2021-2022学年内蒙古鄂尔多斯市康巴什区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

这是一份2021-2022学年内蒙古鄂尔多斯市康巴什区八年级（下）期末数学试卷（Word解析版），共22页。试卷主要包含了0分，0分），0分)，【答案】C，【答案】A，【答案】D，【答案】B等内容，欢迎下载使用。

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. 9B. 12C. 13D. 10
如图，菱形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，若AC=6，BD=8，则OE长为( )
A. 3
B. 5
C. 2.5
D. 4
某校“啦啦操”兴趣小组共有50名学生，她们的年龄分布如表：
由于表格污损，14岁、15岁人数看不清，则下列关于年龄的统计量可以确定的是( )
A. 平均数、众数B. 众数、中位数C. 平均数、中位数D. 中位数、方差
下列计算正确的是( )
A. 2+2=22B. 5-3=2
C. 2×3=23D. 9÷3=3
如图所示，有一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，则这块地的面积为( )
A. 24平方米B. 26平方米C. 28平方米D. 30平方米
若正比例函数图象过点(1,-2)，则下列说法正确的是( )
A. 函数图象过一、三象限
B. 函数图象过点(-2,-4)
C. 函数值随自变量的增大而增大
D. 函数图像向右平移1个单位后的函数的解析式是y=-2x+2
若实数a，b，c满足a+b+c=0，且aA. B. C. D.
如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作图，作图痕迹如图所示，AG交BC于点E.若AB=4，∠BAD=60°，则AE的长为( )
A. 6B. 23C. 43D. 8
如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE/​/AB交AD于点E.若AB=6，BC=8，则△BOE周长为( )
A. 10
B. 8+25
C. 8+213
D. 14
如图1，动点P从矩形ABCD的顶点A出发，在边AB，BC上沿A→B→C的方向，以1cm/s的速度匀速运动到点C，△APC的面积S(cm2)随运动时间t(s)变化的函数图象如图2所示，则AB的长是( )
A. 32cmB. 3cmC. 4cmD. 6cm
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
使式子4-x有意义的x的取值范围是______ ．
下面是甲、乙两人10次射击成绩(环数)的条形统计图，则这两人10次射击命中环数的方差s甲2______s乙2.(填“>”、“<”或“=”)
如图，点A(-1,m)在直线y=2x+3上，连结OA，∠AOB=90°，点B在直线y=-x+b上，OA=OB，则b=______．
如图，一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P，则关于x的不等式(k1-k2)x+(b1-b2)>0的解集是______．
如图，在▱ABCD中，AB=4，E是BC的中点，BE=2，∠BAD=120°，P是BD上的动点，则PE+PC的最小值为______．
如图，在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AC=5，BC=4，过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的点P处，折痕为MN，当点P在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动，若限定端点M、N分别在AB、AC边上移动，则线段AP长度的最小值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
(本小题8.0分)
(1)计算：48÷3-12×12+24；
(2)计算：(25+6)(25-6)+5-(1-5)2．
(本小题8.0分)
某农业科技部门为了解甲、乙两种新品西瓜的品质(大小、甜度等)，进行了抽样调查.在相同条件下，随机抽取了两种西瓜各7份样品，对西瓜的品质进行评分(百分制)，并对数据进行收集、整理，下面给出两种西瓜得分的统计图表．
甲、乙两种西瓜得分表
甲、乙两种西瓜得分统计表
(1)a= ______ ，b= ______ ；
(2)从方差的角度看，______ 种西瓜的得分较稳定(填“甲”或“乙”)；
(3)小明认为甲种西瓜的品质较好些，小军认为乙种西瓜的品质较好些.请结合统计图表中的信息分别写出他们的理由．
(本小题8.0分)
已知，在△ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．
(1)如图1，若AC=BC，求证：四边形DECF为菱形；
(2)如图2，过C作CG/​/AB交DE延长线于点G，连接EF，AG，在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有与△ADG面积相等的平行四边形．
(本小题8.0分)
