2021-2022学年山西省大同市八年级（下）期末数学试卷（Word解析版）

绝密★启用前

2021-2022学年山西省大同市八年级（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 公元前年，古希腊毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯发现了一个惊人的事实：边长为的正方形的对角线的长度是不可公度的，即不能表示成两个整数之比．这个发现是基于一个表述直角三角形三条边长之间关系的定理，请问这个定理被称为(    )

A. 勾股定理 B. 韦达定理
C. 费马大定理 D. 阿基米德折弦定理

3. 已知在中，，，的对边分别记为，，，则下列条件不能判定为直角三角形的是(    )

A.  B. ：：：：
C.  D. ：：：：

4. 随着我国综合国力的增强，人们生活水平也不断提升，越来越多的人开始关注健康、锻炼身体，其中走路是最简单的锻炼方法之一，舒适的运动鞋就成为走路锻炼的必要装备，运动鞋的鞋底柔软而富有弹性，能起到一定的缓冲作用，防止脚踝受伤，某运动鞋品牌店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：

父亲节来临之际，该品牌店店主为了促销再次进货，此次进货应参考的是试销期间所售出鞋的尺码的(    )

A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差

5. 将直线向上平移个单位长度，得到一次函数的解析式为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 学习完“一次函数”，王老师出了一道题，已知且，则一次函数的图象大致是(    )

A.  B.
C.  D.

7. 某场比赛，共有位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到个有效评分，有效评分与个原始评分相比，一定不变的数据特征是(    )

A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差

8. 如图，在平行四边形中，，，，，分别是边，，，的中点，连接，，，，则对四边形的形状描述最准确的是(    )

A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形

9. 已知小明的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小明从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家．图中表示时间，表示小明离家的距离．依据图中的信息，下列说法错误的是(    )

A. 体育场离小明家
B. 体育场离文具店
C. 小明从体育场出发到文具店的平均速度是
D. 小明从文具店回家的平均速度是

10. 如图，正方形的边长为，先以正方形的对角线为直径画圆，再以正方形的各边长为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 写出一个比大且比小的整数______．
12. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，请你添加一个条件：______，使四边形是菱形．

13. 九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈一丈为十尺，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，那么原处还有______尺高的竹子．

14. 数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设一个三角形的三边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦--秦九韶公式，请你利用公式解答下列问题：在中，已知，，，则的面积为______．
15. 如图，在矩形中，，，，分别是边，上的点点，不与顶点重合将矩形沿直线折叠，点恰好与点重合，点的对应点为点，则线段的长为______．

三、解答题（本大题共9小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 计算：
17. 下面是小明同学计算的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
    解：
    第一步
    第二步
    第三步
    第四步
    第五步
    任务一：小明同学的解答过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______．
    任务二：请你写出正确的计算过程．
18. 如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点、，连接，求证：．

19. 某校八年级举办“防溺水安全知识答题竞赛”，甲，乙两个班根据初赛成绩各选出名选手组成甲班代表队简称：甲队和乙班代表队简称：乙队参加学校决赛，甲队名选手的决赛成绩单位：分分别是：，，，，；乙队名选手的决赛成绩单位：分分别是：，，，，．
    现将有关成绩整理成如下表格：

直接写出，，的值．
结合两队成绩的平均数和中位数进行分析，哪个队的决赛成绩较好？
学校决定从甲队和乙队中选择成绩较为稳定的一个代表队参加省级竞赛，你认为选哪个代表队合适？

20. 如图，在的菱形斜网格图中每个小菱形的边长均为，且较小的内角为，我们把每个菱形网格的交点叫做格点，四个顶点都在格点上的矩形叫做格点矩形．请按下列要求作图：
    
    在图中画出一个以为边的格点矩形．
    在图中画出一个面积为的格点矩形．
21. 暑假将至，某游泳馆面向学生推出著期优惠活动，活动方案如下．
    方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次游泳的费用按六折优惠．
    方案二：不购买学生暑期专享卡，每次游泳的费用按八折优惠．
    设李强暑期游泳的次数为，按照方案一所需费用为元，按照方案二所需费用为元，其函数图象分别如图所示．
    求按方案一所需费用与游泳次数的函数解析式及打折前每次游泳的费用．
    求按方案二所需费用与游泳次数的函数解析式．
    假设李强计划暑期前往该游泳馆游泳次，选择哪种方案所需费用较少？请说明理由．

22. 某学习小组探究函数的图象与性质．
    下面是该组同学的探究过程，请补充完整：
    函数中自变量的取值范围是______．
    下表是与的几组对应值．

填空：______，______．
在如图所示的正方形网格中，建立合适的平面直角坐标系，描出以上表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．

