2021-2022学年陕西省渭南市白水县高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

2021-2022学年陕西省渭南市白水县高二（下）期末数学试卷（理科）

一、单选题（本大题共12小题，共60分）

1. 设函数在处存在导数为，则(    )

A.  B.  C.  D.

2. 为比较相关变量的线性相关程度，位同学各自研究一组数据，并计算出变量间的相关系数如表所示：

则由表可知(    )

A. 乙研究的那组数据线性相关程度最低，戊研究的那组数据线性相关程度最高
B. 甲研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高
C. 乙研究的那组数据线性相关程度最低，丁研究的那组数据线性相关程度最高
D. 甲研究的那组数据线性相关程度最低，丙研究的那组数据线性相关程度最高

3. 从地到地要经过地，已知从地到地有三条路，从地到地有四条路，则从地到地不同的走法种数是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 若，则(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知的图象如图所示，则与的大小关系是(    )

A.
B.
C.
D. 与大小不能确定

6. 复数满足为虚数单位，则复数的模等于(    )

A.  B.  C.  D.

7. 的展开式中的系数为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知函数是自然对数的底数，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

9. 已知随机变量服从正态分布，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

10. 给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数．记，若在上恒成立，则称在上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的有(    )
    ，
    ，
    ，
     

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

11. 第届冬季奥林匹克运动会北京冬奥会计划于年月日开幕，共设个大项．现将甲、乙、丙名志愿者分配到个大项中参加志愿活动，每名志愿者只能参加个大项的志愿活动，则有且只有两人被分到同一大项的情况有(    )

A. 种 B. 种 C. 种 D. 种

12. 设函数在上有两个零点，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13. 直线的直角坐标方程为______．
14. 已知某地区内猫的寿命超过岁的概率为，超过岁的概率为，那么该地区内，一只寿命超过岁的猫的寿命超过岁的概率为______．
15. 已知复数与都是纯虚数，则______．
16. 已知函数，则函数在上的最大值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70分）

17. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
    求直线的普通方程以及曲线的直角坐标方程；
    若直线与曲线相交于不同的两点，，直线与轴的交点为，求．
18. 某学校组织知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛、已知在第一轮比赛中，甲、乙、丙胜出的概率分别为，，；在第二轮比赛中，甲、乙、丙胜出的概率分别为，，甲、乙、丙三人在每轮比赛中是否胜出互不影响．
    从甲、乙、丙三人中选取一人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？
    若甲、乙、丙三人均参加比赛，求恰有两人赢得比赛的概率．
19. 某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目，求：
    物理和化学至少选一门的选法种数；
    物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选的选法种数．
20. 已知函数．
    Ⅰ求曲线在点处的切线方程；
    Ⅱ求函数在区间上的极值．
21. 在某次公务员考试中，参加考试的文科大学生与理科大学生的人数比例为：，且成绩分布在，为调研此次考试的整体状况，按文理科用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图如图所示，且规定及其以上为优秀．

填写列联表，并判断是否有的把握认为成绩优秀与大学生的文理科有关；
将上述调查所得频率视为概率，现从考生中任意抽取名，记成绩优秀学生人数为，求的分布列与数学期望．
参考公式：，．
参考数据：

22. 已知函数，，其中．
    试讨论函数的单调性；
    若，证明：．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查导数的定义，涉及极限的计算，属于基础题．
根据题意，由极限的性质可得，据此分析可得答案．

【解答】

解：根据题意，函数在处存在导数为，即，
则；
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：根据题意，分析可得甲研究的那组数据线的相关系数的绝对值最小，其研究数据线性相关程度最低，
丁研究的那组数据线的相关系数的绝对值最大，其研究数据线性相关程度最高，
故选：．
根据题意，由相关系数的意义，比较人研究数据相关系数的绝对值，分析可得答案．
本题考查相关系数的意义，关键是掌握相关系数的统计意义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，从地到地要经过地，已知从地到地有三条路，则从到有种不同的走法，
从地到地有四条路，则从到有种不同的走法，
则从地到地不同的走法种数有种；
故选：．
根据题意，依次分析从到和从到的走法数目，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查分步计数原理的应用，注意分步计数原理与分类计数原理的不同，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
．
故选：．
根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，即可求解．
本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查导数的几何意义，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．
根据题意，由图象可得在处切线的斜率大于在处切线的斜率，由导数的几何意义分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，
由图象可得在处切线的斜率大于在处切线的斜率，
则有，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选：．
根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：展开式的通项公式为，
令，解得，
则的系数为，
故选：．
求出展开式的通项公式，然后令的指数为，由此即可求解．
本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
把代入得，解得，
．
故选：．
首先求，然后把代入可求得，最后求得的值．
本题考查导数运算性质，考查数学运算能力，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：随机变量服从正态分布，且，
．
故选：．
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，则，当时，，，则，选项满足；
，则，当时，，即，不符题意；
，则，选项满足；
，则，当时，，选项满足．
综上有个函数符合题意．
故选：．
根据题意，分别验证各个选项中的函数的二阶导数在上是否是负数即可．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
 

