辽宁省东北育才学校2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份辽宁省东北育才学校2024−2025学年高二下学期第一次月考数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设A，B为两个事件，若，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．等差数列中，已知，则的前10项和等于（ ）
A．36B．30C．20D．18
3．已知随机变量的分布列为，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知等比数列的公比为，前项和为.若，，则（ ）
A．3B．4C．5D．7
5．若随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．B．
C．D．
6．已知数列的通项公式为，则取到最小值时的值是（ ）
A．B．C．D．
7．下列说法正确的是（ ）
A．若等比数列的前n项和为，则，，，…也是等比数列
B．常数列既成等差数列又成等比数列
C．“”是“成等比数列”的必要不充分条件
D．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的充分必要条件
8．已知等差数列的公差，且成等比数列，则数列的前2025项和为（ ）
A．B．C．505D．1013
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知随机变量X，且，则（ ）
A．B．若则
C．若，则D．
10．下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ）
A．线性回归方程至少经过点中的一个点
B．两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于1
C．若设直线回归方程为，则当变量增加1个单位时，平均增加2个单位
D．对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是.
11．已知数列的前项和为，则下列说法正确的有（ ）
A．若是等比数列，则
B．若，则
C．若是等差数列， ，若，则
D．若，，则
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知，则 ．
13．袋中有红､黄､蓝三种颜色的小球共10个（其中有5个红球），若从中一次取出3个小球，记恰有1只黄球的概率为，则的最大值为 .
14．已知函数的定义域为，且对任意的非零实数x，y，都有，若，则下面四个结论中：
①；
②数列中不存在大于的项；
③数列为递减数列；
④.
所有正确的结论的序号为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．红铃虫是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关．现收集到一只红铃虫的产卵数（个）和温度的8组观测数据，制成图l所示的散点图，现用两种模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一步得到图2所示的残差图．
根据收集到的数据，计算得到如下值：表中；；；
(1)根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，哪种模型比较合适？
(2)求出关于的回归方程．附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，
16．设某电子元件制造厂有甲、乙、丙、丁4条生产线，现有40个该厂生产的电子元件，其中由甲、乙、丙、丁生产线生产的电子元件分别为5个、10个、10个、15个，且甲、乙、丙、丁生产线生产该电子元件的次品率依次为．
(1)若将这40个电子元件按生产线生产的分成4箱，现从中任取1箱，再从中任取1个电子元件，求取到的电子元件是次品的概率．
(2)若将这40个电子元件装入同一个箱子中，再从这40个电子元件中任取1个电子元件，取到的电子元件是次品，求该电子元件是乙生产线生产的概率．
17．已知数列满足.
（1）求；
（2）若，数列的前n项和为
①求；
②对于任意的，均有恒成立，求m的范围.
18．目前电动车的电池有石墨烯电池与铅酸电池两种，某公司为了了解该市电动车消费者对这两种电池电动车的偏好，随机调查了500名电动车用户，其中男性用户300名，在被调查的女性用户中偏好铅酸电池电动车的占，得到以下的2×2列联表：
(1)根据以上数据，完成2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为该市电动车用户对这两种电池的电动车的偏好与性别有关；
(2)从偏好石墨烯电池电动车的用户中按性别比例用分层随机抽样的方法随机抽取7人进行问卷调查，再从这7名用户中抽取2人进行座谈，在有女性用户参加座谈的条件下，求恰有两名女性用户参加座谈的概率；
(3)用样本的频率估计概率，在该市所有女性电动车用户中随机抽取3名进行新车试驾，记3名参加试驾的女性用户中偏好石墨烯电池电动车的人数为X，求X的分布列.
参考公式：，其中.
参考数据：
19．若各项为正的无穷数列满足:对于，其中为非零常数，则称数列为指形数列;若数列满足:，且时，有，则称数列为凹形数列.
(1)若，判断数列是不是指形数列?若是，证明你的结论，若不是，说明理由;
(2)若，证明指形数列也是凹形数列;
(3)若指形数列是递减数列，令，求使得成立的最小正整数.
参考答案
1．【答案】D
【详解】因为，，
所以.
故选D.
2．【答案】B
【详解】由等差数列得，故，即，
故选B.
3．【答案】C
【详解】由题设，
所以.
故选C.
4．【答案】C
【详解】法一：因为等比数列的公比为，
则，，
所以，解得.
法二：根据等比数列前项和的性质得，，成等比数列，且公比为，
所以，即，解得..
故选C.
5．【答案】C
【详解】因为，所以．
因为，所以，，所以A，D错误；
因为，所以B错误；
因为，所以C正确．
故选C．
6．【答案】B
【详解】，
当时，，单调递减，
此时，；
当时，，单调递减，
此时，，
所以取到最小值时的值是.
故选B.
7．【答案】C
【详解】对于A，考虑数列，其中，则当为偶数时，
，此时，不是等比数列，故A错误；
对于B，考虑数列，其中，则仅是等差数列，不是等比数列，故B错误；
对于C，当成等比数列，则；当，取 ，
则不成等比数列，则“”是“成等比数列”的必要不充分条件，故C正确；
对于D，时，若，则为递减数列；若为递增数列，则，
，则“”是“为递增数列”的即不充分也不必要条件，故D错误.
故选C.
8．【答案】D
【详解】设首项为，因为成等比数列，
所以，则，
解得或，当时，，此时与成等比数列矛盾，故排除，
当时，，此时令，
而其前2025项和为，
.
