（山东专用）2021版高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用第二讲函数的定义域、值域学案（含解析）

第二讲　函数的定义域、值域

ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE

知识梳理·双基自测

知识点一　函数的定义域

函数y＝f(x)的定义域

1．求定义域的步骤：

(1)写出使函数式有意义的不等式(组)；

(2)解不等式(组)；

(3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)

2．求函数定义域的主要依据

(1)整式函数的定义域为R.

(2)分式函数中分母不等于0.

(3)偶次根式函数被开方式大于或等于0.

(4)一次函数、二次函数的定义域均为R.

(5)函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}.

(6)指数函数的定义域为R.

(7)对数函数的定义域为(0，＋∞).

知识点二　函数的值域

基本初等函数的值域：

1．y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.

2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为{y|y≥}；当a<0时，值域为{y|y≤}.

3．y＝(k≠0)的值域是{y|y≠0}.

4．y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞).

5．y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R.

1．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.

3．函数f(x)与f(x＋a)(a为常数a≠0)的值域相同．

题组一　走出误区

1．(多选题)下列结论正确的是(　CD　)

A．若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等

B．函数y＝定义域为x>1

C．函数y＝f(x)定义域为[－1,2]，则y＝f(x)＋f(－x)定义域为[－1,1]

D．函数y＝log2(x2＋x＋a)的值域为R，则a的取值范围为(－∞，]

题组二　走进教材

2．(必修1P17例1改编)函数f(x)＝＋的定义域为(　C　)

A．[0,2)  B．(2，＋∞)

C．[0,2)∪(2，＋∞)  D．(－∞，2)∪(2，＋∞)

[解析]　使函数有意义满足，解得x≥0且x≠2，故选C．

3．(必修1P32T5改编)函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为(　B　)

A．f()，f(－)

B．f(0)，f()

C．f(－)，f(0)

D．f(0)，f(3)

4．(必修1P39BT1改编)已知函数f(x)＝x＋，x∈[2,4]的值域为[6，].

[解析]　当x＝3时取得最小值6，当x＝2取得最大值，值域为[6，]．

题组三　考题再现

5．(2018·江苏，5分)函数f(x)＝的定义域为[2，＋∞).

[解析]　要使函数f(x)有意义，则log2x－1≥0，即x≥2.则函数f(x)的定义域是[2，＋∞)．

6．(2016·北京，5分)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为2.

[解析]　解法一：(分离常数法)f(x)＝＝＝1＋，∴x≥2，∴x－1≥1,0<≤1，∴1＋∈(1,2]，故当x＝2时，函数f(x)＝取得最大值2.

解法二：(反解法)令y＝，∴xy－y＝x，∴x＝.∵x≥2，∴≥2，∴－2＝≥0，解得1<y≤2，故函数f(x)的最大值为2.

解法三：(导数法)∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝<0，∴函数f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故当x＝2时，函数f(x)＝取得最大值2.

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU

考点突破·互动探究

考点一　求函数的定义域——多维探究

角度1　求具体函数的定义域

例1 (1)(2015·湖北，5分)函数f(x)＝＋lg 的定义域为(　C　)

A．(2,3)  B．(2,4]

C．(2,3)∪(3,4]  D．(－1,3)∪(3,6]

(2)(2020·衡中调研卷)函数y＝＋(2x－5)0的定义域为(2，)∪(，3).

