2021-2022学年河南省豫北名校联考高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年河南省豫北名校联考高二下学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用复数除法运算直接计算作答.

【详解】.

故选：B

2．某地政府调查育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低的关系时，随机调查了当地3000名育龄妇女，用独立性检验的方法处理数据，并计算得，则根据这一数据以及临界值表，判断育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低有关系的可信度（       ）

A．低于1% B．低于0.5%

C．高于99% D．高于99.5%

【答案】C

【分析】判断在临界值表中的位置即可.

【详解】临界值表：

因为介于6.635和10.828之间，故判断育龄妇女生育意愿与家庭年收入高低有关系的可信度介于99%和99.9%之间.

故选：C.

3．用反证法证明“若，则且”时，应假设（       ）

A．且 B．且 C．或 D．或

【答案】D

【分析】利用反证法的概念即得.

【详解】用反证法证明“若，则且”时，可以设其结论的否定成立，

所以应假设或.

故选：D.

4．如图是某工厂加工手机屏幕的流程图，根据此流程图，要得到一件手机屏幕成品，至少经过的检验程序个数为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】B

【分析】由流程图求解

【详解】由流程图可知，若要得到一件手机屏幕成品，至少要经过检验与最后检验两次检验程序

故选：B

5．观察下列等式，，，，，根据上述规律，（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等差的取值规律，利用归纳推理即可得到结论．

【详解】，，，，

由归纳推理可得.

故选：B.

6．已知变量x和y满足关系，变量y与z负相关．下列结论中正确的是（       ）

A．x与y正相关，x与z负相关 B．x与y正相关，x与z正相关

C．x与y负相关，x与x负相关 D．x与y负相关，x与z正相关

【答案】A

【分析】根据相关关系判断．

【详解】因为变量x和y满足关系中，因此变量与是正相关，又变量y与z是负相关，所以x与z负相关，

故选：A．

7．执行如图所示的程序框图，如果输入的N是10，那么输出的P是（       ）

A．36 B．45 C．55 D．66

【答案】C

【分析】根据循环语句的逻辑有且在时跳出循环，即可得输出结果.

【详解】由程序框图的执行逻辑知：，而，

当时，，跳出循环并输出.

故选：C

8．在中，，，，则（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【分析】由题可得，然后利用余弦定理即得.

【详解】∵，

∴，

由余弦定理可得，，

∴，即，

解得，或（舍去）.

故选：C.

9．已知函数的导函数的图象如图所示，若为锐角三角形，则下列式子中一定成立的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据导数的图象，得到函数在区间上是减函数，再由正弦函数的单调性和锐角三角形的性质即可得到答案．

【详解】根据导数的图象，可知

当时，；当时，，

在区间上是减函数，在区间上是增函数，

为锐角三角形，

、都是锐角，且，

由此可得，

因为正弦函数在上单调递增，

所以，

，

∴.

故选：．

10．设长方形的面积为s，其外接圆半径为r，则有.类比这个结论，设长方体的表面积为S，外接球半径为R，则有（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用类比推理，长方体的性质及基本不等式即得.

【详解】设长方体从一顶点出发的三条棱为，则

长方体的表面积为，

由长方体的性质可知其外接球的直径为其体对角线，

所以，又，

所以，当且仅当取等号，

所以，即.

故选：D.

11．若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由直线与双曲线无公共点可得，然后即可求出的范围

【详解】双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点，

故有，即，，

所以，所以.

所以的范围为

故选：A

12．已知函数，过点可作曲线的三条切线，则实数m的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】设切点为，求导，得到切线斜率，再根据切线过点，得到有3个根求解.

【详解】解：设切点为，

则，

所以切线的斜率为，

又因为切线过点，

所以，即，

令，

则，令，得或，

当或时，，当时，，

所以当时，取得极大值，

当时，取得极大小值，

因为过点可作曲线的三条切线，

所以方程有3个解，

则，解得，

故选：D

二、填空题

13．已知复数，则______．

【答案】

【分析】由复数乘方与除法法则求出，再根据模的定义计算．

【详解】由已知，所以．

故答案为：．

14．若抛物线的准线经过椭圆的一个焦点，则椭圆的离心率为______．

【答案】

【分析】由抛物线与椭圆性质求解

【详解】抛物线的准线为，故椭圆的，得

故椭圆的离心率为

故答案为：

15．已知函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】对求导，由函数在开区间上有最大值，易知有极大值，令且求a的范围，注意验证是否满足极大值定义.

【详解】由题设， ，令即，则，

又函数在上有最大值，即存在极大值，则，可得，

令，则，

所以当时，，故在上递减，

所以上，上，满足在上存在极大值.

综上，.

故答案为：

16．已知，则___________.

【答案】

【分析】由复数的运算计算，再由等比数列求和公式计算即可.

【详解】，

故答案为：

三、解答题

17．为了解新能源汽车的销售情况，某市场研究机构随机调查了200名最近购买新车的车主，统计了他们的年龄和购买的汽车类型，数据整理如下表：

(1)分别估计年龄在40岁以下和40岁及以上的人购买新能源汽车的概率；

(2)判断是否有99.9%的把握认为购买汽车的类型与年龄有关．

【答案】(1)购买新能源汽车的概率：40岁以下为，40岁及以上为；

(2)有99.9%的把握认为购买汽车的类型与年龄有关.

