2021学年2.3 二次函数与一元二次方程、不等式图文课件ppt

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(1)一元二次不等式：一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0.[微思考]不等式x2－y2＞0是一元二次不等式吗？提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．
知识点　一元二次不等式
(2)二次函数的零点：一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点．(3)二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
{x|x＜x1，或x＞x2}　
{x|x1＜x＜x2}　
[微体验]1．不等式(1－x)(3＋x)＞0的解集是(　　)A．{x|－3＜x＜1}　B．{x|x＜－3或x＞1}C．{x|－1＜x＜3}　D．{x|x＜－1或x＞3}答案　A　解析　不等式变为(x－1)(x＋3)＜0，解得－3＜x＜1.]2．不等式x2－2x－5＞2x的解集是________．解析　由x2－2x－5＞2x，得x2－4x－5＞0，因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，故x2－4x－5＞0的解集为{x|x＜－1或x＞5}．答案　{x|x＞5或x＜－1}
3．不等式－3x2＋5x－4＞0的解集为________. 解析　原不等式变形为3x2－5x＋4＜0. 因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23＜0，所以3x2－5x＋4＝0无解．由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4＜0的解集为∅.答案　∅
求不等式4x2－4x＋1＞0的解集．
探究一　一元二次不等式的解法
[变式探究]　将本例不等式变为：－x2＋2x－3＞0，求解此不等式的解集．解　不等式可化为x2－2x＋3＜0.因为Δ＝(－2)2－4×3＝－8＜0，方程x2－2x＋3＝0无实数解，而y＝x2－2x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集是∅.
[方法总结]解一元二次不等式的一般步骤：第一步，将一元二次不等式化为一端为0的形式(习惯上二次项系数大于0)．第二步，求出相应一元二次方程的根，或判断出方程没有实根．第三步，画出相应二次函数示意草图，方程有根的将根标在图中．第四步，观察图象中位于x轴上方或下方的部分，对比不等式中不等号的方向，写出解集．
[跟踪训练1]　求下列一元二次不等式的解集．(1)x2－5x＞6；(2)－x2＋7x＞6.解　(1)由x2－5x＞6，得x2－5x－6＞0.∵x2－5x－6＝0的两根是x＝－1或6，∴原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞6}．(2)由－x2＋7x＞6，得x2－7x＋6＜0.∵x2－7x＋6＝0的两个根是x＝1或6，∴不等式x2－7x＋6＜0的解集为{x|1＜x＜6}．
已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，试求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．
探究二　二次函数与一元二次方程、不等式间的关系
[方法总结]应用三个“二次”之间的关系解题的思想一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，即给出了一元二次不等式的解集，则可知不等式二次项系数的符号和相应一元二次方程的根．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．
[跟踪训练2]　已知不等式ax2－bx＋2＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值．
某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．
探究三　一元二次不等式的实际应用问题
[方法总结]一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．
[跟踪训练3]　在一个限速40 km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m. 又知甲、乙两种车型的刹车距离S m与车速x km/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2. 问谁超速行驶应负主要责任．解　由题意列出不等式S甲＝0.1x甲＋0.01x ＞12，解得x甲＜－40或x甲＞30，S乙＝0.05x乙＋0.005x＞10.解得x乙＜－50或x乙＞40.由于x＞0，从而得x甲＞30 km/h，x乙＞40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．
1．解一元二次不等式的常见方法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．2．一元二次不等式解集的记忆方法(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)与ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集的记忆口诀：大于取两边，小于取中间．(2)当一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0与ax2＋bx＋c＜0的二次项系数a＜0时，可以转化为a＞0.
3．解一元二次不等式应用题解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，选择其中起关键作用的未知量为x，用x来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解．