根据所画函数图象，你能得出哪些合理的结论？写出一条即可

23. 综合与实践
    问题情境：
    已知四边形是正方形，是对角线，将等腰直角三角形的底角顶点与点重合，，分别与边，相交于点，点，不与线段的端点重合，连接．
    特例感知：
    如图，当平分时，
    试判断和的数量关系，并说明理由；
    和的数量关系是______．
    深入探究：
    如图，当不是的平分线时，试判断，，的数量关系，并说明理由．
     

24. 如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于点，，直线：与轴，轴分别交于点，，连接，直线，交于点．
    求点的坐标，并直接写出不等式的解集．
    求的面积．
    若点在直线上，为坐标平面内任意一点，试探究：是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
选项A不符合题意；
符合最简二次根式的概念，
选项B符合题意；
，
选项C不符合题意；
，
选项D不符合题意，
故选：．
根据二次根式化简方法和最简二次根式的概念进行化简辨别即可．
此题考查了二次根式的化简能力，关键是能准确理解最简二次根式的概念，并能对二次根式进行正确的化简．
 

2.【答案】 

【解析】解：边长为的正方形的对角线的长度是不可公度的，即不能表示成两个整数之比，这个发现是基于一个表述直角三角形三条边长之间关系的勾股定理，
故选：．
根据数学常识进行解答即可．
此题考查了数学常识，熟记课本中的数学常识是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
B.：：：：，
设，，，
，，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
C.，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D.：：：：，，
最大角的度数是，
不是直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
根据三角形内角和定理和已知条件求出的度数，即可判断选项A；先分别求两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等，即可判断选项B；根据勾股定理的逆定理即可判断选项C；根据三角形的内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项D．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，能熟记勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

4.【答案】 

【解析】解：对鞋店下次进货来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．
故选：．
众数是一组数据中出现次数最多的数，可能不止一个，对鞋店下次进货最具有参考意义的是众数．
此题考查了众数、平均数、中位数和方差意义，属于基础题，难度不大，只要了解各个统计量的意义就可以轻松确定本题的正确答案．
 

5.【答案】 

【解析】解：由“上加下减”的原则可知，把直线向上平移个单位长度后所得直线的解析式为：，即．
故选：．
直接根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：且，
，
一次函数的图象经过第一、二、四象限，
故选：．
根据一次函数的性质一一判断即可；
本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据题意，将个数据从小到大排列，
从个原始评分中去掉个最高分、个最低分，得到个有效评分．
个有效评分与个原始评分相比，最中间的两个分数不变，
即不变的数据特征是中位数．
故选：．
根据题意，由中位数、平均数、方差、众数的定义，判断即可．
本题考查中位数、平均数、方差、极差的定义，注意这几种数据特征的定义以及计算方法，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接、，
四边形为平行四边形，，
平行四边形为菱形，
，
，，，分别是边，，，的中点，
是的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，，，，
，，，
四边形为平行四边形，
，，，
，
平行四边形为矩形，
故选：．
连接、，根据菱形的判定定理得到平行四边形为菱形，根据菱形的性质得到，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理解答即可．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：由图象可知，体育场离小明家，故选项A不合题意；
由图象可知，小明家离文具店千米，离体育场千米，所以体育场离文具店千米，故选项B不合题意；
小明从体育场出发到文具店的平均速度为：，故选项C符合题意；
小明从文具店回家的平均速度是，故选项D不合题意．
故选：．
因为小明从家直接到体育场，故第一段图象所对应的轴的最高点即为体育场离小明家的距离；
小明从体育场到文具店是减函数，此段图象最高点与最低点纵坐标的差为小明家到文具店的距离；
根据“速度路程时间”即可得出小明从体育场出发到文具店的平均速度；
先求出小明家离文具店的距离，再求出从文具店到家的时间，求出二者的比值即可．
本题考查了图象，正确理解图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．需注意计算单位的统一．
 

10.【答案】 

【解析】解：正方形的边长为，
，
图中阴影部分的面积以正方形的各边长为直径的半圆的面积以正方形的对角线为直径圆的面积
，
故选：．
根据正方形的面积和圆的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积的计算，正方形的性质，正确地求出阴影部分的面积是解题的关键．
 

11.【答案】或 

【解析】解：，，
比大且比小的整数或，
故答案为：或．
估算无理数、的大小即可．
本题考查估算无理数的大小，理解算术平方根的定义是正确解答的前提．
 

12.【答案】答案不唯一 

【解析】解：添加，
理由：四边形是平行四边形，，
四边形是菱形，
故答案为：答案不唯一．
根据菱形的判定定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，
根据勾股定理得：，
解得：．
答：原处还有尺高的竹子．
故答案为：．
竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺．利用勾股定理解题即可．
此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，，
，
的面积为．
故答案为：．
直接利用海伦--秦九韶公式列式计算即可．
本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，作于点，
四边形为矩形，
，，，，，
，