在一次机器“猫”抓机器“鼠”的展演测试中，“鼠”先从起点出发，1min后，“猫”从同一起点出发去追“鼠”，抓住“鼠”并稍作停留后，“猫”抓着“鼠”沿原路返回．“鼠”、“猫”距起点的距离y(m)与时间x(min)之间的关系如图所示．
(1)在“猫”追“鼠”的过程中，“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是______m/min；
(2)求AB的函数表达式；
(3)求“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间．
(本小题9.0分)
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，△BOC≌△CEB．
(1)求证：四边形OBEC是矩形；
(2)若∠ABC=120°，AB=6，求矩形OBEC的周长．
(本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-12x+5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数y=2x的图象l2与l1交于点C(2,4)．
(1)若点M是直线y=-12x+5上的一个动点，连接OM，当△AOM的面积是△BOC面积的2倍时，请求出符合条件的点M的坐标；
(2)一次函数y=kx+2的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，求出k的值．
(本小题10.0分)
某种子商店悄售“黄金一号”玉米种子，为惠民促销，推出两种销售方案供采购者选择．
方案一：每克种子价格为4元，无论购买多少均不打折；
方案二：购买3千克以内(含3千克)的价格为每千克5元，若一次性购买超过3千克的，则超过3千克的部分的种子价格打7折．
(1)请分别求出方案一和方案二中购买的种子数量x(千克)和付款金额y(元)之间的函数关系式；
(2)若你去购买一定量的种子，你会怎样选择方案？说明理由．
(本小题12.0分)
课本等腰三角形的轴对称性一节，我们最后通过直角三角形纸片折叠发现了定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．
(1)小聪同学画出了如图①所示的一个特殊的直角三角形，其中∠BAC为直角，AD为斜边BC上的中线，∠B=30°.它证明上面定理思路如下：延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，再证△ABC≌△BAE，你认为小聪能否完成证明？______(只需要填“能”或“不能”)；
(2)小聪同学还想借助图②，任意的Rt△ABC为直角，AD为斜边BC上的中线，证明或推翻结论AD=12BC，请你帮助小聪同学完成；
(3)如图③，在△ABC中AD⊥BC，垂足为D，如果CD=1，AD=2，BD=4，求△ABC的中线AE的长度．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据最简二次根式的定义可知：10是最简二次根式．
故选：D．
根据最简二次根式的定义判断即可．
本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开的尽方的因数或因式．
2.【答案】C
【解析】
【分析】
根据菱形的性质可得OB=OD，AO=OC，AO⊥BO，从而可判断OE是△DAB的中位线，在Rt△AOD中求出AD，继而可得出OE的长度．
本题考查了菱形的性质及三角形的中位线定理，熟练掌握菱形四边相等、对角线互相垂直且平分的性质是解题关键．
【解答】
解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，
∴AO=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，
又∵点E是AB中点，
∴OE是△DAB的中位线，
在Rt△AOD中，AD=AO2+DO2=5，
则OE=12AD=52．
故选：C．
3.【答案】B
【解析】解：一共有50人，中位数是从小到大排列后处在第25、26位两个数的平均数，而12岁的有5人，13岁的有23人，因此从小到大排列后，处在第25、26位两个数都是13岁，因此中位数是13岁，不会受14岁，15岁人数的影响；
因为13岁有23人，而12岁的有5人，14岁、15岁共有22人，因此众数是13岁；
故选：B．
根据众数、中位数的定义进行判断即可．
本题考查中位数、众数，理解中位数、众数的定义，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提．
4.【答案】C
【解析】解：A.2与2不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
B.5与3不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
C.2×3=23，此选项计算正确；
D.9÷3=9÷3=3，此选项计算错误；
故选：C．
根据二次根式的加减运算法则和乘除运算法则逐一判断即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
5.【答案】A
【解析】解：如图，连接AC．
由勾股定理可知
AC=AD2+CD2=42+32=5，
又∵AC2+BC2=52+122=132=AB2
∴△ABC是直角三角形
故所求面积=△ABC的面积-△ACD的面积=12×5×12-12×3×4=24(m2).
