高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第2讲函数的定义域值域学案

第二讲　函数的定义域、值域

知识梳理·双基自测

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理

知识点一　函数的定义域

函数y＝f(x)的定义域

1．求定义域的步骤：

(1)写出使函数式有意义的不等式(组)；

(2)解不等式(组)；

(3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)

2．求函数定义域的主要依据

(1)整式函数的定义域为R.

(2)分式函数中分母不等于0．

(3)偶次根式函数被开方式大于或等于0．

(4)一次函数、二次函数的定义域均为R．

(5)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}．

(6)指数函数的定义域为R．

(7)对数函数的定义域为(0，＋∞)．

知识点二　函数的值域

基本初等函数的值域：

1．y＝kx＋b(k≠0)的值域是R．

2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为；当a<0时，值域为．

3．y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}．

4．y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)．

5．y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R．

重要结论

1．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．

3．函数f(x)与f(x＋a)(a为常数a≠0)的值域相同．

双基自测

题组一　走出误区

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(　×　)

(2)函数y＝定义域为x>1.(　×　)

(3)函数y＝f(x)定义域为[－1，2]，则y＝f(x)＋f(－x)定义域为[－1，1]．(　√　)

(4)函数y＝log2(x2＋x＋a)的值域为R，则a的取值范围为.(　√　)

(5)求函数y＝的值域时有以下四种解法．判断哪种解法是正确的．

[解法一](不等式法)：y＝＝＋≥2，∴值域为[2，＋∞)．(　×　)

[解法二](判别式法)：设＝t(t≥)，则y＝t＋，即t2－ty＋1＝0，∵t∈R，∴Δ＝y2－4≥0，∴y≥2或y≤－2(舍去)．(　×　)

[解法三](配方法)：令＝t(t≥)，则y＝t＋＝＋2≥2.(　×　)

[解法四](单调性法)：易证y＝t＋在t≥时是增函数，所以t＝时，ymin＝，故y∈.(　√　)

[解析]　(4)y＝log2(x2＋x＋a)值域为R应满足Δ≥0，即1－4a≥0，∴a≤.

题组二　走进教材

2．(必修1P17例1改编)函数f(x)＝＋的定义域为(　C　)

A．[0，2)  B．(2，＋∞)

C．[0，2)∪(2，＋∞)  D．(－∞，2)∪(2，＋∞)

[解析]　使函数有意义满足，解得x≥0且x≠2，故选C．

3．(必修1P32T5改编)函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为(　B　)

A．f，f  B．f(0)，f

C．f，f(0)  D．f(0)，f(3)

4．(必修1P39BT1改编)已知函数f(x)＝x＋，x∈[2，4]的值域为．

[解析]　当x＝3时取得最小值6，当x＝2取得最大值，值域为.

题组三　走向高考

5．(2020·北京，11，5分)函数f(x)＝＋ln x的定义域是(0，＋∞)．

[解析]　要使函数f(x)有意义，则故x>0，因此函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

6．(2016·北京，5分)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为2．

[解析]　解法一：(分离常数法)f(x)＝＝＝1＋，∴x≥2，∴x－1≥1，0<≤1，∴1＋∈(1，2]，故当x＝2时，函数f(x)＝取得最大值2.

解法二：(反解法)令y＝，∴xy－y＝x，∴x＝.∵x≥2，∴≥2，∴－2＝≥0，解得1<y≤2，故函数f(x)的最大值为2.

解法三：(导数法)∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝<0，∴函数f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故当x＝2时，函数f(x)＝取得最大值2.

