2022版高考人教版数学一轮学案：第二章第二讲　函数的定义域、值域

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第二讲　函数的定义域、值域

知识梳理·双基自测

知识点一　函数的定义域
函数y＝f(x)的定义域

1．求定义域的步骤：
(1)写出使函数式有意义的不等式(组)；
(2)解不等式(组)；
(3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)
2．求函数定义域的主要依据
(1)整式函数的定义域为R.
(2)分式函数中分母__不等于0__.
(3)偶次根式函数被开方式__大于或等于0__.
(4)一次函数、二次函数的定义域均为__R__.
(5)函数f(x)＝x0的定义域为__{x|x≠0}__.
(6)指数函数的定义域为__R__.
(7)对数函数的定义域为__(0，＋∞)__.
知识点二　函数的值域
基本初等函数的值域：
1．y＝kx＋b(k≠0)的值域是__R__.
2．y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为____；当a<0时，值域为____.
3．y＝(k≠0)的值域是__{y|y≠0}__.
4．y＝ax(a>0且a≠1)的值域是__(0，＋∞)__.
5．y＝logax(a>0且a≠1)的值域是__R__.

1．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．
2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的__并集__.
3．函数f(x)与f(x＋a)(a为常数a≠0)的值域相同．

题组一　走出误区
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(　×　)
(2)函数y＝定义域为x>1.(　×　)
(3)函数y＝f(x)定义域为[－1,2]，则y＝f(x)＋f(－x)定义域为[－1,1]．(　√　)
(4)函数y＝log2(x2＋x＋a)的值域为R，则a的取值范围为.(　√　)
(5)求函数y＝的值域时有以下四种解法．判断哪种解法是正确的．
[解法一](不等式法)：y＝＝＋≥2，∴值域为[2，＋∞)．(　×　)
[解法二](判别式法)：设＝t(t≥)，则y＝t＋，即t2－ty＋1＝0，∵t∈R，∴Δ＝y2－4≥0，∴y≥2或y≤－2(舍去)．(　×　)
[解法三](配方法)：令＝t(t≥)，则y＝t＋＝2＋2≥2.(　×　)
[解法四](单调性法)：易证y＝t＋在t≥时是增函数，所以t＝时，ymin＝，故y∈.(　√　)
[解析]　(4)y＝log2(x2＋x＋a)值域为R应满足Δ≥0，即1－4a≥0，∴a≤.
题组二　走进教材
2．(必修1P17例1改编)函数f(x)＝＋的定义域为(　C　)
A．[0,2) B．(2，＋∞)
C．[0,2)∪(2，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞)
[解析]　使函数有意义满足，解得x≥0且x≠2，故选C．
3．(必修1P32T5改编)函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为(　B　)

A．f，f B．f(0)，f
C．f，f(0) D．f(0)，f(3)
4．(必修1P39BT1改编)已知函数f(x)＝x＋，x∈[2,4]的值域为____.
[解析]　当x＝3时取得最小值6，当x＝2取得最大值，值域为.
题组三　走向高考
5．(2020·北京，11,5分)函数f(x)＝＋ln x的定义域是__(0，＋∞)__.
[解析]　要使函数f(x)有意义，则故x>0，因此函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．
6．(2016·北京，5分)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为__2__.
[解析]　解法一：(分离常数法)f(x)＝＝＝1＋，∴x≥2，∴x－1≥1,0<≤1，∴1＋∈(1,2]，故当x＝2时，函数f(x)＝取得最大值2.
解法二：(反解法)令y＝，∴xy－y＝x，∴x＝.∵x≥2，∴≥2，∴－2＝≥0，解得1 解法三：(导数法)∵f(x)＝，∴f′(x)＝＝<0，∴函数f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故当x＝2时，函数f(x)＝取得最大值2.