故选：A．
连接AC，利用勾股定理可以得出△ACD和△ABC是直角三角形，△ABC的面积减去△ACD的面积就是所求的面积．
考查了直角三角形面积公式以及勾股定理的应用．
6.【答案】D
【解析】解：设正比例函数的解析式为y=kx(k≠0)．
∵正比例函数y=kx的图象过点(1,-2)，
∴-2=k，
∴正比例函数的解析式为y=-2x．
∵k=-2<0，
∴函数图象过二、四象限，y随x的增大而减小，
把x=-2代入y=-2x得y=4，
∴函数图象过点(-2,-4)，
函数图像向右平移1个单位后的函数的解析式是y=-2(x-1)=-2x+2，
选项D，说法正确，符合题意．
故选：D．
由正比例函数图象过点(1,-2)，可求出正比例函数的解析式，由k=-2<0，利用正比例函数的性质以及平移的规律判断即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，一次函数图象与几何变换，牢记一次函数的性质以及平移的规律是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵a+b+c=0，且a∴a<0，c>0，(b的正负情况不能确定)，
∵a<0，
∴函数y=-cx-a的图象与y轴正半轴相交，
∵c>0，
∴函数y=-cx-a的图象经过第一、二、四象限．
故选：B．
先判断出a是负数，c是正数，然后根据一次函数图象与系数的关系确定图象经过的象限以及与y轴的交点的位置即可得解．
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，先确定出a、c的正负情况是解题的关键，也是本题的难点．
8.【答案】C
【解析】解：连接EF，AE与BF相交于点O，如图，
由作法得AF=AB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD/​/BC，
∴∠FAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAF，
∴∠FAE=∠BAE=12∠BAD=30°，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BA=BE=4，
∴AF=BE=4，
∵AF/​/BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AF=AB，
∴四边形ABEF为菱形，
∴AE和BF互相垂直平分，
∴BO=12AB=2，
在Rt△AOB中，OA=42-22=23，
∴AE=2AO=43．
故选：C．
连接EF，AE与BF相交于点O，如图，由作法得AF=AB，证明四边形ABEF为菱形得到AE和BF互相垂直平分，则BO=12AB=2，然后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．
本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了角平分线的性质．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题主要考查了矩形的性质、以及勾股定理和中位线的性质，解题的技巧是把所求三角形的三条线段分别放在不同的三角形中求解长度．易知OE是△ACD的中位线，则OE=12CD=3，在Rt△ABE中，利用勾股定理求得BE=213，在Rt△ABC中，利用勾股定理求得AC=10，根据矩形性质可求BO=5，从而求出△BOE的周长．
【解答】
解：∵点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE/​/AB，
∴AB=CD=6，AD=BC=8，OE=12CD=3，E点为AD中点．
∴AE=4，
在Rt△ABE中，BE=AB2+AE2=213．
在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=10，
∴BO=5，
则△BOE的周长为5+3+213=8+213．
10.【答案】B
【解析】解：由图2可知，AB=a，BC=4，当点P到达点B时，△APC的面积为6，
∴12⋅AB⋅BC=6，即12⋅a⋅4=6，
解得a=3．
即AB的长为3cm．
故选：B．
由图2可知，AB=a，BC=4，当点P到达点B时，△APC的面积为6，可得出等式12⋅a⋅4=6，求出a的值，即线段AB的长．
本题主要考查动点问题中三角形的面积，函数图象与点的运动相结合，注意转折点，即面积表示发生改变的点的含义是解题关键．
11.【答案】x≤4
【解析】解：使式子4-x有意义，
则4-x≥0，即x≤4时．
则x的取值范围是x≤4．
根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，列不等式求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12.【答案】>
【解析】解：∵通过观察条形统计图可知：乙的成绩更整齐，也相对更稳定，
∴甲的方差大于乙的方差，
故答案为：>．
根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13.【答案】2
【解析】解：把A(-1,m)代入直线y=2x+3，可得：m=-2+3=1，
因为线段OA绕点O顺时针旋转90°，所以点B的坐标为(1,1)，
把点B代入直线y=-x+b，可得：1=-1+b，b=2，
故答案为：2．
先把点A坐标代入直线y=2x+3，得出m的值，然后得出点B的坐标，再代入直线y=-x+b解答即可．
此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数的解析式，熟知待定系数法是解题的关键．
14.【答案】x<-2
【解析】解：∵由函数图象可知，当x<-2时直线y=k1x+b1在直线y=k2x+b2的上方，
∴(k1-k2)x+(b1-b2)>0的解集是x<-2．
故答案为：x<-2．
根据当x<-2时直线y=k1x+b1在直线y=k2x+b2的上方进行解答即可．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，直接利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
15.【答案】23
【解析】解：∵E是BC的中点，BE=2，
∴BC=4，
∵▱ABCD中，AB=4，
∴四边形ABCD是菱形，
连接AC，连接AE交BD于P点，
∵A、C点关于BD对称，
∴AP=CP，
∴PE+PC=PE+PA≥AE，
当A、P、E三点共线时，PE+PC有最小值，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABE=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
在Rt△ABE中，AE=23，
∴PE+PC的最小值为23，
故答案为：23．
先判断四边形ABCD是菱形，连接AC，连接AE交BD于P点，当A、P、E三点共线时，PE+PC有最小值为AE，求出AE即可．
本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，菱形的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键．
16.【答案】4-7
【解析】解：如图，过点C作CD⊥直线l交l于点D，当折叠MN过点C时，AP的值最小，此时记为点P，

∴四边形ABCD为矩形，
∵PC=BC=4，AB=CD=3，
∴PD=42-32=7，
故此时AP的最小值为：AD-PD=4-7，
故答案为：4-7．
关键在于找到AP取最小值时，点M、N的位置．经实验不难发现，当点N与C重合时，AP的值最小．
本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，解题关键是学生动手操作，这样更易于理解．
17.【答案】解：(1)48÷3-12×12+24
=16-6+26
=4+6；
(2)(25+6)(25-6)+5-(1-5)2
=20-6+5-5+1
=15．
【解析】(1)先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答；
(2)先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)将甲种西瓜的得分从小到大排列处在中间位置的一个数是88，
因此中位数是88，即a=88，
乙种西瓜的得分出现次数最多的是90分，所以众数是90，即b=90，
故答案为：88，90；
(2)由甲、乙两种西瓜得分的大小波动情况，直观可得s甲2>s乙2，
∴乙种西瓜的得分较稳定，
故答案为：乙；
(3)小明认为甲种西瓜的品质较好些，理由为：甲种西瓜得分的众数比乙种的高．
小军认为乙种西瓜的品质较好些，理由为：乙种西瓜得分的中位数比甲种的高且乙的得分方差小..
