北师大版_2021-2022学年陕西省渭南市白水县高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

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北师大版_2021-2022学年陕西省渭南市白水县高一（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 下列事件中，是随机事件的是(    )

A. 在只装有个红球的袋子中摸出个球，是红球
B. 在标准大气压下，水在结冰
C. 打开电视机，正在转播足球比赛
D. 地球绕着太阳转

2. 已知角的终边经过点，则(    )

A.  B.  C.  D.

3. 化简的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，的对角线交点是，则下列等式成立的是(    )

A.
B.
C.
D.

5. 总体由编号为，，的个个体组成，利用下面的随机数表选取个个体，选取方法是从随机数表的第行第列和第列数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为(    )
    

A.  B.  C.  D.

6. 书架上有本数学书和本语文书，从这本书中任取本，那么互斥但不对立的两个事件是(    )

A. “至少有本数学书”和“都是语文书”
B. “至少有本数学书”和“至多有本语文书”
C. “恰有本数学书”和“都是数学书”
D. “至多有本数学书”和“都是语文书”

7. 已知两个力的夹角为，它们的合力大小为，合力与的夹角为，那么的大小为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄的平均数、中位数、众数均为，方差为，则三年后，下列判断错误的是(    )

A. 这五位同学年龄的平均数变为 B. 这五位同学年龄的方差变为
C. 这五位同学年龄的众数变为 D. 这五位同学年龄的中位数变为

9. 已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的、分别为、，则输出的(    )

A.
B.
C.
D.

11. 已知函数的图像经过原点，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

12. 已知函数其中，，的部分图像如图所示；将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍后，再向左平移个单位，得到函数的图像，则函数的解析式为(    )

A.  B.
C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 某高中开展学生参加家务劳动情况的调查活动．已知该校高一年级有学生人，高二年级有学生人，高三年级有学生人．现需要从全校学生中用分层抽样的方法抽取人进行调查，则应从高一学生中抽取的人数为______．
14. 已知，，则______．
15. 在区间上随机取一个数，使的概率为______．
16. 已知正方形的边长为，点满足，则的值是          ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. Ⅰ计算的值；
    Ⅱ已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边在直线上，求的值．
18. 已知，，是同一平面内的三个向量，其中，，．
    若，求；
    若，，求．
19. 随着生活条件的改善，人们健身意识的增强，健身器械比较畅销，某商家为了解某种健身器械如何定价可以获得最大利润，现对这种健身器械进行试销售．统计后得到其单价单位：百元与销量单位：个的相关数据如表：

已知销量与单价具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；
若每个健身器械的成本为百元，试销售结束后，请利用中所求的线性回归方程确定单价为多少百元时，销售利润最大？结果保留到整数．
附：对于一组数据，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
参考数据：，．

20. 第届亚运会将于年月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为，第一组和第五组的频率相同．
    求，的值；
    根据组委会要求，本次志愿者选拔录取率为，请估算被录取至少需要多少分；
    在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取人，然后再从这人中选出人，求选出的两人来自同组的概率．

21. 中国神舟十三号载人飞船返回舱于年月日在东风着陆场成功着陆，这标志着此次载人飞行任务取得圆满成功．神舟十三号载人飞行任务是中国迄今在太空轨道上停留时间最长的一次任务，航天员王亚平成为第一位在太空行走的中国女性．三位航天员在为期半年的任务期间，进行了两次太空行走，完成了多项不同的科学实验，并开展了两次“天宫课堂”，在空间站进行太空授课．神舟十三号的成功引起了广大中学生对于航天梦的极大兴趣，某校从甲、乙两个班级所有学生中分别随机抽取名，对他们的航天知识进行评分调查满分分，被抽取的学生的评分结果如图茎叶图所示．
    分别计算甲、乙两个班级被抽取的名学生得分的平均值和方差，并估计两个班级学生航天知识的整体水平差异；
    若从得分不低于分的学生中随机抽取人参观市教育局举办的航天摄影展，求这两名学生均来自乙班级的概率．

