2021-2022学年辽宁省沈阳市沈河区育源中学九年级（下）开学数学试卷（含解析）

2021-2022学年辽宁省沈阳市沈河区育源中学九年级（下）开学数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共20.0分）

1. 的相反数是

A.  B.  C.  D.

2. 如图所示的几何体，从上面看到的形状图是

A.
B.
C.
D.
 

3. 年月日“天舟三号”在海南成功发射，这是中国航天工程又一重大突破，它的运行轨道距离地球米，数据米用科学记数法表示为

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

4. 下列算式的计算结果为的是

A.  B.  C.  D.

5. 是的平分线，，若，则的度数为

A.
B.
C.
D.

6. 某校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了一个班的学生，对他们一周的课外阅读时间进行了统计，统计数据如下表，则该班学生一周课外阅读时间的中位数和众数分别是

A. ， B. ， C. ， D. ，

7. 如图，与位似，点为位似中心，与的面积之比为：，若，则的长为

A.  B.  C.  D.

8. 一次函数的图象不经过

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

9. 下列说法正确的是

A. 为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查
B. 为了了解春节联欢晚会的收视率，选择全面调查
C. “经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件
D. 已知一组数据为，，，，，则这组数据的方差为

10. 如图，内接于，，若，则弧的长为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 分解因式：______．
12. 不等式组，的解集是______．
13. 计算：的结果为______．
14. 如图，点为双曲线上一点，轴于点，且，则值为______．
    
    
     

15. 如图，有一矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙墙足够长，另三边用米的长篱笆围成，则矩形面积的最大值是______．
16. 如图，在矩形中，，，为的中点，，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，若，则______．

三、解答题（本大题共9小题，共82.0分）

17. 计算：．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，在菱形中，点，分别是边，上的点，，连接，，延长交线段延长线于点．
    求证：≌；
    若，则的长是______．

19. 深圳某地铁站入口有，，三个安全检查口，假定每位乘客通过任意一个安全检查口的可能性相同．张红与李萍两位同学需要通过该地铁入口乘坐地铁．
    张红选择安全检查口通过的概率是______；
    请用列表或画树状图的方法求出她俩选择相同安全检查口通过的概率．
    
    
    
    
    
    
     
20. 我校九年级班所有学生参加体育测试，根据测试评分标准，将他们的成绩进行统计后分为、、、四等，并绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图未完成，请结合图中所给信息解答下列问题：
    
    九年级班参加体育测试的学生共有多少人？
    将条形统计图补充完整；
    在扇形统计图中，求出等级对应的圆心角的度数；
    若规定达到、级为优秀，我校九年级共有学生人，估计参加体育测试达到优秀标准的学生有多少人？
    
    
    
    
    
    
     
21. 年月日是建党周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数如图所示，圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为或，若能求出最小数；若不能请说明理由．

22. 如图，是的直径，与交于点，点是半径上一点点不与点，重合连接交于点，连接，若，．
    求证：是的切线；
    若，，则的长是______．
    
    
    
    
    
    
     
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知直线与轴，轴分别交于点和点，点在直线上．将线段沿翻折，使点落在线段上的点处；再将线段沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与线段分别交于点、．
    分别求出点和点的坐标；
    请直接写出线段的长度为______；
    若点坐标为，且的面积为，则______．

24. 在中，．
    在图中，为边上一点，为边上一点，求证：．
    在图中，，于点，若，求的值．
    在图中，，、交于点，若，，请直接写出的长度．

25. 如图，抛物线经过，，三点，为直线上方抛物线上一动点，于．
    
    求抛物线的函数表达式；
    如图，求线段长度的最大值；
    如图，设的中点为，连接，，是否存在点，使得中有一个角与相等？若存在，求点的横坐标；若不存在，请说明理由．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：根据相反数的定义，的相反数是．
故选：．
根据相反数的定义解决此题．
本题主要考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解决本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】

解：从上面看共有两层，底层靠左边是个小正方形，上层有个小正方形。
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中。
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图。
 

3.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，确定与的值是解题的关键．
根据科学计数法的形式，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
【解答】
解：米米．
故选C．  

4.【答案】

【解析】

解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项符合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意；
故选：．
直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、幂的乘方运算法则分别计算得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、幂的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：，平分，
，
，
，
故选：。
根据角平分线的性质得出的度数，再利用平行线的性质可得答案。
本题主要考查平行线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质和平行线的性质。
 