【分析】（1）根据统计表，应用古典概型的概率求法求不同人群购买新能源汽车的概率；

（2）应用卡方计算公式求卡方值，并与临界值作比较，即可知购买汽车的类型与年龄的相关程度.

【详解】(1)由列联表，40岁以下购买新能源汽车的概率为；

40岁及以上购买新能源汽车的概率为.

(2)由，

所以有99.9%的把握认为购买汽车的类型与年龄有关.

18．设是等差数列，其前n项和为，是各项都为正数的等比数列，其前n项和为，且，，.

(1)求，的通项公式；

(2)求的最小值.

【答案】(1)；；

(2).

【分析】（1）利用等差数列，等比数列的基本量计算即得；

（2）由题可得，进而可得当时，递增，即得.

【详解】(1)设的公差为d，数列的公比为，

则，

解得，

∴，

由，

解得，（舍去），

∴；

(2)由题可知，，

∴，

当时，，当时，，当时，，

当时，，

所以当时，递增，即，

∴的最小值为.

19．某人新房刚装修完，为了监测房屋内空气质量的情况，每天在固定的时间测一次甲醛浓度（单位：），连续测量了10天，所得数据绘制成散点图如下：

用表示第i（，2，…，10）天测得的甲醛浓度，令，经计算得，，．

(1)由散点图可知，y与i可用指数型回归模型进行拟合，请利用所给条件求出回归方程；（系数精确到0.01）

(2)已知房屋内空气中的甲醛浓度的安全范围是低于，则根据（1）中所得回归模型，该新房装修完第几天开始达到此标准？（参考数据：）

【答案】(1)；

(2)新房装修完第35天开始达到此标准.

【分析】（1）令回归直线，应用最小二乘法求参数，结合写出y关于i的指数型回归方程.

（2）根据求i的范围，即可估计新房装修完需要几天达到标准.

【详解】(1)令，而，，

所以，而，

综上，，即.

(2)由（1）知：，即，可得，

所以，即在新房装修完第35天开始达到此标准.

20．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数）．

(1)求C与l的交点坐标；

(2)求C上的点到的距离的最大值．

【答案】(1)和；

(2)

【分析】（1）把曲线的参数方程化为普通方程，代入直线的参数方程求得参数值，再代入直线参数方程得交点坐标；

（2）把直线参数方程化为普通方程，设曲线上点的坐标为，由点到直线距离公式求得距离，利用三角函数知识得最大值．

【详解】(1)由得，

把代入上式得，解得或，

时，时，，

所以C与l的交点坐标是和；

(2)由得，

设上的点为，则

到直线的距离为，其中为锐角，，，

所以，当时取得．

21．已知函数，M为不等式的解集．

(1)求M；

(2)证明：当a，时，．

【答案】(1)

(2)证明见解析．

【分析】（1）按绝对值定义分类讨论去绝对值符号后解不等式；

（2）用分析法证明．

【详解】(1)，

时，，此时无解；

时，，则，解得，

时，，此时无解，

综上，．

(2)要证，只要证，即证，

只要证，

因为，所以，

所以成立，

所以原不等式成立．

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．

(1)求C的极坐标方程和l的直角坐标方程；

(2)已知l与y轴交于点M，与C交于A，B两点，求的值．

【答案】(1)C的极坐标方程为，l的直角坐标方程为；

(2).

【分析】（1）消参法求C的普通方程，再由公式法写出极坐标方程，应用公式法写出l的直角坐标方程；

（2）由（1）知，则l参数方程为代入C的普通方程求t，结合参数t的几何意义求目标式的值.

【详解】(1)消去参数，可得C的普通方程为，而，故C的极坐标方程为，

由，则l的直角坐标方程为.

(2)由（1）知：，而l的参数方程可写为代入，

整理得，则，

所以.

23．已知函数．

(1)解不等式；

(2)若，，且，证明：．

【答案】(1)；

(2)证明见解析.

【分析】（1）分类讨论求解绝对值不等式的解集.

（2）应用绝对值三角不等式有，再结合条件等式，应用基本不等式“1”的代换求不等式右侧的范围，注意等号成立条件即可证结论.

【详解】(1)由题设，，

当时，，可得；

当时，，无解；

当时，，可得.

综上，不等式解集为.

(2)由，知：，

而，当且仅当时等号成立，

综上，，得证.

24．已知函数，．

(1)讨论的单调性；

(2)若恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

(2).

【分析】（1）求导得到导函数，讨论和两种情况，根据导数的正负得到函数的单调区间.

（2）根据（1）中的单调区间，考虑和两种情况，计算函数的最小值，得到，构造函数，证明恒成立，得到答案.

【详解】(1)，则，，

当时，，函数单调递增；

当时，时，，函数单调递减；

时，，函数单调递增；

综上所述：当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.

(2)当时，函数在上单调递增，时，，不等式不成立；

当时，函数在上单调递减，在上单调递增，

故，整理得到：，

设，则，

当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.

故，故恒成立，即恒成立.

故，即.

【点睛】本题考查了利用导数求解函数的单调性，利用导数求解不等式恒成立问题，构造函数是解题关键，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.