考点突破·互动探究
考点一　求函数的定义域——多维探究
角度1　求具体函数的定义域
例1 (1)(2021·长春质检)函数y＝＋的定义域是(　D　)
A．[－1,0)∪(0,1) B．[－1,0)∪(0,1]
C．(－1,0)∪(0,1] D．(－1,0)∪(0,1)
(2)(2021·宣城八校联考期末)函数y＝的定义域为(　B　)
A．(－1,3] B．(－1,0)∪(0,3]
C．[－1,3] D．[－1,0)∪(0,3]
[解析]　(1)由题意得解得－1 (2)要使函数有意义，x需满足
解得－1 角度2　求抽象函数的定义域
例2 已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　B　)
A．(－1,1) B．
C．(－1,0) D．
[分析]　求抽象函数定义域的关键，f后面括号内部分取值范围相同．
[解析]　由函数f(x)的定义域为(－1,0)，则使函数f(2x＋1)有意义，需满足－1<2x＋1<0，解得－1 [引申1]若将本例中f(x)与f(2x＋1)互换，结果如何？
[解析]　f(2x＋1)的定义域为(－1,0)，即－1 ∴－1<2x＋1<1，∴f(x)的定义域为(－1,1)．
[引申2]若将本例中f(x)改为f(2x－1)定义域改为[0,1]，求y＝f(2x＋1)的定义域，又该怎么办？
[解析]　∵y＝f(2x－1)定义域为[0,1]．
∴－1≤2x－1≤1，要使y＝f(2x＋1)有意义应满足－1≤2x＋1≤1，解得－1≤x≤0，
因此y＝f(2x＋1)定义域为[－1,0]．

名师点拨
函数定义域的求解策略
(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．
(3)抽象函数：
①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
〔变式训练1〕
(1)(角度1)函数f(x)＝＋的定义域为(　B　)
A．[－2,0)∪(0,2] B．(－1,0)∪(0,2]
C．[－2,2] D．(－1,2]
(2)(角度1)(2021·安徽芜湖检测)如果函数f(x)＝ln(－2x＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a的值为(　D　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
(3)(角度2)已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，则函数y＝f(x)的定义域为__[－1,2]__.
[解析]　(1)由得－1 (2)因为－2x＋a>0，所以x<，所以＝1，得a＝2.故选D．
(3)因为y＝f(x2－1)的定义域为[－，]，所以x∈[－，]，x2－1∈[－1,2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1,2]．
考点二　求函数的值域——师生共研
例3 求下列函数的值域．
(1)y＝；
(2)y＝；
(3)y＝；
(4)y＝x－；
(5)y＝x＋；
(6)y＝|x＋1|＋|x－2|.
[解析]　(1)解法一：分离常数法：
y＝＝－1＋，
∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1，∴0<≤2.
∴－1<－1＋≤1.
即函数值域为(－1,1]．
解法二：反解法：
由y＝，得|x|＝.
∵|x|≥0，∴≥0，∴－1 (2)解法一：配方法：y＝，
∴0≤y≤，∴值域为.
解法二：复合函数法：
y＝，t＝－2x2＋x＋3，
由t＝－2x2＋x＋3，解得t≤，
又∵y＝有意义，∴0≤t≤，
∴0≤y≤，∴值域为.
(3)y＝＝x＋＋1
解法一：基本不等式法
由y＝x＋＋1(x≠0)，得y－1＝x＋.
∵＝|x|＋≥2＝2，
∴|y－1|≥2，即y≤－1或y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解法二：判别式法
由y＝，得x2＋(1－y)x＋1＝0.
∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.
即(y－1)2≥4，∴y－1≤－2或y－1≥2.
得y≤－1或y≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解法三：导数法(单调性法)
令y′＝1－＝<0，
得－1 ∴函数在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；
函数在(－1,0)上递减，在(－∞，－1)上递增，此时y≤－1.
∴y≤－1或y≥3.
即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
(4)解法一：换元法
设＝t(t≥0)，得x＝，
∴y＝－t＝－(t＋1)2＋1≤(t≥0)，
∴y∈.即函数的值域为.
解法二：单调性法
∵1－2x≥0，∴x≤，∴定义域为.又∵函数y＝x，y＝－在上均单调递增，∴y≤－＝，∴y∈.
(5)三角换元法：
设x＝sin θ，θ∈，
y＝sin θ＋cos θ＝sin，
∵θ∈，∴θ＋∈，
∴sin(θ＋)∈，∴y∈[－1，]．
(6)解法一：绝对值不等式法：
由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
所以函数值域为[3，＋∞)．
解法二：数形结合法：