[解析]　(1)依题意知，

即即函数的定义域为(2,3)∪(3,4]．

(2)使函数有意义满足，解得2<x<3且x≠，定义域为(2，)∪(，3)．

角度2　求抽象函数的定义域

例2 已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　B　)

A．(－1,1)  B．(－1，－)

C．(－1,0)  D．(，1)

[分析]　求抽象函数定义域的关键，f后面括号内部分取值范围相同．

[解析]　由函数f(x)的定义域为(－1,0)，则使函数f(2x＋1)有意义，需满足－1<2x＋1<0，解得－1<x<－，即所求函数的定义域为(－1，－)．

[引申1]若将本例中f(x)与f(2x＋1)互换，结果如何？

[解析]　f(2x＋1)的定义域为(－1,0)，即－1<x<0，∴－1<2x＋1<1，∴f(x)的定义域为(－1,1)．

[引申2]若将本例中f(x)改为f(2x－1)定义域改为[0,1]，求y＝f(2x＋1)的定义域，又该怎么办？

[解析]　∵y＝f(2x－1)定义域为[0,1]．

∴－1≤2x－1≤1，要使y＝f(2x＋1)有意义应满足－1≤2x＋1≤1，解得－1≤x≤0，

因此y＝f(2x＋1)定义域为[－1,0]．

名师点拨 ☞

函数定义域的求解策略

(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．

(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．

(3)抽象函数：

①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；

②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

〔变式训练1〕

(1)(角度1)(2020·安徽宣城八校联考)函数y＝的定义域为(　B　)

A．(－1,3]  B．(－1,0)∪(0,3]

C．[－1,3]  D．[－1,0)∪(0,3]

(2)(角度1)(2020·安徽芜湖检测)如果函数f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a的值为(　D　)

A．－2  B．－1

C．1  D．2

(3)(角度2)(2020·广东华南师大附中月考)已知函数f(x)的定义域是[－1,1]，则函数g(x)＝的定义域是(　B　)

A．[0,1]  B．(0,1)

C．[0,1)  D．(0,1]

[解析]　(1)由已知得

解得x∈(－1,0)∪(0,3]．故选B．

(2)因为－2x＋a>0，所以x<，所以＝1，得a＝2.故选D．

(3)由题意，函数f(x)的定义域为[－1,1]，即－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1.又g(x)满足1－x>0且1－x≠1，解得x<1且x≠0，所以函数g(x)的定义域为(0,1)，故选B．

考点二　求函数的值域——师生共研

例3 求下列函数的值域．

(1)y＝；

(2)y＝；

(3)y＝；

(4)y＝x－；

(5)y＝x＋；

(6)y＝|x＋1|＋|x－2|.

[解析]　(1)解法一：分离常数法：

y＝＝－1＋，

∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1，∴0<≤2.

∴－1<－1＋≤1.

即函数值域为(－1,1]．

解法二：反解法：

由y＝，得|x|＝.

∵|x|≥0，∴≥0，∴－1<y≤1，即函数值域(－1,1]．

(2)解法一：配方法：y＝，

∴0≤y≤，∴值域为[0，]．

解法二：复合函数法：

y＝，t＝－2x2＋x＋3，

由t＝－2x2＋x＋3，解得t≤，

又∵y＝有意义，∴0≤t≤，

∴0≤y≤，

∴值域为[0，]．

(3)y＝＝x＋＋1

解法一：基本不等式法

由y＝x＋＋1(x≠0)，得y－1＝x＋.

∵|x＋|＝|x|＋||≥2＝2，

∴|y－1|≥2，即y≤－1或y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)

解法二：判别式法

由y＝，得x2＋(1－y)x＋1＝0.

∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.

即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2或y－1≥2.

得y≤－1或y≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)

解法三：导数法(单调性法)

令y′＝1－＝<0，

得－1<x<0或0<x<1.

∴函数在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；

函数在(－1,0)上递减，在(－∞，－1)上递增，此时y≤－1.

∴y≤－1或y≥3.

