辽宁省沈阳市东北育才学校2021-2022学年高二下学期4月月考数学试题-

这是一份辽宁省沈阳市东北育才学校2021-2022学年高二下学期4月月考数学试题-，共20页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知曲线在点等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前辽宁省沈阳市东北育才学校2021-2022学年高二下学期4月月考数学试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四总分得分     注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分  一、单选题1．等差数列的前项和为，满足：，则（       ）A．72 B．75 C．60 D．1002．已知函数，则（        ）A．2 B．1 C． D．3．已知等比数列的前n项和为，若，，则数列的公比为（       ）A．2或 B．或 C．或2 D．或4．已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为，则（       ）A．， B．，C．， D．，5．设数列{an}的前n项和为Sn，若，则S40＝（       ）A．620 B．630 C．640 D．6506．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则的值为（　　）A．2 020 B．2 019 C．1 D．－17．某企业在2013年年初贷款M万元，年利率为m，从该年年末开始，每年偿还的金额都是a万元，并恰好在10年间还清，则a的值为（       ）A． B． C． D．8．不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（       ）A． B． C． D．评卷人得分  二、多选题9．在等比数列中，，，则下列说法正确的是（       ）．A． B．C． D．10．已知函数，方程有两个不等实根，则下列选项正确的是（       ）A．点是函数的零点 B．，，使C．是的极大值点 D．的取值范围是11．将数列中的各项依次按第一个括号1个数，第二个括号2个数，第三个括号4个数，第四个括号8个数，第五个括号16个数，…，进行排列：（1），（3，5），（7，9，11，13）．（15，17，19，21，23，25，27，29），…，则以下结论中正确的是（       ）A．第10个括号内的第一个数为1023 B．2021在第11个括号内C．前10个括号内一共有1023个数 D．第10个括号内的数字之和12．若，，，，，且，则（       ）A． B．C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分  三、填空题13．设为等差数列的前项和，若，则的值为__________.14．设函数，且，的最小值为_______．15．已知数列：的前项和为，则=___________.16．若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为______评卷人得分  四、解答题17．已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求在闭区间上的最大值和最小值．18．已知是数列的前项和，，___________.①，；②数列为等差数列，且的前项和为.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：(1)求；(2)设，求数列的前项和.19．已知数列中，，，其前n项和为，（，且）．在数列中，，，且当时，，；(1)求数列，的通项公式；(2)记，求数列的前n项和．20．设函数．(1)若，求函数的单调区间；(2)若函数恰有一个零点，求实数的取值范围．21．设数列的前n项和为，且满足(n∈N*).(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前2n项和为，若不等式对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围.22．已知函数，其中且．(1)讨论的单调性；(2)当时，证明：；(3)求证：对任意的且，都有：…．（其中为自然对数的底数）
