2021-2022学年河南省八所名校高二下学期第三次联考数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年河南省八所名校高二下学期第三次联考数学（理）试题

一、单选题

1．已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】首先利用复数的除法运算化简，再利用复数的几何意义求复数对应的点.

【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D

2．有一机器人的运动方程为（t是时间，s是位移），则该机器人在时刻时的瞬时速度为（ ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出导函数，将代入导函数的解析式，化简即可得结果.

【详解】因为，

所以，

则，

所以机器人在时刻时的瞬时速度为，故选D.

【点睛】本题主要考查导数的实际应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于基础题.

3．已知复数，i为虚数单位，则等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出，即可求出.

【详解】因为，所以,

所以.

故选：D

4．下列运算正确的个数为（       ）

① ，②，③，④.

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】A

【分析】运用导数的求导公式对各运算检验即可．

【详解】解：①（x2cosx）'＝2xcosx﹣x2sinx；

②（3x）'＝3xln3；

③应该为

④．应该为；

个正确的个数为0；

故选：A．

5．指数函数是R上的增函数，是指数函数，所以是R上的增函数．以上推理（       ）

A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．正确

【答案】B

【分析】根据底数函数的定义即可判断小前提为错误.

【详解】本题是演绎推理中三段论的具体应用.此推理形式正确，但是，函数y＝2|x|不是指数函数，所以小前提错误，

故选B.

6．已知抛物线上一点P，则在点P处的切线的倾斜角为（       ）

A．30° B．45°

C．135° D．165°

【答案】B

【分析】利用导数求得切线的斜率，由此求得倾斜角.

【详解】，

，

所以在点处切线的斜率为，

故切线的倾斜角为45°.

故选：B

7．设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x）的图象可能是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.

【详解】根据的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有选项符合，故本题选A.

【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题.

8．图中抛物线与直线所围成的阴影部分的面积是（       ）

A．16 B．18 C．20 D．22

【答案】B

【分析】联立方程组可得交点的坐标，结合定积分的意义即可.

【详解】由题意知

，

由，可得或，

所以.

故选：B

9．函数有小于1的极值点，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】试题分析：因为，所以函数定义域为{x|x>0},由得，a0,，又函数有小于1的极值点，所以，故选B．

【解析】本题主要考查导数的计算，利用导数求函数极值．

点评：易错题，本题涉及到对数函数，因此要注意函数的定义域．据此得出．

10．已知函数，则的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】利用导数分析函数的单调性以及函数值符号，由此可得出函数的图象.

【详解】对于函数，该函数的定义域为，求导得.

当时，，此时函数单调递减；

当时，，此时函数单调递增.

所以，函数的最小值为，即对任意的，.

所以，函数的定义域为，且，

函数的单调递增区间为，递减区间为.

所以，函数的图象如A选项中函数的图象.

故选：A.

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；

（2）从函数的值域，判断图象的上下位置．

（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

（5）函数的特征点，排除不合要求的图象.

11．已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】利用导数求得函数的单调性与最值，求解，转化为

或，作出函数的图象，结合图象，列出不等式，即可求解.

【详解】设，可得，

当时，，函数单调递增；

当时，，函数单调递减，

所以当时，函数取得极大值也是最大值，最大值为，

由方程可化为，

解得或，

画出函数的图象，如图所示，

要使得关于的方程有5个不同的实数根，

则满足，解得，

即实数的取值范围是.

故选：A

【点睛】对于方程根的存在性与根的个数的判定及应用，此类问题的解答中通常转化为函数的图象的交点个数，结合函数点图象列出相应的不等式是解答的关键，着重考查数形结合，以及转化思想的应用，属于中档试题.

12．已知定义在R上的可导函数，当时，恒成立，若，，，则，b，c的大小关系为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．

【详解】令，当时，，函数单调递增.

，，，

则，即.

故选：A.

二、填空题

13．若“，使成立”为真命题，则实数的取值范围是_________．

【答案】m≤1

【详解】，使为真命题

则

解得

则实数的取值范围为

14．若x，y满足约束条件则z=x−2y的最小值为__________.

【答案】

【详解】试题分析：由得，记为点；由得，记为点；由得，记为点.分别将A，B，C的坐标代入，得，，，所以的最小值为．

【解析】

简单的线性规划

【名师点睛】

利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：

（1）在平面直角坐标系内作出可行域；

（2）考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；

（3）确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；

（4）求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．

15．在平面直角坐标系中，点，若在曲线上存在点使得，则实数的取值范围为__________

【答案】

【分析】根据题意，设P（x，y），分析可得若|PB|＝2|PA|，则有（x﹣4）2+y2＝4（x﹣1）2+4y2，变形可得x2+y2＝4，进而可得P的轨迹为以O为圆心，半径为2的圆；将曲线C的方程变形为（x﹣a）2+（y﹣2a）2＝9，可得以（a，2a）为圆心，半径为3的圆；据此分析可得若曲线C上存在点P使得|PB|＝2|PA|，则圆C与圆x2+y2＝4有公共点，由圆与圆的位置关系可得3﹣22+3，解可得a的取值范围，即可得答案．

【详解】根据题意，设P（x，y），

若|PB|＝2|PA|，即|PB|2＝4|PA|2，则有（x﹣4）2+y2＝4（x﹣1）2+4y2，

变形可得：x2+y2＝4，

即P的轨迹为以O为圆心，半径为2的圆，

曲线Cx2﹣2ax+y2﹣4ay+5a2﹣9＝0，即（x﹣a）2+（y﹣2a）2＝9，则曲线C是以（a，2a）为圆心，半径为3的圆；

若曲线C上存在点P使得|PB|＝2|PA|，则圆C与圆x2+y2＝4有公共点，

则有3﹣22+3，即1|a|≤5，

解可得：a或a，

即a的取值范围为：[，]∪[，]；

故答案为[，]∪[，]．

【点睛】判断圆与圆的位置关系的常见方法

(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系．

(2)切线法：根据公切线条数确定．

16．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的离心率为_______________

【答案】

【详解】设 所在的直线方程为 ,则 所在的直线方程为,

解方程组 得： ，所以点 的坐标为 ,

抛物线的焦点 的坐标为: .因为是 的垂心，所以 ,

所以， .

