高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率10.1 随机事件与概率教案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第十章 概率10.1 随机事件与概率教案设计，共12页。教案主要包含了温故知新，随机事件的表示，随机事件的含义，小结等内容，欢迎下载使用。

本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第九章《10.1.1有限样本空间与随机事件》，本节课通过对具体事例，帮助学生建立随机实验的概念，并通过对随机实验结果的数量表示，建立样本空间的概念，为概率的学习打好基础。并加深对概率思想方法的理解。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
教学重点、难点
1.教学重点：随机试验的概念及特点；
2.教学难点： 理解样本点和样本空间，会求所给试验的样本点和样本空间；
课前准备：
多媒体
教学过程：
教学反思：
本节课通过对具体事例，帮助学生建立随机实验的概念，并通过对随机实验结果的数量表示，建立样本空间的概念，为概率的学习打好基础。教学中要注重学生的主体地位，调动学生积极性，使数学教学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。
学习目标
学科素养
1.理解随机试验、样本点与样本空间，会写试验的样本空间.
2.了解随机事件的有关概念，掌握随机事件的表示方法及含义.
1.数学建模：随机实验及样本空间的概念
2.逻辑推理：分析随机实验的样本空间
3.数学运算：计算随机实验的样本空间
4.数据分析：会求所给试验的样本点和样本空间；
教学过程
教学设计意图
核心素养目标
一、温故知新
概率论的产生和发展
概率论产生于十七世纪，本来是由保险事业的发展而产生的， 但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论问题的源泉。 传说早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天， A赢了4局， B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分才理？
这个问题让帕斯卡苦苦思索了三年，三年后也就是1657年，荷兰著名的数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的一部著作。近几十年来，随着科技的蓬勃发展概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的。
在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念，并学习了在试验结果等可能的情形下求简单随机事件的概率.
本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算，探究随机事件概率的性质.
随机现象普遍存在，有的简单有的复杂，有的只有有限个可能结果，有的有无穷个可能结果；这里的无穷又分为两种，即可列无穷和不可列无穷，例如，对掷硬币试验，等待首次出现正面朝上所需的试验次数，具有可列无穷个可能结果；而预测某地7月份的的降水量，可能结果则充满某个区间，其可能结果不能一一列举，即有不可列无穷个可能结果.所以，常见的概率模型有两类，即离散型概率模型和连续型概率模型.高中阶段主要研究离散型概率模型.
知识点一 随机试验
我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.
我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：
(1)试验可以在相同条件下重复进行；
(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.
知识点二 样本空间
我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，一般地，用Ω表示样本空间，用ω表示样本点，如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间.
知识点三 随机事件、必然事件与不可能事件
1.一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，为了叙述方便，我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件.当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生.
2.Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件.
3.空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称为∅为不可能事件.
一、样本空间的求法
例1 写出下列试验的样本空间：
(1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子出现的点数之和；
(2)从含有两件正品a1，a2和两件次品b1，b2的四件产品中任取两件，观察取出产品的结果；
(3)用红、黄、蓝三种颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情况.
解 (1)该试验的样本空间Ω1＝{3,4,5，…，18}.
(2)该试验，所有可能的结果如图所示，
因此，该试验的样本空间为Ω2＝{a1a2，a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，b1b2}.
(3)如图，
用1,2,3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则此试验的样本空间为Ω3＝{(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)}.
延伸探究
本例(2)中“任取两件”改为连续取两次，且每次取出后又放回，此时样本空间又是什么？
解 如图，
所以样本空间为Ω4＝{(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，b1)，(b2，b2)}.
反思感悟 写样本空间的关键是找样本点，具体有三种方法
(1)列举法：适用样本点个数不是很多，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏.
(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本归纳为“有序实数对”，也可用坐标法，列表法的优点是准确、全面、不易遗漏.
(3)树状图法：适用较复杂问题中的样本点的探求，一般需要分步(两步及两步以上)完成的结果可以用树状图进行列举.
跟踪训练1 写出下列试验的样本空间：
(1)随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天节日中值班，每人值班1天，记录值班的情况；
(2)从一批产品中，依次任选三件，记录出现正品与次品的情况.
解 (1)如图，
设甲、乙、丙、丁分别为1,2,3,4，
所以样本空间Ω1＝{(1,2,3,4)，(1,2,4,3)，(1,3,2,4)，(1,3,4,2)，(1,4,2,3)，(1,4,3,2)，(2,1,3,4)，(2,1,4,3)，(2,3,1,4)，(2,3,4,1)，(2,4,1,3)，(2,4,3,1)，(3,1,2,4)，(3,1,4,2)，(3,2,1,4)，(3,2,4,1)，(3,4,1,2)，(3,4,2,1)，(4,1,2,3)，(4,1,3,2)，(4,2,1,3)，(4,2,3,1)，(4,3,1,2)，(4,3,2,1)}.
(2)设正品为H，次品为T，
样本空间Ω2＝{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，TTH，THT，TTT}.
二、随机事件的表示
例2 试验E：甲、乙两人玩出拳游戏(锤子、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况.