【解析】本题考查频数分布表，中位数、众数、方差，理解中位数、众数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提．
(1)根据中位数、众数的意义求解即可；
(2)根据数据大小波动情况，直观可得答案；
(3)从中位数、众数的比较得出答案．
19.【答案】(1)证明：∵D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，
∴DE/​/CF，DF/​/EC，DE=12BC，DF=12AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∵AC=BC，
∴DE=DF，
∴四边形DECF是菱形．
(2)∵CG//EF，EG/​/CF，
∴四边形EFCG是平行四边形，
△ADG面积相等的平行四边形有：四边形DECF，四边形DEFB，四边形EFCG，四边形ADFE．
【解析】(1)根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
(2)利用等高模型即可解决问题；
本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质、三角形的中位线定理，等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．
20.【答案】1
【解析】解：(1)由图象知：“鼠”6min跑了30m，
∴“鼠”的速度为：30÷6=5(m/min)，
“猫”5min跑了30m，
∴“猫”的速度为：30÷5=6(m/min)，
∴“猫”的平均速度与“鼠”的平均速度的差是1(m/min)，
故答案为：1；
(2)设AB的解析式为：y=kx+b，
∵图象经过A(7,30)和B(10,18)，
把点A和点B坐标代入函数解析式得：
30=7k+b18=10k+b，
解得：k=-4b=58，
∴AB的解析式为：y=-4x+58；
(3)令y=0，则-4x+58=0，
∴x=14.5，
∵“猫”比“鼠”迟一分钟出发，
∴“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为14.5-1=13.5(min)．
答：“猫”从起点出发到返回至起点所用的时间为13.5min．
(1)由图象求出“猫”和“鼠”的速度即可；
(2)先设出函数关系式，用待定系数法求出函数解析式即可；
(3)令(2)中解析式y=0，求出x即可．
本题考查一次函数的应用和待定系数法求函数解析式，关键是读取图形中信息，写出函数关系式．
21.【答案】(1)证明：∵△BOC≌△CEB，
∴OB=EC，OC=EB，
∴四边形OBEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∴平行四边形OBEC是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，AB=6，∠ABC=120°，
∴AC⊥BD，BC=AB=6，∠DBC=12∠ABC=60°，
∴∠BOC=90°，
∴∠OCB=30°，
∴OB=12BC=3，
∴OC=BC2-OB2=62-32=33，
∴矩形OBEC的周长=(33+3)=63+6．
【解析】(1)由全等三角形的性质得OB=EC，OC=EB，则四边形OBEC是平行四边形，再由菱形的性质得∠BOC=90°，即可得出结论；
(2)由菱形的性质得AC⊥BD，BC=AB=6，∠DBC=12∠ABC=60°，则∠OCB=30°，再由含30°角的直角三角形的性质得OB=12BC=3，然后由勾股定理求出OC的长，即可求解．
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的性质，证明四边形OBEC为矩形是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵y=-12x+5，
∴A(10,0)，B(0,5)，
∵C(2,4)，
∴S△BOC=12×5×2=5，
设M(a,-12a+5)，
∵S△AOM=2S△BOC=10，
∴S△AOM=12×10×|-12a+5|=10，解得：a=6或14，
∴点M的坐标为(6,2)或(14,-2)；
(2)当l1/​/l3或l2/​/l3时，l1，l2，l3不能围成三角形，