考点突破·互动探究

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

考点一 求函数的定义域——多维探究

角度1　求具体函数的定义域

例1　(1)(2021·长春质检)函数y＝＋的定义域是(　D　)

A．[－1，0)∪(0，1)  B．[－1，0)∪(0，1]

C．(－1，0)∪(0，1]  D．(－1，0)∪(0，1)

(2)(2021·宣城八校联考期末)函数y＝的定义域为(　B　)

A．(－1，3]  B．(－1，0)∪(0，3]

C．[－1，3]  D．[－1，0)∪(0，3]

[解析]　(1)由题意得解得－1<x<0或0<x<1.所以原函数的定义域为(－1，0)∪(0，1)．

(2)要使函数有意义，x需满足

解得－1<x<0或0<x≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]．

角度2　求抽象函数的定义域

例2　已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　B　)

A．(－1，1)  B．

C．(－1，0)  D．

[解析]　由函数f(x)的定义域为(－1，0)，则使函数f(2x＋1)有意义，需满足－1<2x＋1<0，解得－1<x<－，即所求函数的定义域为.

[引申1]若将本例中f(x)与f(2x＋1)互换，结果如何？

[解析]　f(2x＋1)的定义域为(－1，0)，即－1<x<0，

∴－1<2x＋1<1，∴f(x)的定义域为(－1，1)．

[引申2]若将本例中f(x)改为f(2x－1)定义域改为[0，1]，求y＝f(2x＋1)的定义域，又该怎么办？

[解析]　∵y＝f(2x－1)定义域为[0，1]．

∴－1≤2x－1≤1，要使y＝f(2x＋1)有意义应满足－1≤2x＋1≤1，解得－1≤x≤0，

因此y＝f(2x＋1)定义域为[－1，0]．

名师点拨　　　　　MING SHI DIAN BO

函数定义域的求解策略

(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．

(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．

(3)抽象函数：

①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；

②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

〔变式训练1〕

(1)(角度1)函数f(x)＝＋的定义域为(　B　)

A．[－2，0)∪(0，2]  B．(－1，0)∪(0，2]

C．[－2，2]  D．(－1，2]

(2)(角度1)(2021·安徽芜湖检测)如果函数f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a的值为(　D　)

A．－2  B．－1

C．1  D．2

(3)(角度2)已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为[－1，2]．

[解析]　(1)由得－1<x≤2，且x≠0.故选B．

(2)因为－2x＋a>0，所以x<，所以＝1，得a＝2.故选D．

(3)因为y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，所以x∈[－，]，x2－1∈[－1，2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1，2]．

考点二,求函数的值域——师生共研　　

例3　求下列函数的值域．

(1)y＝；

(2)y＝；

(3)y＝；

(4)y＝x－；

(5)y＝x＋；

(6)y＝|x＋1|＋|x－2|.

[解析]　(1)解法一：分离常数法：

y＝＝－1＋，

∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1，∴0<≤2.

∴－1<－1＋≤1.即函数值域为(－1，1]．

解法二：反解法：

由y＝，得|x|＝.

∵|x|≥0，∴≥0，∴－1<y≤1，即函数值域(－1，1]．

(2)解法一：配方法：y＝，

∴0≤y≤，∴值域为.

解法二：复合函数法：

y＝，t＝－2x2＋x＋3，

由t＝－2x2＋x＋3，解得t≤，

又∵y＝有意义，∴0≤t≤，

∴0≤y≤，∴值域为.

(3)y＝＝x＋＋1

解法一：基本不等式法

由y＝x＋＋1(x≠0)，得y－1＝x＋.

∵＝|x|＋≥2＝2，

∴|y－1|≥2，即y≤－1或y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)

解法二：判别式法

由y＝，得x2＋(1－y)x＋1＝0.

∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.

即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2或y－1≥2.

得y≤－1或y≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

解法三：导数法(单调性法)

令y′＝1－＝<0，

得－1<x<0或0<x<1.

∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；

函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，此时y≤－1.

∴y≤－1或y≥3.

即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

(4)解法一：换元法

设＝t(t≥0)，得x＝，

∴y＝－t＝－(t＋1)2＋1≤(t≥0)，

∴y∈.即函数的值域为.

解法二：单调性法

∵1－2x≥0，∴x≤，∴定义域为.又∵函数y＝x，y＝－在上均单调递增，∴y≤－＝，∴y∈.