设事件A表示随机事件“甲乙平局”；
事件B表示随机事件“甲赢得游戏”；
事件C表示随机事件“乙不输”.
试用集合表示事件A，B，C.
解 设锤子为w1，剪刀为w2，布为w3，用(i，j)表示游戏的结果，其中i表示甲出的拳，j表示乙出的拳，则样本空间E＝{(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}.
因为事件A表示随机事件“甲乙平局”，
则满足要求的样本点共有3个：(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，
∴事件A＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}.
事件B表示“甲赢得游戏”，
则满足要求的样本点共有3个：(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，
∴事件B＝{(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}.
因为事件C表示“乙不输”，
则满足要求的样本点共有6个，
(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w2，w1)，(w1，w3)，(w3，w2)，
∴事件C＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}.
反思感悟 对于随机事件的表示，应先列出所有的样本点，然后，确定随机事件中含有哪些样本点，这些样本点作为元素表示的集合即为所求.
跟踪训练2 如图，从正方形ABCD的四个顶点及其中心O这5个点中，任取两点观察取点的情况，设事件M为“这两点的距离不大于该正方形的边长”，试用样本点表示事件M.
解 M＝{AB，AO，AD，BC，BO，CD，CO，DO}.
三、随机事件的含义
例3 在试验E：“连续抛掷一枚均匀的骰子2次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义：
(1)事件A＝{(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(5,3)，(6,3)}；
(2)事件B＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}；
(3)事件C＝{(1,3)，(3,1)，(4,2)，(2,4)，(3,5)，(5,3)，(4,6)，(6,4)}.
解 (1)事件A中所含的样本点中的第二个数为3，根据样本空间知第二个数为3的样本点都在事件A中，故事件A的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，第二次掷出的点数为3.
(2)事件B中所含的样本点中两个数的和均为6，且样本空间中两数和为6的样本点都在事件B中，故事件B的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，2次掷出的点数之和为6.
(3)事件C的所含样本点中两个数的差的绝对值为2，且样本空间中两个数差的绝对值为2的样本点都在C中，故事件C的含义为连续抛掷一枚均匀的骰子2次，两次掷出的点数之差的绝对值为2.
反思感悟 解答此类题目，应先理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定随机事件的含义.
跟踪训练3 柜子里有3双不同的鞋，随机抽取2只，用A1，A2，B1，B2，C1，C2分别表示3双不同的鞋，其中下标为奇数表示左脚，下标为偶数表示右脚.指出下列随机事件的含义.
(1)M＝{A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2}；
(2)N＝{A1B1，B1C1，A1C1}；
(3)P＝{A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1}.
解 (1)事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只鞋不成双”.
(2)事件N的含义是“从3双不同鞋中，随机抽取2只，取出的2只鞋都是左脚的”.
(3)事件P的含义是“从3双不同鞋中，随机抽取2只，取到的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，但不成双”.
由回顾知识出发，提出问题，让学生了解概率论的产生和发展。增加学生的数学文化素养。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。

通过具体问题，让学生感受随机实验及样本空间的额概念。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。
通过实例分析，让学生掌握分析样本空间和样本点的方法，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。
1.下列事件是必然事件的是( )
A.从分别标有数字1,2,3,4,5的5张标签中任取一张，得到标有数字4的标签
B.函数y＝lgax(a>0且a≠1)为增函数
C.平行于同一条直线的两条直线平行
D.随机选取一个实数x，得2x<0
答案 C
解析 A.是随机事件，5张标签都可能被取到；B.是随机事件，当a>1时，函数y＝lgax为增函数，当00.
2.集合A＝{2,3}，B＝{1,2,4}，从A，B中各任意取一个数，构成一个两位数，则所有基本事件的个数为( )
A.8 B.9 C.12 D.11
答案 D
解析 从A，B中各任意取一个数，可构成12,21,22,24,42,13,31,23,32,34,43，共11个.
3.元旦期间，小东和爸爸、妈妈外出旅游，一家三口随机站成一排，则小东恰好站在中间的站法种数为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 A
4.抛掷3枚硬币，试验的样本点用(x，y，z)表示，集合M表示“既有正面朝上，也有反面朝上”，则M＝_________________________________________________________________.
答案 {(正正反)，(正反正)，(反正正)，(正反反)，(反正反)，(反反正)}
解析 试验的样本空间为Ω＝{(正正正)，(正正反)，(正反正)，(反正正)，(正反反)，(反正反)，(反反正)，(反反反)}，则M＝{(正正反)，(正反正)，(反正正)，(正反反)，(反正反)，(反反正)}.
5.抛掷一枚质地均匀的骰子两次，事件M＝{(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)}，则事件M的含义是________________________________________________________________________.
答案 抛骰子两次，向上点数之和为8
通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养。
四、小结
11.知识清单：
(1)随机试验.
(2)样本空间.
(3)随机事件.
2.方法归纳：列表法、树状图法.
3.常见误区：在列举样本点时要按照一定的顺序，要做到不重、不漏.