参考答案：1．B【解析】【分析】由，可得，再利用等差数列的求和公式可求出结果【详解】设等差数列的公差为，则由，得，化简得，所以，故选：B2．C【解析】【分析】根据导数的定义，求得原式为，求出代入求解即可.【详解】，又，∴．故选：C.3．A【解析】【分析】由已知条件，利用等比数列的通项公式和前n项和公式列方程求公比.【详解】设等比数列的公比为q，则，，两式相除得，即，解得或2.故选：A4．D【解析】【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．【详解】解： ，.将代入得.故选：D．5．A【解析】【分析】当n为奇数时，an+2﹣an＝3，可得数列{an}的奇数项构成等差数列，当n为偶数时，从而分奇偶项分别求和即可得出答案.【详解】当n为奇数时，an+2﹣an＝3，故数列{an}的奇数项构成以1为首项，3为公差的等差数列；所以，当n为偶数时，a2+a4＝3，a6+a8＝3，.......a38+a40＝3，所以：a2+a4+a6+a8+...+a38+a40＝10×3＝30；所以S40＝（a1+a3+a5+...+a39）+（a2+a4+a6+...+a40）＝590+30＝620.故选：A.6．D【解析】【分析】对曲线求导，求出导函数，再把点代入导函数中，求出，再利用对数的运算性质化简，即可求出答案.【详解】因为，所以切线方程是，所以，所以故选：D.7．C【解析】【分析】由已知条件和分期付款公式列方程求解即可【详解】由已知条件和分期付款公式，可得，∴．故选：C8．B【解析】【分析】将变为即，构造新函数，利用其单调性得到，继而求得答案.【详解】当时，不等式在上恒成立不会成立，故 ，当 时， ，此时不等式恒成立；不等式在上恒成立,即在上恒成立,而即，设 ，当 时，，故是增函数，则即，故，设，当 时，， 递增，当 时，， 递减，故 ，则 ，综合以上，实数的取值范围是 ，故选：B【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，解答时要注意导数的应用，利用导数判断函数的单调性以及求最值等，解答的关键是对原不等式进行变形，并构造新函数,这一点解题的突破点.9．CD【解析】【分析】根据等比数列的通项公式及等比数列的前项和公式即可求解.【详解】设等比数列的公比，则由题可知，，故AB不正确；，，由，得，即，故C正确;∴．故D正确.故选：CD.10．BCD【解析】【分析】求出函数导数，利用导数求出函数的单调性，画出函数图象，数形结合即可判断每个选项.【详解】解：当时，，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，且；当时，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，且恒成立，画出函数图象如下：对A：由函数图象可得0是函数的零点，故A错误；对B：由图可得，故，，使，故B正确；对C：由图可得是的极大值点，故C正确；对D：方程等价于或，由图可得有1个实数根，所以方程有两个不等实根等价于有1个非零实根，则由图可得或，解得，故D正确.故选：BCD.11．ACD【解析】【分析】由第10个括号内的第一个数为数列的第512项，最后一个数为数列的第1023项即可求解.【详解】解：由题意，第n个括号有个数，对A：前9个括号内一共有个数，所以第10个括号内的第一个数为数列的第512项，所以第10个括号内的第一个数为，故选项A正确；对C：前10个括号内一共有个数，故选项C正确；对B：令，得，所以2021为数列的第1011项，由上面选项A、C分析可得，2021在第10个括号内，故选项B错误；对D：因为第10个括号内的第一个数为，最后一个数为，所以第10个括号内的数字之和，故选项D正确；故选：ACD.12．ACD【解析】【分析】将转化为，将其看作函数的两个函数值，由函数的性质可知要使成立，须或.可判断选项A、B的对错；再由可得，进而可得，即可判断选项C、D的对错.【详解】∵，∴，∴，即.构造函数，则当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，且当时，；又，，要使成立，须，若，则，若，则，故A正确，B错误.由可得，构造函数，则，故函数在上单调递增，即，即∴，∴即，即，故D正确.又∵，，，∴，故C正确.故选：ACD.【点睛】本题的关键是构造函数，将不等式问题转化为函数值的问题，利用函数的单调性来比较大小或求代数式的取值范围.13．【解析】【分析】根据 求出公差, 又 即可求解【详解】设等差数列的公差为,因为,所以所以，又故答案为：14．【解析】【分析】由得原式为，结合换元法可得，，再联立导数公式和基本不等式即可求解【详解】，，，，，当且仅当时取等号，的最小值为．故答案为：．15．