∈（0，1]时，函数g（x）=﹣m有零点，试求实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）（1，3].

【详解】试题分析：（1）可知f（0）=0，再设0＜x≤1，则﹣1≤﹣x＜0，从而得到f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣ ）= ，从而解得；（2）可化为m=4x+1﹣2x=（2x﹣ ）2+ ，从而求实数m的取值范围．

试题解析：

（1）∵f（x）在[﹣1，1]上的奇函数，   ∴f（0）=0，

设0＜x≤1，则﹣1≤﹣x＜0，

故f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣ ）= ，

故；

（2）当x∈（0，1]时，函数g（x）= ﹣m=4x+1﹣2x﹣m，

故m=4x+1﹣2x=（2x﹣ ）2+ ，

∵x∈（0，1]，∴2x∈（1，2]，

∴1＜4x+1﹣2x≤13，

故实数m的取值范围为（1，3]   

点睛：根据函数零点求参数取值，也是高考经常涉及的重点问题，

（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解；

（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解，如果涉及由几个零点时，还需考虑函数的图象与参数的交点个数；

（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

22．已知函数．

（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；

（2）若，且的最小值是，求实数的值．

【答案】（1），；（2）.

【详解】试题分析：（1）化简得，又单调增区间为；（2）化简得．又

．然后对、和分三种情况进行讨论.

试题解析：（1）∵

．

∴，

由得，

∴函数的单调增区间为．

（2）

．

∵，∴，∴．

①当时，当且仅当时，取得最小值，这与已知不相符；

②当时，当且仅当时，取得最小值，由已知得，

解得．

③当时，当且仅当时，取得最小值，由已知得，解得,

这与相矛盾．

综上所述：．

【解析】三角函数的图象与性质.