即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．

(4)解法一：换元法

设＝t(t≥0)，得x＝，

∴y＝－t＝－(t＋1)2＋1≤(t≥0)，

∴y∈(－∞，]．即函数的值域为(－∞，]．

解法二：单调性法

∵1－2x≥0，∴x≤，∴定义域为(－∞，]．又∵函数y＝x，y＝－在(－∞，)上均单调递增，∴y≤－＝，∴y∈(－∞，]．

(5)三角换元法：

设x＝sin θ，θ∈[－，]，

y＝sin θ＋cos θ＝－sin(θ＋)，

∵θ∈[－，]，∴θ＋∈[－，]，

∴sin θ∈[－，1]∴y∈[－1，]．

(6)解法一：绝对值不等式法：

由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，

所以函数值域为[3，＋∞)．

解法二：数形结合法：

y＝

画出此分段函数的图象如图，可知值域为[3，＋∞)．

名师点拨 ☞

求函数值域的一般方法

(1)分离常数法：形如y＝(a≠0)的函数；如例3(1)．

(2)反解法：形如y＝(a≠0，f(x)值域易求)的函数；如例3(1)．

(3)配方法：形如y＝af2(x)＋bf(x)＋c(a≠0)的函数；如例3(2)．

(4)不等式法；如例3(3)．

(5)单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进而确定值域．

(6)换元法：形如y＝ax＋b±(c≠0)的函数；如例3(4)；形如y＝ax＋b±(c≠0)的函数采用三角换元，如例3(5)．

(7)数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如例3(6)．

(8)导数法．

〔变式训练2〕

求下列函数的值域．

(1)y＝()x2－2x；

(2)y＝2x＋；

(3)y＝(x>1)．

[解析]　(1)令x2－2x＝t，∵x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴t≥－1，又y＝()t在[－1，＋∞)上单调递减，∴0<y≤()－1＝4，∴0<y≤4.

∴函数f(x)＝()x2－2x的值域为(0,4]．

(2)解法一：单调性法：

定义域为{x|x≥－1}，函数y＝2x，y＝均在[－1，＋∞)上递增，故y≥2×(－1)＋＝－2.

解法二：换元法：

令＝t，则t≥0，且x＝t2－1.

∴y＝2t2＋t－2＝2(t＋)2－≥－2(t≥0)．

∴函数值域为[－2，＋∞)．

(3)令x－1＝t，则x＝t＋1(t>0)，

∴y＝＝＝

∵t＋≥4(t＝2时取等号)

∴t＋＋3≥7，∴0<y≤

∴函数y＝的值域为(0，]．

MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG

名师讲坛·素养提升

已知函数的定义域或值域求参数的取值范围

例4 已知函数f(x)＝lg[(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]．

(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；

(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．

[分析]　 (1)由f(x)的定义域为R知(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0的解集为R，即(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0恒成立；

(2)由f(x)的值域为R知(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1能取所有正数，即y＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1图象的开口向上且与x轴必有交点．

[解析]　(1)依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0，

对一切x∈R恒成立，当a2－1≠0时，其充要条件是即

∴a<－1或a>.又a＝－1时，f(x)＝1>0，满足题意．

∴a≤－1或a>.

(2)依题意，只要t＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f(x)的值域为R，故有a2－1>0，Δ≥0，解得1<a≤，又当a2－1＝0，即a＝1时，t＝2x＋1符合题意；a＝－1时不合题意，∴1≤a≤.

名师点拨 ☞

已知函数的定义域，等于是知道了x的范围，(1)当定义域不是R时，往往转化为解集问题，进而转化为与之对应的方程解的问题，此时常利用代入法或待定系数法求解；(2)当定义域为R时，往往转化为恒成立的问题，常常结合图形或利用最值求解．

〔变式训练3〕

　(1)已知函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围为[0,1].

(2)(2020·甘肃天水三中阶段测试)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，则实数m的取值范围是(　C　)

A．(0,4]  B．[，4]

C．[，3]  D．[，＋∞)

[解析]　(1)①当m＝0时，y＝，其定义域为R.

②当m≠0时，由定义域为R可知，

mx2－6mx＋m＋8≥0对一切实数x均成立，

于是有

解得0<m≤1，

∴m的取值范围是[0,1]．

(2)由x2－3x－4＝－得x＝；由x2－3x－4＝－4，得x＝0或x＝3，又函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为[－，－4]，∴≤m≤3.