6.【答案】

【解析】

解：学生一周课外阅读时间的出现次数最多的是小时，因此众数是；
将名学生的读书时间从小到大排列后处在中间位置的两个数都是小时，因此中位数是，
故选：．
根据中位数、众数的意义即可求出答案．
本题考查中位数、众数的意义和计算方法，理解中位数、众数的意义是正确解答的前提．
 

7.【答案】

【解析】

解：，
，
，
，
故选：．
根据位似图形的概念得到∽，，根据相似三角形的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的概念，掌握位似三角形是相似三角形以及相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：一次函数，，，
该函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，
故选：．
根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数图象不经过哪个象限．
本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
 

9.【答案】

【解析】

解：书稿中不能有错别字，因此应采取普查的方式，不能进行抽样调查，因此选项A不正确；
了解春节联欢晚会的收视率，可以选择抽查的方式，普查有时没有必要且不易做到，因此选项B不正确；
经过有交通信号灯的路口，可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，是随机事件，因此选项C不正确；
通过计算这组数据的方差，结果是正确的；
故选：．
根据抽查、普查的意义对选项A、做出判断；通过求方差对做出判断，利用必然事件的意义对学校做出判断．
本题考查必然事件、随机事件的意义，理解随机事件发生可能性的大小，普查和抽查的区别与联系，是正确判断的前提．
 

10.【答案】

【解析】

解：连接、，
，，
，
由圆周角定理得：，
，，
，
的长，
故选：．
连接、，根据三角形内角和定理求出，根据圆周角定理求出，根据等腰直角三角形的性质求出，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】

解：

．
故答案为：．
此多项式有公因式，应先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
 

12.【答案】

【解析】

解：解不等式得；
解不等式得，
则不等式组的解集为：．
故答案为：．
先解出每一个不等式的解集，再按“大大取大；小小取小；比大小，比小大，中间找；比大大，比小小，无解了”确定不等式组的解集．
本题考查了一元一次不等式组的解法及不等式组解集的确定方法，牢记不等式组的解集的确定方法口诀：“大大取大；小小取小；比大小，比小大，中间找；比大大，比小小，无解了”．
 

13.【答案】

【解析】

解：


，
故答案为：．
根据分式的除法和减法可以解答本题．
本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．
 

14.【答案】

【解析】

解：轴，
，
，
函数图象经过第二象限，
，
．
故答案为：．
由，求得的大小．
本题考查了反比例函数比例系数的几何意义．
 

15.【答案】

【解析】

解：设矩形的宽为，面积为，
根据题意得：

，
时，菜园面积最大，最大面积是．
故答案为：．
设矩形的宽为，进而确定矩形的另一条边长，根据矩形的面积公式即可求出函数关系式，再利用配方法求出函数最值．
本题主要考查二次函数的应用，难度一般，关键在于找出等量关系列出函数解析式，另外应注意配方法求最大值在实际中的应用．
 

16.【答案】

【解析】

解：延长交的延长线于，过作于点，过作于点，

四边形是矩形，
，，，
∽，
，
为的中点，
，
，
，
，
，，
设，则，
，
，
，
，，
，，
，，



．
解得．
，
，
，
，，
∽，
．
故答案为：．
延长交的延长线于，过作于点，过作于点，由矩形的性质及相似三角形的判定与性质可得，再根据三角函数得，，设，则，然后再由三角函数及线段和差得的长，最后再次运用相似三角形的判定与性质可得答案．
此题考查的是相似三角形的判定与性质、矩形性质、三角函数等知识，正确作出辅助线构造相似三角形是解决此题关键．
 

17.【答案】

解：原式
．
 

【解析】

原式利用特殊角的三角函数值，零指数幂、负整数指数幂法则，以及二次根式性质计算即可得到结果．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值，负整数指数幂、零指数幂的意义，以及二次根式的性质是解答本题的关键．
 

18.【答案】

证：四边形为菱形，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，

 

【解析】

解：见答案
四边形为菱形，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据菱形的性质可得，，根据，，可得，利用即可证明；
根据菱形的性质可证明∽，根据相似的性质可求得的长度，进而可求．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，通过菱形的性质得到∽是关键．
 