即k=-12或k=2，
当l3过点C(2,4)时，将点C坐标代入y=kx+2并解得：k=1；
故当l3的表达式为：y=-12x+2或y=2x+2或y=x+2．
故k的值为-12或2或1．
【解析】(1)先求得点A，B，C的坐标，设M(a,-12a+5)，根据S△AOM=2S△BOC，即可求解；
(2)当l1/​/l3或l2/​/l3时，当l3经过点C(2,4)时，l1，l2，l3不能围成三角形，即可求解．
本题是一次函数综合题，主要考查两直线的交点，两直线相交或平行问题，待定系数法求函数解析式、三角形的面积及分类讨论思想等．解决问题的关键是利用图象求解各问题．
23.【答案】解：(1)方案一的函数是：y1=4x；
方案二：当x≤3时，y2=5x；
当x>3时，y2=3×5+(x-3)×5×0.7=3.5x+4.5，
∴y2=5x(x≤3)3.5x+4.5(x>3)；
(2)当x≤3时，选择方案一；
当x>3时，
4x>3.5x+4.5，
解得：x>9，
4x=3.5x+4.5，
解得：x=9；
当4x<3.5x+4.5，
解得：0故当0当x=9时，选择两种方案都可以；
当x>9时，选择方案二．
【解析】(1)根据付款金额=数量×单价，即可表示出方案一与方案二中，当x≤3时的函数关系式；当x≥3时，金额=3千克内的金额+超过3千克部分的金额，即可写出函数解析式；
(2)当x≤3时，选择方案一；
当x>3时，比较4x与3.5x+4.5的大小关系，即可确定x的范围，从而进行判断．
此题考查一次函数的应用，在购物时经常遇到．虽然有许多购物方案，但是需要选择最省钱的一种，这也体现了数学中的最优化思想．
24.【答案】能
【解析】解：(1)能．
理由：如图①所示．

∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，
∴∠ACB=60°．
在△ACD和△EBD中，
AD=DE∠ADC=∠EDBBD=CD
∴△ACD≌△EBD．
∴∠EBD=∠ACD=60°，BE=AC．
∴∠ABE=90°．
在Rt△ABE和Rt△BAC中，
AB=ABBE=AC，
∴Rt△ABE≌Rt△BAC．
∴BC=AE．
∴BC=2AD．
∴AD=12BC．
(2)证明：如图②所示：延长AD至点E使DE=AD，连接BE．

在△ACD和△EBD中，
AD=ED∠ADC=∠EDBBD=CD，
∴△ACD≌△EBD．
∴∠C=∠EBD
∴∠C+∠ABC=∠ABC+∠EBD，即∠BAC=∠ABE．
在△ABC和△BAE中，
AB=AB∠ABE=∠BACBE=AC，
∴△ABC≌△BAE．
∴AE=BC．
∴BC=AE=2AD
∴AD=12BC．
(3)∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°．
∵CD=1，AD=2，BD=4，
∴根据勾股定理得：AC2=CD2+AD2=5，AB2=AD2+BD2=20．
∵AC2=5，AB2=20，BC2=(1+4)2=25，
∴AC2+AB2=BC2．
∴△ABC是直角三角形．
∴△ABC的中线AE的长度=12BC=52．
(1)如图①所示．由三角形内角和定理可求得∠ACB=60°.然后证明△ACD≌△EBD，从而得到∠EBD=∠ACD=60°，BE=AC，∠ABE=90°然后再证明Rt△ABE≌Rt△BAC，于是得到BC=AE故此BC=2AD；
(2)如图②所示：延长AD至点E使DE=AD，连接BE，先证明△ACD≌△EBD，得到∠C=∠EBD，从而可证明∠BAC=∠ABE，然后证明△ABC≌△BAE，从而得到AE=BC，故此BC=AE=2AD；
(3)根据勾股定理得：AC2=5，AB2=20，于是可得到AC2+AB2=BC2.于是得到△ABC是直角三角形，根据结论可知△ABC的中线AE的长度=12BC=52．
本题主要考查的是全等三角形的性质和判定的应用、勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，根据△ACD≌△EBD、△ABC≌△BAE是解题的关键．
年龄/岁
12
13
14
15
人数
5
23
■
■
序号
1
2
3
4
5
6
7
甲种西瓜(分)
75
85
86
88
90
96
96
乙种西瓜(分)
80
83
87
90
90
92
94
平均数
中位数
众数
甲种西瓜
88
a
96
乙种西瓜
88
90
b