y＝
画出此分段函数的图象如图，可知值域为[3，＋∞)．

名师点拨
求函数值域的一般方法
(1)分离常数法：形如y＝(a≠0)的函数；如例3(1)．
(2)反解法：形如y＝(a≠0，f(x)值域易求)的函数；如例3(1)．
(3)配方法：形如y＝af2(x)＋bf(x)＋c(a≠0)的函数；如例3(2)．
(4)不等式法；如例3(3)．
(5)单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进而确定值域．
(6)换元法：形如y＝ax＋b±(c≠0)的函数；如例3(4)；形如y＝ax＋b±(c≠0)的函数采用三角换元，如例3(5)．
(7)数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如例3(6)．
(8)导数法．
〔变式训练2〕
(理)求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝x＋4；
(3)y＝.
(文)函数y＝(x>1)的值域为__[2＋4，＋∞)__.
[解析]　(理)(1)解法一：y＝＝－1＋，
因为x2≥0，所以x2＋1≥1，所以0<≤2.
所以－1<－1＋≤1.
即函数的值域为(－1,1]．
解法二：由y＝，得x2＝.
因为x2≥0，所以≥0.
所以－1 (2)设t＝，t≥0，则x＝1－t2，
所以原函数可化为y＝1－t2＋4t＝－(t－2)2＋5(t≥0)，
所以y≤5，
所以原函数的值域为(－∞，5]．
(3)y＝＝
＝x＋＝x－＋＋，
因为x>，所以x－>0，
所以x－＋≥2＝，
当且仅当x－＝，即x＝时取等号．
所以y≥＋，即原函数的值域为.
导数法：y′＝，
∴y在递减，在递增，
∴y≥＋.
(文)∵换元法：
令x－1＝t>0，∴x＝t＋1.
∴y＝＝＝t＋＋4≥2＋4，当且仅当“t＝”时等号成立．
即t＝时，取最小值2＋4.
∴函数y＝(x>1)的值域为[2＋4，＋∞)．

名师讲坛·素养提升
已知函数的定义域或值域求参数的取值范围
例4 已知函数f(x)＝lg [(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1]．
(1)若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)的值域为R，求实数a的取值范围．
[分析]　(1)由f(x)的定义域为R知(a2－1)x2＋(a＋1)·x＋1>0的解集为R，即(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0恒成立；
(2)由f(x)的值域为R知(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1能取所有正数，即y＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1图象的开口向上且与x轴必有交点．
[解析]　(1)依题意(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1>0，
对一切x∈R恒成立，当a2－1≠0时，其充要条件是即
∴a<－1或a>.又a＝－1时，f(x)＝1>0，满足题意．
∴a≤－1或a>.
(2)依题意，只要t＝(a2－1)x2＋(a＋1)x＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f(x)的值域为R，故有a2－1>0，Δ≥0，解得－1≤a≤，又当a2－1＝0，即a＝1时，t＝2x＋1符合题意；a＝－1时不合题意，∴－1
名师点拨
已知函数的定义域，等于是知道了x的范围，(1)当定义域不是R时，往往转化为解集问题，进而转化为与之对应的方程解的问题，此时常利用代入法或待定系数法求解；(2)当定义域为R时，往往转化为恒成立的问题，常常结合图形或利用最值求解．
〔变式训练3〕
(1)已知函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围为__[0,1]__.
(2)(2021·甘肃天水三中阶段测试)若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，则实数m的取值范围是(　C　)
A．(0,4] B．
C． D．
[解析]　(1)①当m＝0时，y＝，其定义域为R.
②当m≠0时，由定义域为R可知，
mx2－6mx＋m＋8≥0对一切实数x均成立，
于是有
解得0 ∴m的取值范围是[0,1]．
(2)由x2－3x－4＝－得x＝；由x2－3x－4＝－4，得x＝0或x＝3，又函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为，∴≤m≤3.
另：由y＝x2－3x－4＝2－，∴≤m≤3.