所以， .

【解析】1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.

三、解答题

17．已知函数f（x）＝x﹣lnx

(1)求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；

(2)求函数f（x）的极值.

【答案】(1)

(2)极小值为，无极大值

【分析】（1）求出函数的导函数，再根据导数的几何意义即可求出切线方程；

（2）根据导数的符号求出函数的单调区间，再根据极值的定义即可得出答案.

【详解】(1)解：，

则，，

即切线的斜率为0，

所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处曲线的切线方程为；

(2)当时，，当时，，

所以函数在上递减，在上递增，

函数的极小值为，无极大值.

18．已知抛物线的焦点F，C上一点到焦点的距离为5．

（1）求C的方程；

（2）过F作直线l，交C于A，B两点，若线段AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程．

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）由抛物线的定义，结合已知有求p，写出抛物线方程.

（2）由题意设直线l为，联立抛物线方程，应用韦达定理可得，由中点公式有，进而求k值，写出直线方程.

【详解】（1）由题意知：抛物线的准线为，则，可得，

∴C的方程为.

（2）由（1）知：，由题意知：直线l的斜率存在，令其方程为，

∴联立抛物线方程，得：，，

若，则，而线段AB中点的纵坐标为-1，

∴，即，得，

∴直线l的方程为.

【点睛】关键点点睛：

（1）利用抛物线定义求参数，写出抛物线方程；

（2）由直线与抛物线相交，以及相交弦的中点坐标值，应用韦达定理、中点公式求直线斜率，并写出直线方程.

19．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2，A1A=4，点D是BC的中点；

（I）求异面直线A1B，AC1所成角的余弦值；

（II）求直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值．

【答案】（I）（II）

【详解】试题分析：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，可得和的坐标，可得cos＜，＞，可得答案；

（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），由可得=（1，﹣1，），设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=，进而可得答案．

解：（I）以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz，

则可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），

∴=（2，0，﹣4），=（0，2，4），

∴cos＜，＞==

∴异面直线A1B，AC1所成角的余弦值为：；

（II）由（I）知，=（2，0，﹣4），=（1，1，0），

设平面C1AD的法向量为=（x，y，z），

则可得，即，取x=1可得=（1，﹣1，），

设直线AB1与平面C1AD所成的角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|=

∴直线AB1与平面C1AD所成角的正弦值为：

【解析】异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角．

20．已知，是函数的两个极值点.

（1）求的解析式；

（2）记，，若函数有三个零点，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）根据极值点的定义，可知方程的两个解即为，，代入即得结果；

（2）根据题意，将方程转化为，则函数与直线在区间，上有三个交点，进而求解的取值范围．

【详解】解：（1）因为，所以

根据极值点定义，方程的两个根即为，，

，代入，，可得

，解之可得，，

故有；

（2）根据题意，，，，

根据题意，可得方程在区间，内有三个实数根，

即函数与直线在区间，内有三个交点，

又因为，

则令，解得；令，解得或，

所以函数在，上单调递减，在上单调递增；

又因为， ，， ，

函数图象如下所示：

若使函数与直线有三个交点，

则需使，即．

21．如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直，，=2，.

(1)求点C到平面的距离；

(2)线段上是否存在点F，使与平面所成角正弦值为，若存在，求出，若不存在，说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）建立空间直角坐标系，由向量法可得；

（2）设点F坐标，根据向量法求线面角建立方程求解可得.

【详解】(1)如图所示，取中点，连结，，

因为三角形是等腰直角三角形，所以，

因为面面，面面面，

所以平面，又因为，

所以四边形是矩形，可得，

则，

建立如图所示的空间直角坐标系，则：

据此可得，

设平面的一个法向量为，

则，令可得，

从而，又，

故求点到平面的距离.

(2)假设存在点，，满足题意，

点在线段上，则，

即：，，，，，

据此可得：，，从而，，，，

设与平面所成角所成的角为，

则，

整理可得：，

解得：或（舍去）.

据此可知，存在满足题意的点，点为的中点，即.

22．设函数．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值．（其中为的导函数．）

【答案】（Ⅰ）答案见解析；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）的定义域为，，分和两种情况解不等式和即可得单调递增区间和单调递减区间；

（Ⅱ）由题意可得对于恒成立，分离可得，令，只需，利用导数求最小值即可求解.

【详解】（Ⅰ）函数的定义域为，

当时，对于恒成立，此时函数在上单调递增；

当时，由可得；由可得；

此时在上单调递减，在上单调递增；

综上所述：当时，函数的单调递增区间为，

当时，单调递减区间为，单调递增区间为，

（Ⅱ）若，由可得，

因为，所以，

所以

所以对于恒成立，

令，则，

，

令，则对于恒成立，

所以在单调递增，

因为，，

所以在上存在唯一的零点，

即，可得：，

当时，，则，

当时，，则，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，

因为，所以的最大值为.

【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：

（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；

（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.