五、课时练1.下列事件中不可能事件的个数为( )
①抛一石块下落；
②如果a>b，那么a－b>0；
③没有水分，种子能发芽；
④某电话机在1分钟内收到2次呼叫；
⑤在标准大气压下且温度低于0 ℃时，冰融化.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案 B
解析 ①②是必然事件，④是随机事件，③⑤是不可能事件.
2.试验E：“任取一个两位数，观察个位数字与十位数字的和的情况”，则该试验的样本空间为( )
A.{10,11，…，99} B.{1,2，…，18}
C.{0,1，…，18} D.{1,2，…，10}
答案 B
解析 由题意可知，该试验的样本空间为{1,2，…，18}.
3.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，观察选出的2人，设事件M为“甲被选中”，则事件M含有的样本点个数为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
答案 B
解析 设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，则M＝{甲乙，甲丙，甲丁，甲戊}，∴M含有4个样本点.
4.从5人中选出2人担任正、副班长，则样本点个数为( )
A.10 B.15 C.20 D.25
答案 C
解析 把5人分别记为A，B，C，D，E，用x表示正班长，y表示副班长，则样本点用(x，y)表示，∴Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，A)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，A)，(C，B)，(C，D)，(C，E)，(D，A)，(D，B)，(D，C)，(D，E)，(E，A)，(E，B)，(E，C)，(E，D)}，故共有20个样本点.
5.从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，观察抽得的2张数字，设抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数为事件Q，则事件Q含有的样本点个数为( )
A.8 B.10 C.11 D.15
答案 B
解析 如下表所示，表中点的横坐标表示第一次取到的数，纵坐标表示第二次取到的数.
1
2
3
4
5
1
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
2
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
3
(3,1)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
4
(4,1)
(4,2)
(4,3)
(4,4)
(4,5)
5
(5,1)
(5,2)
(5,3)
(5,4)
(5,5)
则Q＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}.
所以Q中含有10个样本点.
6.已知A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，从A，B中各取一个元素分别作点的横坐标和纵坐标，则该试验的样本空间Ω为__________________________________________.
答案 {(－1,1)，(－1,2)，(0,1)，(0,2)，(1,1)，(1,2)}
7.从100个同类产品中(其中2个次品)任取3个.
①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少有一个次品；⑥至少有一个正品.
其中必然事件是________，不可能事件是________，随机事件是________.
答案 ⑥ ④ ①②③⑤
解析 从100个产品(其中2个次品)中取3个可能结果是“三个全是正品”“两个正品一个次品”“一个正品两个次品”.
8.从2,3,8,9中任取两个不同数字，分别记为a，b，用(a，b)表示该试验的样本点，则事件“lgab为整数”可表示为________________.
答案 {(2,8)，(3,9)}
解析 只有lg28＝3，lg39＝2为整数.
9.某商场举行购物抽奖的促销活动，规定每位顾客从装有编号分别为0,1,2,3四个小球(除编号不同外，其他完全相同)的抽奖箱中，每次取出一个球记下编号后放回，连续取两次，若取出的两个小球的编号的和等于6，则中一等奖，等于5中二等奖，等于4或3中三等奖.
(1)写出试验的样本空间Ω；
(2)设随机事件A为“抽中三等奖”，随机事件B为“抽中奖”，试用集合表示事件A和B.
解 (1)Ω＝{(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)}.
(2)A＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)}，
B＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)，(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)，(2,3)，(3,2)，(3,3)}.
10.某校夏令营有3名男同学A，B，C和3名女同学X，Y，Z，其年级情况如下表：
一年级
二年级
三年级
男同学
A
B
C
女同学
X
Y
Z
现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同).
(1)写出该试验的样本空间Ω；
(2)设事件M为“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学，试用集合表示M.
解 (1)Ω＝{AB，AC，AX，AY，AZ，BC，BX，BY，BZ，CX，CY，CZ，XY，XZ，YZ}.
(2)M＝{AY，AZ，BX，BZ，CX，CY}.
11.(多选)给出关于满足AB的非空集合A，B的四个命题，其中正确的命题是( )
A.若任取x∈A，则x∈B是必然事件
B.若任取x∉A，则x∈B是不可能事件
C.若任取x∈B，则x∈A是随机事件
D.若任取x∉B，则x∉A是必然事件
答案 ACD
12.将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a，b，设事件M为“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”，则事件M中含有样本点的个数为( )
A.6 B.17 C.19 D.21
答案 C
解析 将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，
∵方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，
∴Δ＝b2－4a≥0，
则M＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)}，共含19个样本点.
13.一袋中装有10个红球，8个白球，7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前一定能摸出红球，则k的最小值为( )
A.10 B.15 C.16 D.17
答案 C
解析 摸完黑球和白球共需15次，则第16次一定能摸出红球.
14.写出下列试验的样本空间：
(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________________；
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________________.
答案 (1)Ω＝{胜，平，负} (2)Ω＝{0,1,2,3,4}
解析 (1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果.
(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0,1,2,3,4，不能再有其他结果.
通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。