【解析】【分析】依题意得到分母为时，一共有个，即可得到这一组的和，求出前组的个数，再利用分组求和及等比数列的求和公式计算可得；【详解】解：因为数列：，则分母为时，一共有个，其和为，则前组一共有个数，令，解得，所以故答案为：16．e【解析】【分析】设公切线与f（x）、g（x）的切点坐标，由导数几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出a后构造函数，利用导数求出函数的单调区间、最值，即可求出实数a的取值范围．【详解】解：设公切线与f（x）＝x2+1的图象切于点（，），与曲线C：g（x）＝切于点（，），∴2，化简可得，2，∴∵2，a，设h（x）（x＞0），则h′（x），∴h（x）在（0，）上递增，在（，+∞）上递减，∴h（x）max＝h（），∴实数a的的最大值为e，故答案为e．【点睛】本题考查了导数的几何意义、斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应用，及方程思想和构造函数法，属于中档题．17．(1)；(2)，.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求处切线的斜率，进而写出切线方程即可.（2）根据导数的符号判断的符号，进而确定在闭区间上的单调性，即可求最值.(1)由，得，则，又切点为，所求切线方程为；(2)令得：，又，所以时，单调递减，时，单调递增，所以，.18．(1)条件选择见解析，(2)【解析】【分析】（1）选①，分析可知数列、均为公差为的等差数列，求出的值，可求得、的表达式，可得出数列的通项公式；选②，求得的值，可得出数列的公差，即可求得，再由可求得数列的通项公式；（2）求得，利用裂项相消法可求得.(1)解：选条件①：，，得，所以，，即数列、均为公差为的等差数列，于是，又，，，所以；选条件②：因为数列为等差数列，且的前项和为，得，所以，所以的公差为，得到，则，当，.又满足，所以，对任意的，.(2)解：因为，所以.19．(1)，(2)【解析】【分析】（1）利用求得，判断数列是等比数列，求得其首项和公比，由此求得.（2）利用错位相减求和法求得.(1)在数列中，①，∵②且，∴①式÷②式得：，∴数列是以为首项，公差为1的等差数列，∴，∴，当时，，当时，，也满足上式，∴数列的通项公式为；当时，，∴数列是等比数列，又∵，，∴公比，∴数列是首项、公比均为2的等比数列，∴其通项公式；(2)由（1）可知，则，，两式相减，得：，∴．20．(1)递增区间为，，递减区间为；(2).【解析】【分析】（1）利用导数研究的符号，即可得的单调区间.（2）讨论、、，结合的极值，要使恰有一个零点，有极大值小于0或极小值大于0，即可求参数范围.(1)由题设，，而，则，由于的关系为：极大值极小值递增 递减 递增 所以的递增区间为，，递减区间为；(2)当时，由（1），极大值，极小值，要使有且仅有一个零点，所以或，解得，所以；当时单调递增，显然有且只有一个零点，符合题意；当时，递增区间为，，递减区间为；极大值，极小值，要使有且仅有一个零点，所以或，解得，所以；综上：.21．(1)；(2).【解析】【分析】（1）根据及等比数列的定义即可求得答案；（2）结合（1）求出，当n为奇数时用裂项法求出奇数项和，当n为偶数时用错位相减法求出偶数项和，最后结合数列的单调性求出答案.(1)由题意， n=1时，， n≥2时，， 所以，即，∴数列是首项为1，公比为3的等比数列，∴ .(2)由（1）,,当n为奇数时，,设数列的前2n项中奇数项的和为，所以,设数列的前2n项中偶数项的和为，所以 , ,两式相减得：，整理得：，故，∴ ，∴不等式对一切n∈N*恒成立，即不等式对一切n∈N*恒成立，易知为递增数列，∴当n为偶数时，，当n为奇数时，，故，所以λ的取值范围为.22．(1)答案见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【解析】【分析】（1）求得，对参数进行分类讨论，即可求得不同情况下函数的单调性；（2）构造函数，利用导数研究函数单调性和最值，即可证明；（3）根据（2）中所求得，结合累加法即可求证结果.(1)函数的定义域为，，①当时，，所以在上单调递增；②当时，令，解得，当时，，所以，所以在上单调递减，当时，，所以，所以在上单调递增. 综上，当时，函数在上调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.(2)当时，，要证明，即证，即，设，则，令得，可得，当时，，当时，．所以，即，故.(3)由（2）可得，（当且仅当时等号成立），令，，则，故…………，即…， 故….【点睛】本题考察利用导数研究含参函数单调性，以及构造函数利用导数证明不等式，以及数列和导数的综合，属综合困难题.