2021-2022学年河南省洛阳市部分名校高二下学期大联考数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年河南省洛阳市部分名校高二下学期大联考数学（理）试题

一、单选题

1．（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分子分母同乘以即可.

【详解】解：，

故选：B．

【点睛】考查复数的除法运算，基础题.

2．一质点做直线运动，其位移s与时间t的关系为，设其在内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】直接运用导数的运算法则，计算即可

【详解】，，所以，所以．故选：A

3．若复数在复平面内所对应的点位于第四象限，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复数的运算法则，直接计算即可

【详解】．

由题意得解得．

故选：D

4．已知是函数的导函数，若，则（       ）

A．8 B．4 C．2 D．

【答案】C

【分析】根据导函数定义公式即可求解．

【详解】．

故选：C．

5．已知复数z满足为虚数单位，则（        ）

A． B．5 C． D．

【答案】C

【分析】根据复数除法运算法则，求出，再由模长公式，即可得出结论.

【详解】，

所以.

故选：C.

6．若复数，则z的虚部为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由，先求出，再结合复数的除法运算求出复数，得到答案.

【详解】因为 ，所以，

所以，

所以复数z的虚部为．

故选：B

7．已知函数在上不存在极值点，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先求导数，根据，即可求得实数的取值范围.

【详解】，因为函数在上不存在极值点，

所以在上没有变号零点，

所以，

所以，

所以实数t的取值范围是．

故选：D．

8．若方程表示椭圆，复数z满足，则复数z的共轭复数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由方程表示椭圆结合条件，得出参数的值，再由复数的运算得出答案.

【详解】因为方程表示椭圆，所以解得，

因为，所以．所以，所以，

所以，所以复数z的共轭复数为．

故选：A．

9．已知函数，若，则实数x的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先用导数判断出f（x）为R上单调递増函数，利用单调性解不等式.

【详解】由知f（x）为R上单调递増函数，

因为，所以，

解得：0<x<2.

故选：D.

10．已知复数（，为虚数单位），其在复平面内对应向量的模为2，则的最大值为（       ）

A．2 B．3 C． D．

【答案】B

【分析】根据题意利用向量模的定义将复数问题转化为圆的问题，再将利用向量模的定义展开，数形结合求最大值.

【详解】因为，所以，

即，故点在以为圆心，2为半径的圆上．

又，它表示点与原点的距离，

数形结合知的最大值为3．

故选：B

【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.

11．设，，，则　　

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据题意构造函数，利用导数研究单调性，可得最大，再利用对数的运算性质比较a与b的大小，则答案可求．

【详解】，，，

令，得，

当时，为增函数，当时，为减函数，

则最大，而，，

，

．

故选C．

【点睛】本题考查对数值的大小比较，考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．

12．已知且，函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先根据分段函数是递减函数，两段函数都是单调递减函数，当时，利用导数求参数的取值范围，然后比较端点值的大小，列式求实数的取值范围.

【详解】由题意可知，在上恒成立，则．令，则在上恒成立，所以在上单调递增，所以．所以若函数在上单调递减，则解得，所以实数a的取值范围是．

故选：C

二、填空题

13．曲线在处的切线方程是______________．

【答案】

【分析】先求出切点坐标，利用导数求出切线的斜率，写出切线的方程.

【详解】，当时，所以切点坐标为，

，所以切线斜率为6，所以切线方程为，即．

故答案为：

14．由，，，四条曲线所围成的封闭图形的面积为__________．

【答案】

【分析】根据分的几何意义得到直线，，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为

【详解】根据余弦函数的对称性可得，直线，，y=0与曲线y=cosx所围成的封闭图形的面积为

故答案为.

【点睛】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间与被积函数，属于中档题.