故选D.
9．【答案】ABD
【详解】由题知，故A正确；
，故B正确；
，故C错误；
由正态分布密度曲线关于对称，
利用对称性知，，
所以，故D正确.
故选ABD.
10．【答案】BCD
【详解】对于A，直线由点拟合而成，可以不经过任何样本点，A错；
对于B，相关系数的绝对值越接近于，表示相关性越强，越接近于，相关性越弱，B正确；
对于C，回归直线方程为，变量x增加1个单位时，平均增加2个单位，故C正确；
对于D，样本点的中心为，所以，，
因为满足线性回归方程，所以，所以，D正确.
故选BCD.
11．【答案】BCD
【详解】对于A，因为是等比数列， 所以成等比数列，
所以，即，解得，故A错误；
对于B，因为，所以，所以是等差数列，
由得，
所以
，故B正确；
对于C，设等差数列的公差为，
因为，所以，故C正确；
对于D， 因为，所以，
所以，又，所以是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，所以，所以，故D正确.
故选BCD.
12．【答案】/
【详解】由概率乘法公式可知，
，
已知，代入上式
则，
解得.
13．【答案】/
【详解】设黄色小球有个，则，
则，
当时，，当时，，
当时，，当时，，
所以的最大值为.
14．【答案】①②④
【详解】因为，所以，
对于①，令，得，得，
令，，得，故①正确；
对于②③，令，，因，
得，
所以数列是以为首项，以1为公差的等差数列，
所以，即，令，
由得，当时，，，
当时，，此时数列是递减数列，
所以的最大值为，
所以数列中不存在大于的项，也不是递减数列，故②正确，③不正确；
对于④，因为，所以，
故数列是以为首项，以为公比的等比数列，
可求得，故④正确．
15．【答案】(1)模型①；
(2)
【详解】（1）模型①更合适．
模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，
所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适．
（2）令与温度x可以用线性回归方程来拟合，则．
于是， ，
因此关于的线性回归方程为，即，
所以产卵数y关于温度x的回归方程为．
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）记“电子元件分别由甲、乙、丙、丁生产线生产”为事件、、、，
“取到的电子元件是次品”为事件，
由题意得，
又，
所以
；
（2）由题意，得，
又，
所以
，
所以，
故若取到的电子元件是次品，则该电子元件是乙生产线生产的概率为．
17．【答案】（1），；（2）①；②．
【解析】（1）由写出时，，相减可得，注意求出检验；
（2）①用错位相减法求；②把不等式变形为恒成立，设，用作差法求出的最大项，可得的范围．
【详解】（1）因为，（i）
所以时，（ii）
（i）－（ii）得．所以，
又时，，适合此式，
所以，；
（2）由（1）知，
①，所以，
两式相减得，
；
②由①不等式恒成立化为恒成立，
设，则，
时，，时，，即数列前4项递增，从第4项开始递减，
所以的最大值是．
所以．
【方法总结】本题考查类似由求的方法，考查错位相减法求和，以及数列的恒成立问题．解题方法如下：
（1）由计算时，，需要另外求解，解法不相同，
（2）设是等差数列，是等比数列，则数列需用错位相减法求和，数列求和还有裂项相消法、分组（并项）求和法、倒序相加法等针对特殊数列的特殊方法；
（3）数列恒成立问题的常用方法是分离参数后转化为求数列的最大项（或最小项），一般可利用作差法（或作商法）研究数列的单调性，得到数列的最大项．
18．【答案】(1)列联表见解析，能
(2)
(3)分布列见解析
【详解】（1）被调查的女性市民人数为，
其中偏好铅酸电池电动车的女性市民人数为.
偏好石墨烯电池电动车的女性市民人数为，
所以2×2列联表为：
零假设：市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别无关，
根据列联表中的数据可以求得
，
由于，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为市民对这两种电池的电动车的偏好与市民的性别有关.
（2）因为偏好石墨烯电池电动车的市民中，男性市民与女性市民的比为，
所以采用分层抽样的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人，
设“有女性市民参加座谈”为事件A，“恰有两名女性市民参加座谈”为事件B，
则，，
所以.
（3）根据频率估计概率知，女性用户中偏好石墨烯电池电动车的概率为，
偏好铅酸电池电动车的概率为，
参加试驾的女性用户中偏好石墨烯电池电动车的人数为X，可能取值为0，1，2，3，
，
，
，
，
故X的分布列如下：
19．【答案】(1)是，证明见解析
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【详解】（1）数列是指形数列.
当时，，
，
即数列是指形数列.
（2）若是指形数列，且，则，
此时数列是以为首项，为公差的等差数列，
，
当，且时，
等号不成立，，即若，
则指形数列也是凹形数列.
（3）若是指形数列，且，则，
此时数列是以为首项，为公差的等差数列，
，.
该指形数列是递减数列，
，即，得，
.
.
，，
，.
令等于不大于的最大正整数，
当时，；
当时，，以上.25
2.9
646
168
422688
50.4
70308
偏好石墨烯电池电动车
偏好铅酸电池电动车
合计
男性用户
200
300
女性用户
合计
500
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
偏好石墨烯电池电动车
偏好铅酸电池电动车
合计
男性市民
200
100
300
女性市民
80
120
200
合计
280
220
500
X
0
1
2
3
P