19.【答案】

【解析】

解：有、三个闸口，
张红选择安全检查口通过的概率是；
故答案为：；

根据题意画图如下：

共有种等情况数，其中她俩选择相同安全检查口通过的有种，
则她俩选择相同安全检查口通过的概率是．
根据概率公式求解即可；
根据题意先画出树状图得出所有等情况数和选择相同安全检查口通过的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，正确画出树状图．
 

20.【答案】

解：九年级班参加体育测试的学生共有人；
等级的人数为：人，等级人数为：人；
补全统计图如下：

等级对应的圆心角的度数为：；
估计达到级和级的学生共有：人．
 

【解析】

等级人数等级百分率总人数，求之可得；
根据等级百分率和总人数可求得等级的人数，将总人数减去其余各等级人数可得等级人数，补全条形图；
等级对应圆心角度数等级占总人数比例，据此计算可得；
将样本中、等级所占比例九年级学生总数可估计人数．
此题主要考查了条形统计图和扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

21.【答案】

解：设最小的数为，
由题意得，
解得，由表格知不符合实际舍去；
由题意得，
解得舍去，，
所以当最大数与最小数乘积为时，最小的数是．
 

【解析】

设这个最小数为，则最大数为，根据最小数与最大数的乘积为诺，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

22.【答案】

解：是的直径，
，
．
又，
，
又，
，
即，
是的切线；
．
 

【解析】

根据圆周角定理得到，在利用等腰三角形的性质以及等量代换可得，进而得出结论；
由可得，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
，
，，
∽，
，
即，
解得，．
本题考查切线的判定，圆周角定理以及相似三角形，掌握切线的判定方法和圆周角定理、相似三角形的判定和性质是解决问题的前提．
 

23.【答案】

  或
 

【解析】

解：直线中，令，则，
，
令，则，解得，
；
，，
，
点在直线上．将线段沿翻折，使点落在线段上的点处，
，，
，
，
，
，，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故答案为．
设直线与轴的交点为，
的面积为，
，
点坐标为，
，即，
，
或，
设直线为，把代入得，，解得，
，
当时，，
设直线为，把代入得，，解得，
，
当时，，
或，
故答案为或．
根据坐标轴上点的坐标特征即可求得；
根据对折的性质得出，，，即可证得是等腰直角三角形，利用三角形面积公式求得，然后根据勾股定理求得，从而求得，进而根据即可求得结果；
根据三角形面积求得，从而求得的坐标，根据待定系数法即可求得的解析式，代入的横坐标，即可求得的值．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化对称，翻折变换的性质，三角形的面积等，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．
 

24.【答案】

证明：是等边三角形，
，

，
，
，
又，
∽，
，
；

解：设，
，
，
，
为等边三角形，
，
由知，∽，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
；

如图，
作，边交于，
在中，，
，
，
，
∽，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
．
 

【解析】

利用三角形的内角和和平角的定义判断出，进而判断出∽，即可得出结论；
设，则，，由知，∽，进而判断出，在中，用含度角的直角三角形的性质得出，即可求出答案；
作，边交于，判断出∽，得出，再借助，求出，再判断出∽，得出，即可求出的值．
此题是相似形综合题，主要考查了等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，作出辅助线构造出相似三角形是解本题的关键．
 

25.【答案】

解：由题意，得，
解得，
抛物线的函数表达式为；
设直线的解析是为，，
解得
，
设，，过点作轴交于点，
如图，
，
，
，，
∽，
，
，，
，


当时，取最大值，最大值是，
假设存在这样的点，使得中有一个角与相等，
点为的中点，
，，
过点作，交的延长线于点，过点作轴，垂足为，
如图，
若，
，
，
∽，
，
，，
，
设直线的解析式为，
，
解得
直线的解析式为，
，
解得，或舍．
若，
同理可得，，，
，
同理可得，直线的解析是为，
，
解得或舍，
综上所述，存在点，使得中有一个角与相等，点的横坐标为或．
 

【解析】

根据待定系数法，可得函数解析式；
根据平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得，根据相似三角形的判定与性质，可得的长，根据二次函数的性质，可得答案；
根据正切函数，可得，根据相似三角形的性质，可得，，根据待定系数法，可得的解析式，根据解方程组，可得答案．
本题考查了二次函数综合题，解的关键是待定系数法，解的关键是利用相似三角形的性质得出的长，又利用了二次函数的性质；解的关键是利用相似三角形的性质得出点的坐标，由；利用了待定系数法求函数解析式，解方程组的横坐标．