四边形、都是矩形，
，，
由折叠性质可得，
，
在中，根据勾股定理得：
，
即
解得：，
，
，
由折叠性质可得，
，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得：
，
故答案为：．
作于点，先得出四边形、都是矩形，再根据勾股定理得出的长，然后利用折叠的性质得出，最后利用勾股定理得出结果．
本题考查了矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理列方程解决问题．
 

16.【答案】解：原式． 

【解析】首先把二次根式进行化简，然后再合并即可．
此题主要考查了二次根式的加减法，关键是掌握二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
 

17.【答案】二  去括号后，括号内第二项没有变号 

【解析】解：任务一：小明同学的解答过程从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号后，括号内第二项没有变号，
故答案为：二；去括号后，括号内第二项没有变号；
任务二：


．
先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
．
又，
，
，
，
．
．
．
四边形是平行四边形．
．
． 

【解析】根据平行四边形的对边平行且相等，得，，再根据平行线的性质，得，，由证明≌，根据全等三角形的对应边相等，得，从而得出四边形是平行四边形，根据两直线平行内错角相等证得．
本题考查的是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关角相等的证明．
 

19.【答案】解：，
甲班出现了次，出现的次数最多，
，
把乙班的成绩按从小到大排列为：，，，，，
则；

甲乙两队成绩的平均数相等，而甲队成绩的中位数大，
所以甲队高分人数更多，
甲队决赛成绩较好；

甲班决赛成绩的方差分，
甲班的方差是，乙班的方差是，
甲班代表队选手成绩较为稳定． 

【解析】根据平均数、众数、中位数的定义即可得出答案；
根据平均数和中位数的意义求解即可；
根据方差的意义，方差越小数据越稳定．
此题主要考查了平均数、众数、中位数、方差的统计意义．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．
 

20.【答案】解：如图中，矩形即为所求；
如图中，矩形即为所求．
 

【解析】根据矩形的定义画出图形即可答案不唯一；
根据矩形的定义，利用数形结合的思想解决问题．
本题考查作图应用与设计作图，勾股定理．矩形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

21.【答案】解：的图象过点，，
，
解得，
；
由可知购买一张学生暑期专享卡后每次游泳费用为元，
打折前的每次游泳费用为元，
答：，打折前的每次游泳费用为元；
打折前的每次游泳费用为元，不购买学生暑期专享卡，每次游泳的费用按八折优惠，
，
；
选择方案二所需费用更少．理由如下：
由题意可知，，，
当游泳次时，
选择方案一所需费用：元，
选择方案二所需费用：元，
，
选择方案二所需费用更少． 

【解析】把点，代入，得到关于和的二元一次方程组，求解即可；从而可得打折前的每次游泳费用为元；
由打折前的每次游泳费用，再根据方案二每次游泳费用按八折优惠，求出的值即可得到方案二所需费用与游泳次数的函数解析式；
将分别代入、关于的函数解析式，比较即可．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解两种优惠活动方案，求出、关于的函数解析式．
 

22.【答案】为任意实数     

【解析】解：在函数中，自变量的取值范围是为任意实数，
故答案为：为任意实数；
当时，，
当时，，
，，
故答案为：，；
如右图所示；
由函数图象可得，
当时，随的增大而增大．
根据题目中的函数解析式，可知的取值范围；
根据函数解析式可以得到、的值；
根据表格中的数据可以画出相应的函数图象；
根据函数图象可以写出该函数的一条性质，本题答案不唯一．
本题考查一次函数的性质、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，画出相应的函数图象，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】 

【解析】解：，
理由：四边形是正方形，
，，，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
≌，
；
，
理由：设与交于，
由知，≌，
，，
，
，
垂直平分，
，，
，
，，
≌
，
，
故答案为：；
，
理由：延长到，使，
四边形是正方形，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
，
，
≌，
，
，
即．
根据正方形的性质得到，，，根据角平分线的定义得到，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质即可得到；
设与交于，根据全等三角形的性质得到，，推出垂直平分，得到，，根据全等三角形的性质即可得到结论；
延长到，使，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，推出，根据全等三角形的性质即可得到结论．
本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解：联立与的表达式得：，解得：，
点，
由图象得：不等式的解集为；

直线：与轴，轴分别交于点，，直线：与轴，轴分别交于点，，
点、，、，
则，
，
的面积；

设，
，，
，
，
，
如图，当为对角线时，

以点，，，为顶点的四边形是矩形，
，
，
，
舍去或，
，
点，
如图，当为边时，

以点，，，为顶点的四边形是矩形，
，
，
，
，
，
点，
综上所述：点坐标为或． 

【解析】联立与的表达式可得点的坐标，根据图象即可求解；
由的面积，即可求解；
设，分两种情况讨论，由矩形的性质可求解．
本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，两条直线相交或平行问题，勾股定理、矩形的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．