11.【答案】 

【解析】解：先对名志愿者分成两个组有种方法，每个组安排到两个项目中去有
共有种安排方法．
故选：．
分成两步，先对名志愿者分成两个组，再把两个组分到两个项目即可得答案．
本题考查排列组合的应用，分步计数原理的应用，属于基础题．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
，
当时，若，，单调递减，
若，，单调递增，
在处取得最小值为，
时，，时，，
，即；
当时，若，，单调递减，
若，，则在，上单调递增，
在处取得最大值，不符合题意；
当时，在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意；
当时，同理可得在上单调递减，，上单调递增，
则当时，函数的极大值，函数最多一个零点，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围为．
故选：．
对函数求导，然后结合导数与单调性关系对进行分类讨论，确定函数的单调性，然后结合函数的性质可求实数的取值范围．
本题考查函数零点的判定，训练了利用导数研究函数的单调性与极值，体现了分类讨论思想，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：根据，直线转换为直角坐标方程为．
故答案为：．
直接利用转换关系，在极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
本题考查的知识要点：极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：设“猫的寿命超过岁“，“猫的寿命超过岁“，显然，
由已知得，，
则一只寿命超过岁的猫的寿命超过岁的概率为．
故答案为：．
根据条件概率的计算公式求解即可．
本题考查条件概率的计算公式，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：设，
，
且，
，即，
故答案为：．
设出复数的代数形式，再利用复数的运算公式，即可解出．
本题考查了复数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：，
，
当，即，或时，函数单调递增．
令，即时，函数单调递减．
函数的单调递减区间是，单调递增区间是和，
函数在区间上单调递减，在上单调递增，
所以函数的极小值也为最小值，
两端点，，
即最大值为，
故答案为：．
求导得，分析的正负，进而可得的单调区间．计算，，，结合的单调性，即可得出答案．
本题考查函数的性质，函数导数的应用，函数的最值的求法，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

17.【答案】解：由直线的参数方程为参数转换为普通方程．
由，根据
即得到，
所以曲线的直角坐标方程为．
直线：与轴的交点坐标为，倾斜角为，
所以直线的参数方程可化为为参数，
代入整理得．
设点，对应的参数分别为，，
则，，
所以． 

【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：设“甲赢得比赛”为事件，“乙赢得比赛”为事件，“丙赢得比赛”为事件，
则，，．
因为，所以派丙参赛赢得比赛的可能性最大．
设“三人比赛后恰有两人赢得比赛”为事件，
则． 

【解析】设“甲赢得比赛”为事件，“乙赢得比赛”为事件，“丙赢得比赛”为事件，利用相互独立事件概率乘法公式分别求出相应的概率，能求出派丙参赛赢得比赛的可能性最大．
设“三人比赛后恰有两人赢得比赛”为事件，利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出恰有两人赢得比赛的概率．
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

19.【答案】解：根据题意，在门中任选门，有种选法，
其中物理和化学都没有选的选法有种，
则物理和化学至少选一门的选法有种；
根据题意，若物理和化学至少选一门，有种情况：
只选物理有且物理和历史不同时选，有种选法；
选化学，不选物理，有种选法；
物理与化学都选，有种选法，
则有种选法． 

【解析】根据题意，用间接法分析：先计算“在门中任选门”的选法，排除其中“物理和化学都没有选”的情况，即可得答案；
根据题意，分种情况讨论，由加法原理计算可得答案；
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
 

20.【答案】解：Ⅰ因为，
则，
所以，
又，则切点为，
故曲线在点处的切线方程为，即；
Ⅱ由Ⅰ可知，，
又，
由，解得；
由，解得，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
故在区间上的极大值为，没有极小值． 

【解析】Ⅰ利用导数的几何意义求出切线的斜率，求出切点坐标，由点斜式求解切线方程即可；
Ⅱ利用导数的正负判断函数的单调性，结合极值的定义求解即可．
本题考查了导数的综合应用，导数几何意义的理解与应用，利用导数判断函数单调性，利用导数求解函数极值的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
 

21.【答案】解：（1）由题意可知，文理科人数的比例为1:3且按分层抽样抽取160人，
则文科生有160×=40人，理科生有160×=120人，
70分及以上为优秀，则优秀的共有160×（0.015+0.005）×10=32人，
所以2×2列联表为：

则=，
故有90%的把握认为成绩优秀与大学生的文理科有关；
（2）由频率分布直方图可知，任意抽一名同学为优秀的概率为（0.015+0.005）×10=0.2,
则X的可能取值为0,1,2,3，且X~B(3,0.2)，
所以P(X=k)=，
故X的分布列为:

所以X的数学期望为E(X)=3×0.2=0.6． 

【解析】（1）分布求出文科和理科的人数，求出优秀的人数，列出2×2列联表，由公式求出K2的值，对照临界表，即可判断得到答案；
（2）求出任意抽一名同学为优秀的概率，然后由二项分布的概率公式，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可。
本题考查了2×2列联表的应用，独立性检验的应用，二项分布的概率公式以及数学期望的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题。
 

22.【答案】解：由题意得，，，
当时，令得，，令得，或，
所以在上单调递增，在，上单调递减，
当时，在，上单调递减，
当时，令得，，令得，或，
所以在上单调递增，在，上单调递减，
综上，当时，在上单调递增，在，上单调递减，
当时，在，上单调递减，
当时，在上单调递增，在，上单调递减，
法一：时，，
令，
则，
因为，，
令，则，
所以在上单调递增，且，，
故存在使得，
所以，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以．
法二：时，，即证，
令，只要证明，
令，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以，
所以，
所以，即． 

【解析】先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对进行分类讨论可求函数的单调性；
法一：时，，结合不等式构造函数，然后对求导，结合导数与单调性关系分析函数性质，结合函数的零点判定定理可求；
法二：时，，即证，换元后，根据简化不等式转化为证明，构造函数，结合导数及单调性关系可证明．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，考查了考试的逻辑推理与运算的能力，属于中档题．