15．已知函数若且，则的最小值是________．

【答案】

【分析】作出函数图象，设，由图象可得的范围，并用表示出，从而可表示为的函数，再利用导数求得最小值．

【详解】函数的图象如图所示．

令，则，所以．令，，

当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以．

故答案为：．

三、双空题

16．在复数列中，已知，为复数列的前n项和，则_______，_______．

【答案】         

【分析】①依次计算出，， ，得出，然后分组求和；

②由①可得，带入计算可得结果；

【详解】因为，所以；

；；

由此可得：；

所以，

．

四、解答题

17．已知复数．

(1)若z是纯虚数，求；

(2)若，求a，b的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由纯虚数的概念求解

（2）根据复数的运算法则化简

【详解】(1)因为是纯虚数，

所以解得．             

所以，则．

(2)由，得，                  

代入，

得，                           

即．

18．已知函数．

(1)求函数的单调区间与极值；

(2)求函数在区间上的最值．

【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是；极大值是，极小值是

(2)最大值为，最小值为0

【分析】（1）对求导，根据导数的正负确定函数的增减，根据函数的单调性确定极值即可；

（2）根据极值点和端点值确定最值.

【详解】(1)．               

令，得或，

令，得，

所以的单调递增区间是，单调递减区间是．               

所以的极大值是，的极小值是．

(2)因为，             

由（1）知，的极大值是，的极小值是，

所以函数在区间上的最大值为，最小值为0．

19．（1）求与直线垂直，且与曲线相切的直线方程；

（2）求过原点，且与曲线相切的直线方程.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）先求出切线的斜率为2得到切点坐标为，即可求出切线方程；

（2）设切点坐标为，得到切线方程，由切线过原点，求出，即可求出切线方程.

【详解】（1）因为所求的切线与直线垂直，

故所求切线的斜率为2.

因为所以，

令得，所以切点坐标为，

故所求切线方程为，即.

（2）设切点坐标为，

因为，所以，

所以切线的斜率，

故所求切线方程为.

因为切线过原点，所以，

所以，

所以切线方程为，即.

20．已知．

(1)若2是函数的极值点，求a的值，并判断2是的极大值点还是极小值点；

(2)若关于x的方程在上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．参考数据：

【答案】(1)；2是的极小值点；

(2).

【分析】（1）根据2是的极值点，求得，再求的单调性进行验证即可；

（2）对分离参数，构造函数，求其在的值域，即可求得求得参数的范围.

【详解】(1)因为，所以．               

因为2是的极值点，所以，解得．               

此时．

令，解得或，令，解得，

故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．               

所以2是的极小值点．

(2)由，得，                 

令，

则，

令，解得，

令，解得，

故在上单调递增，在上单调递减，                  

故的极大值是，

而且，            

故实数a的取值范围是．

【点睛】本题考察利用导数研究函数的极值点以及利用导数研究函数在区间上的值域，属中档题.

21．在新冠肺炎疫情期间，口罩是必不可少的防护用品．某小型口罩生产厂家为保障抗疫需求，调整了口罩生产规模．已知该厂每月生产口罩的固定成本为1万元，每生产x万件，还需投入万元的原材料费，全部售完可获得万元，当月产量不足5万件时，；当月产量不低于5万件时，，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩当月可以全部售完．

(1)求月利润（万元）关于月产量（万件）的函数关系式，并求出月产量为3万件时，该厂这个月生产口罩所获得的利润；

(2)月产量为多少万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大？最大约为多少万元？（精确到）

参考数据：．

【答案】(1)；7.5万元

(2)当月产量约为8万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大，最大月利润约为8.9万元

【分析】（1）利润等于销售收入减去固定成本减去原材料费（2）分段函数的最值，先分段求，再比较，较大的是最大值

【详解】(1)当时；             

当时，                    

故月利润y关于月产量x的函数关系式为

当时，

故月产量为3万件时，该厂这个月生产口罩所获得的利润为7.5万元．

(2)当时，，

故当时，y取得最大值，最大值为8万元；                       

当时，，

．

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

故当时，y取得最大值，且．                  

因为，所以当月产量约为8万件时，该口罩生产厂家所获得月利润最大，最大月利润约为8.9万元．

22．已知函数.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)当时，上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

(2)

【分析】（1） 先求函数的定义域，再求导，根据导数即可求出函数的单调区间；

（2）根据（1）的结论，分别求时的最小值，令，即可求出实数的取值范围.

【详解】(1)易知函数的定义域为，

，

当时，，所以在上单调递增；

当时，，令，得；令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增；

当时，，令，得；令，得，

所以在上单调递减，在上单调递增.

(2)当时，成立，所以符合题意；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

要使恒成立，则，

解得；

当时，在上单调递减，在上单调递增，

要使恒成立，则，

解得.

综上所述，实数的取值范围是.