22. 设函数，该函数图像上相邻两个最高点间的距离为，且为偶函数．
    Ⅰ求和的值；
    Ⅱ已知角，，为的三个内角，若，求的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：对于，在只装有个红球的袋子中摸出个球一定是红球，所以是必然事件，所以不合题意；
对于，在标准大气压下，水在结冰是不可能事件，所以不合题意；
对于，打开电视机，有可能正在转播足球比赛，所以是随机事件，所以C正确；
对于，地球绕着太阳转是必然事件，所以不合题意，
故选：．
根据随机事件的定义逐个分析判断即可．
本题考查了随机事件的概念，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：因为角的终边经过点，
所以．
故选：．
由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解．
本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：


．
故选：．
利用两角差的余弦公式化简即可得解．
本题主要考查了两角差的余弦公式在三角函数化简中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：由向量加减的运算可得，
又，故，
故选：．
结合图象，由向量的加减运算可得答案．
本题考查向量加减的运算和几何意义，属基础题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】

从开始，自左向右读取，每次读取一个两位数，号码不在，或者重复出现的应该舍去，继续往下读取，直到取满个号码为止．
在用随机数表法选取样本时，应注意，不在编号内的号码和重复出现的号码要舍去，继续向下读取，直到取满为止，属基础题．

【解答】

解：根据题意，从开始，依次读取
不在内，舍，，不在内，舍，，，不在内，舍，不在内，舍，重复，舍，，不在内，舍，不在内，舍，第个号码出现，停止．
所以取出的个号码为：，，，，．
所以第个号码为．
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：书架上有本数学书和本语文书，从这本书中任取本，
在中，“至少有本数学书”和“都是语文书“是对立事件，故A错误；
在中，“至少有本数学书”和“至多有本语文书”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
在中，“恰有本数学书”和“恰有本数学书”是互斥而不对立事件，故C正确；
在中，“至多有本数学书”和“都是语文书”能同时发生，不是互斥事件，故D错误．
故选：．
利用互斥事件、对立事件的定义直接求解．
本题考查了互斥事件，对立事件的概念，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查的是向量在物理中的应用，属于基础题．
作图，在直角三角形中即可求解．

【解答】

解：由题意可知：对应向量如图

由于，的大小为．
故选A．
 

8.【答案】 

【解析】解：设甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄分别为，，，，，
故三年后五位同学的年龄分别为，，，，，
故这五位同学年龄的平均数为，方差为，
众数为，中位数为；
故选：．
设甲、乙、丙、丁、戊五位同学高一入学时年龄分别为，，，，，故三年后五位同学的年龄分别为，，，，，分别求平均数、方差、众数、中位数即可．
本题考查了样本数字特征的应用，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
解得．
又，，，
．
，，
．
故选：．
由同角三角函数关系式可得，从而可解出，再结合角的范围求的值．
本题考查了同角三角函数关系式的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：当时，，，满足进行循环的条件，
当时，，，满足进行循环的条件，
当时，，，满足进行循环的条件，
当时，，，不满足进行循环的条件，
故输出的的值为．
故选：．
由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案
本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：函数的图像经过原点，
，，，
若，
则，
故选：．
由题意，先求得的值，再利用诱导公式、两角和的正切公式，求得的值．
本题主要考查诱导公式、两角和的正切公式，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：函数其中，，的部分图像如图所示，

则，，，
，解得，，
，则，，
，，
，，
，
将函数图像上所有点的横坐标伸长到原来的倍后，
再向左平移个单位，得到函数的图像，
函数
故选：．
由图象求三角形的解析式，再由图象平移过程求的解析式．
本题考查三角函数的图象与性质、三角函数象的伸缩变换、平移变换等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意可得：全校学生共人，
现需要从全校学生中用分层抽样的方法抽取人进行调查，
则应从高一学生中抽取的人数为，
故答案为：．
由分层抽样的方法，按比例取样即可．
本题考查了分层抽样，属基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了二倍角公式，三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
利用二倍角公式化简即可得解．
【解答】
解：，
，
，
，可得．
故答案为：．  