(5)三角换元法：

设x＝sin θ，θ∈，

y＝sin θ＋cos θ＝sin，

∵θ∈，∴θ＋∈，

∴sin∈，∴y∈[－1，]．

(6)解法一：绝对值不等式法：

由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，

所以函数值域为[3，＋∞)．

解法二：数形结合法：

y＝

画出此分段函数的图象如图，可知值域为[3，＋∞)．

名师点拨　　　　　MING SHI DIAN BO

求函数值域的一般方法

(1)分离常数法：形如y＝(a≠0)的函数；如例3(1)．

(2)反解法：形如y＝(a≠0，f(x)值域易求)的函数；如例3(1)．

(3)配方法：形如y＝af2(x)＋bf(x)＋c(a≠0)的函数；如例3(2)．

(4)不等式法；如例3(3)．

(5)单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进而确定值域．

(6)换元法：形如y＝ax＋b±(c≠0)的函数；如例3(4)；形如y＝ax＋b±(c≠0)的函数采用三角换元，如例3(5)．

(7)数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如例3(6)．

(8)导数法．

〔变式训练2〕

求下列函数的值域：

(1)y＝；

(2)y＝x＋4；

(3)y＝.

[解析]　(1)解法一：y＝＝－1＋，

因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<≤2.

所以－1<－1＋≤1.

即函数的值域为(－1，1]．

解法二：由y＝，得x2＝.

因为x2≥0，所以≥0.

所以－1<y≤1，即函数的值域为(－1，1]．

(2)设t＝，t≥0，则x＝1－t2，

所以原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋5(t≥0)，

所以y≤5，

所以原函数的值域为(－∞，5]．

(3)y＝＝

＝x＋＝x－＋＋，

因为x>，所以x－>0，

所以x－＋≥2＝，

当且仅当x－＝，即x＝时取等号．

所以y≥＋，即原函数的值域为.

导数法：y′＝，

∴y在递减，在递增，

∴y≥＋.

名师讲坛·素养提升

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

已知函数的定义域或值域求参数的取值范围

例4　已知函数f(x)＝lg [(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]．

(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；

(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．

[分析]　 (1)由f(x)的定义域为R知(a2－1)x2＋(a＋1)·x＋1>0的解集为R，即(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0恒成立；

(2)由f(x)的值域为R知(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1能取所有正数，即y＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1图象的开口向上且与x轴必有交点．

[解析]　(1)依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0，

对一切x∈R恒成立，当a2－1≠0时，其充要条件是即

∴a<－1或a>.又a＝－1时，f(x)＝1>0，满足题意．

∴a≤－1或a>.

(2)依题意，只要t＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f(x)的值域为R，故有a2－1>0，Δ≥0，解得－1≤a≤，又当a2－1＝0，即a＝1时，t＝2x＋1符合题意；a＝－1时不合题意，∴－1<a≤.

名师点拨　　　　　MING SHI DIAN BO

已知函数的定义域，等于是知道了x的范围，(1)当定义域不是R时，往往转化为解集问题，进而转化为与之对应的方程解的问题，此时常利用代入法或待定系数法求解；(2)当定义域为R时，往往转化为恒成立的问题，常常结合图形或利用最值求解．

〔变式训练3〕

　(1)已知函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围为[0，1]．

(2)(2021·甘肃天水三中阶段测试)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则实数m的取值范围是(　C　)

A．(0，4]  B．

C．  D．

[解析]　(1)①当m＝0时，y＝，其定义域为R.

②当m≠0时，由定义域为R可知，

mx2－6mx＋m＋8≥0对一切实数x均成立，

于是有

解得0<m≤1，

∴m的取值范围是[0，1]．

(2)由x2－3x－4＝－得x＝；由x2－3x－4＝－4，得x＝0或x＝3，又函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，∴≤m≤3.

另：由y＝x2－3x－4＝－，∴≤m≤3.