专题14 三角函数的图像和性质（讲义）-2023年高考一轮复习精讲精练必备

第14讲  三角函数的图像和性质

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一、知识梳理

1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图像中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).

(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图像中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).

2.正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k∈Z)

二、考点和典型例题

1、三角函数的定义域和值域

【典例1-1】（2022·河北邯郸·二模）函数在上的值域为（       ）

A．  B．

C． D．

【答案】C

【详解】

当时，，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为

故选：C

【典例1-2】（2022·辽宁·东港市第二中学高一期中）函数，若，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：函数，

，

，

因为，则

所以，

因为，

所以，一个为的最大值，一个为最小值，

则，或

解得，或

所以（i），或（ii）

对于（i），当时，的最小值是，

对于（ii），当时，的最小值是，

综上，的最小值是，

故选：D

【典例1-3】（2022·全国·模拟预测（文））已知函数，则下列结论中正确的是（       ）

A．函数的最小正周期为 B．时取得最小值

C．关于对称 D．时取得最大值

【答案】D

【详解】

因为，

所以，

所以，

所以函数的最小正周期，A错误，

，BC错误，

，D正确.

故选：D.

【典例1-4】（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知不等式对恒成立，则m的最小值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：因为不等式对恒成立，

所以不等式对恒成立，

令，

因为，所以，

则，

所以，

所以，解得，

所以m的最小值为，

故选：D

【典例1-5】（2022·重庆八中高三阶段练习）函数在上的值域是，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

，，则，

要使f(x)在上的值域是，

则.

故选：C.

2、三角函数的周期性、奇偶性、对称性

【典例2-1】（2022·山东威海·三模）己知函数为偶函数，则(       )

A．0 B． C． D．

【答案】C

【详解】

∵f(x)定义域为R，且为偶函数，

∴，

，．

当时，为偶函数满足题意．

故选：C．

【典例2-2】（2022·天津和平·三模）函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若为偶函数，则的最小值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为

，

所以，而为偶函数，所以，即，而，所以的最小值是．

故选：B．

【典例2-3】（2022·内蒙古赤峰·三模（文））已知函数的图像经过点，则的最小正周期为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为函数的图像经过点，

所以，得，

所以，得，

所以，所以，

所以，

所以的最小正周期为，

故选：C

【典例2-4】（2022·陕西西安·一模（理））若函数的最小正周期为，则是（       ）

A．奇函数 B．偶函数

C．非奇非偶函数 D．是奇函数也是偶函数

【答案】B

【详解】

因为函数的最小正周期为，解得，

所以，，

所以，函数为偶函数.

故选：B.

【典例2-5】（2022·新疆克拉玛依·三模（文））已知函数的最小值周期为，将的图象向右平移个单位长度，所得图象关于轴对称，则的一个值是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【详解】

由题可得，即，则函数的解析式为，

将的图象向右平移个单位长度所得的函数解析式为：

，又函数图象关于轴对称，

当时，，

则①，

令，可得：，其余选项不适合①式.

故选：B．

3、三角函数的单调性

【典例3-1】（2022·天津南开·三模）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在区间上单调递增，则的值可能为（       ）

A． B． C．3 D．4

【答案】B

【详解】

解：将函数的图象向左平移个单位，

得到函数，

因为，所以，

又因为函数在区间上单调递增，

所以，解得，

所以的值可能为，

故选：B

【典例3-2】（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知函数在单调递减，则的最大值为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

，

令，解得，，

因为，所以，则，

故，解得 ，所以最大值为．

故选：B．

【典例3-3】（2022·全国·模拟预测（文））将函数的图象向左平移个单位长度，再保持所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，则使得单调递增的一个区间是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

将函数的图象向左平移个单位长度，再保持所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，则，则单调递增区间为：，则

当时，.

故选：C.

【典例3-4】（2022·安徽·合肥一中模拟预测（文））下列函数中，既是偶函数，又在区间内是增函数的为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

A.因为，所以是偶函数，，在上单调递增，当时，，当时，，在上单调递增，故正确；

B. ，所以是偶函数，易知在 上递增，在上递减，故错误；

C. ，所以是偶函数，易知在上递减，故错误；

D. 因为，所以，则不是偶函数，故错误；

故选：A

【典例3-5】（2022·全国·高三专题练习）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在上单调递减，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，得到，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，

即，若在上单调递减，

则的周期，即，得，

由，，得，，

即，即的单调递减区间为，，

若在上单调递减，则，，

即，，当时，，即的取值范围是.

故选：D．

【典例3-6】（2022·河北·石家庄二中模拟预测）已知函数.

(1)求函数在上的单调增区间；

(2)若，求的值.

【答案】(1)(2)

【解析】(1)

解：，

，

，

，

令，

解得，

所以的单调增区间为.

令得区间为，

所以在上的单调增区间为；

(2)因为，

所以，

又，且，

所以，则

所以

.

【典例3-7】（2022·浙江·三模）已知函数．

(1)求的单调递增区间；

(2)若对任意，都有，求实数的取值范围．

【答案】(1)(2)

【解析】(1)

令

解之得

∴的单调递增区间为

(2)对任意，都有，

∵，

∴，

∴，

∴实数的范围为．