15.【答案】 

【解析】解：本题考查几何概型，其测度为长度
，

在区间上随机取一个数，使的概率
故答案为：
由于在区间上随机取一个数，故基本事件是无限的，而且是等可能的，属于几何概型，求出使成立的区间，即可求得概率．
本题考查几何概型，满足几何概型的两个条件，同时确定其测度是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量数量积的性质及其运算，属于中档题．
根据平面向量数量积计算求解．

【解答】

解：因为正方形的边长为，
所以，

．
故答案为：．

17.【答案】解：Ⅰ原式





．
Ⅱ由题意可知，
原式． 

【解析】Ⅰ利用诱导公式以及特殊角的三角函数值即可化简求值得解．
Ⅱ由题意可知，进而利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了诱导公式，特殊角的三角函数值以及同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
 

18.【答案】解：，，
，
，解得；
，且，
，解得，
，
，解得，
． 

【解析】可以求出，，根据即可得出的值；
可以求出，根据即可求出的值，进而可得出，从而可得出，的值．
本题考查了向量坐标的加法、减法和数乘运算，向量垂直的充要条件，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
 

19.【答案】解：由表中数据可得，
，
，
，
，
故关于的线性回归方程为．
设定价为元，利润为，
则，
，
 百元时，最大，
故确定单价为百元时，销售利润最大． 

【解析】根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解．
根据已知条件，结合二次函数的性质，即可求解．
本题主要考查了线性回归方程的求解，需要学生熟练掌握最小二乘法公式，属于基础题．
 

20.【答案】解：由题意得，
，
解得，．
由频率分布直方图得和的频率分别为，，
录取分数应该落在第四组设录取分数为，
则，
解得，
被录取分至少需要分．
根据分层抽样，和的频率比为，
在和中分别选取人和人，分别设为，，，，，
在这人中随机抽取人，基本事件有个，分别为：
，，，，，，，，，，
记事件表示这两人来自同组，
则事件包含的基本事件有个，分别为：
，，，，，，
从这人中选出人，选出的两人来自同组的概率． 

【解析】由频率分布直方图的性质列方程组，能求出，．
由频率分布直方图得和的频率分别为，，录取分数应该落在第四组，设录取分数为，列方程能求出结果．
根据分层抽样，在和中分别选取人和人，分别设为，，，，，在这人中随机抽取人，利用列举法能求出选出的两人来自同组的概率．
本题考查频率、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

21.【答案】解：根据茎叶图可求：
，
，
，，
因为两个班级学生得分的平均值相同，所以我们估计两个班级航天知识整体水平相差不大，
又由于乙班级学生得分的方差比甲班大，所以我们估计甲班级学生航天知识水平更加均衡一些，乙班级学生航天知识水平差异略大；
甲班级得分不低于的有名同学，记为，，，，
乙班级得分不低于的有名同学，记为，，，
从这名同学中选取人共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个基本事件．
其中两名学生均来自于乙班级的有，，共个基本事件，
所以这两名学生均来自乙班级的概率． 

【解析】分别计算平均数和方差即可得结果；
利用列举法，结合古典概型概率计算公式即可得结果．
本题考查了样本数据的均值与方差的计算以及古典概型，属于中档题．
 

22.【答案】解：Ⅰ由题意可得，，解得，
，
为偶函数，，，
又，取，可得，
，；
Ⅱ由，
得，即，
，，可得，
又，，则，得，
由Ⅰ知，，

，
，，得
即的取值范围为． 

【解析】Ⅰ由已知求得，再由函数的奇偶性求解；
Ⅱ由Ⅰ可得函数解析式，再由求解，把用表示，整理再由的取值范围求解．
本题考查三角函数的恒等变换应用，考查型函数的图象与性质，考查运算求解能力，是中档题．