专题13 圆锥圆柱圆台模型练习-新高考数学二轮热点专题之一网打尽空间几何体外接球模型

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专题13圆锥圆柱圆台模型（解析版）一、解题技巧归纳总结1．球内接圆锥如图，设圆锥的高为，底面圆半径为，球的半径为.通常在中，由勾股定理建立方程来计算.如图，当时，球心在圆锥内部；如图，当时，球心在圆锥外部.和本专题前面的内接正四棱锥问题情形相同，图2和图3两种情况建立的方程是一样的，故无需提前判断.由图、图可知，或，故，所以.2．球内接圆柱如图，圆柱的底面圆半径为，高为，其外接球的半径为，三者之间满足.3．球内接圆台，其中分别为圆台的上底面、下底面、高.二、典型例题例1.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（     ） A． B． C． D．以上都不对【解析】易知该几何体是圆锥，其外接球的球心恰好是正三角形的外心，因而半径为，故选：C．例2.半径为的球中有一个内接圆柱，圆柱的侧面积为，则圆柱的体积为    .【解析】如图，设圆柱的底面圆半径为，高为，则，解得，或.当时，圆柱的体积；当时，圆柱的体积，故答案为或.例3.已知圆台上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为，圆台的外接球的球心为，且球心在圆台的轴上，满足，则圆台的外接球的表面积为　　．【解析】设外接球的半径为，几何体的轴截面如图：，，且，得，解得，球的表面积为．故答案为：．三、配套练习1．底面半径为，母线长为2的圆锥的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】由题意，圆锥轴截面的顶角为，设该圆锥的底面圆心为，球的半径为，则，由勾股定理可得，，球的表面积为．故选：．2．设一圆锥的外接球与内切球的球心位置相同，且外接球的半径为2，则该圆锥的体积为　　A． B． C． D．【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆和外接圆，且两圆同圆心，即的内心与外心重合，易得为正三角形，由题意的半径为，的边长为，圆锥的底面半径为，高为3，．故选：．3．已知某圆锥的侧面积是其底面积的2倍，圆锥的外接球的表面积为，则该圆锥的体积为　　A． B． C． D．【解析】设圆锥的底面半径是，母线长为，圆锥的侧面积是其底面积的2倍，，解得，则圆锥的轴截面是正三角形，圆锥的外接球的表面积为，则外接球的半径，且外接球的球心是轴截面（正三角形）的外接圆的圆心即重心，三角形的高是，，解得，则圆锥的高为3，该圆锥的体积，故选：．4．如图所示的粮仓可近似为一个圆锥和圆台的组合体，且圆锥的底面圆与圆台的较大底面圆重合．已知圆台的较小底面圆的半径为1，圆锥与圆台的高分别为和3，则此组合体的外接球的表面积是　　A． B． C． D．【解析】设外接球半径为，球心为，圆台较小底面圆的圆心为，则：，而，故，，，故选：．5．一个圆柱被一个平面截成体积相等的两部分几何体，如图，其中一部分几何体的主视图为等腰直角三角形，俯视图是直径为2的圆，则该圆柱外接球的表面积是　　A．8 B． C． D．【解析】根据几何体的三视图：转换为几何体为圆柱的一半，故：圆柱的外接球的半径为：，故球的表面积为：．故选：故选：．6．已知一个圆柱的侧面展开图是边长为的正方形，则该圆柱的外接球表面积为　　A． B． C． D．【解析】如图，设圆柱的底面半径为，母线长为，则，即．该圆柱的外接球的半径．该圆柱的外接球表面积为．故选：．7．若一个圆柱的表面积为，则该圆柱的外接球的表面积的最小值为　　A． B． C． D．【解析】设圆柱的底面半径为，高为，则，则．设该圆柱的外接球的半径为，则，当且仅当，即时，等号成立．故该圆柱的外接球的表面积的最小值为．故选：．8．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，此圆锥的母线与底面所成角为，若此圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的4倍，则此圆柱的高是其底面半径的　　A．倍 B．2倍 C．倍 D．3倍【解析】设圆柱的高为，底面半径为，圆柱的外接球的半径为．则，圆锥的母线与底面所成角为．圆锥的高为，母线长，圆锥的侧面积为，，化简得：．故选：．9．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线与底面所成角为，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的6倍，则圆柱的高是其底面半径的　　倍A． B． C．4 D．6【解析】设圆锥与圆柱的底面半径为，圆柱的高为，则圆柱的外接球的表面积是，圆锥的母线与底面所成角为，圆锥的母线长为，故圆锥的侧面积是，由题意得：，故，即故选：．10．圆柱的底面直径和母线长均为2，则此圆柱的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】圆柱的底面半径与母线的一半都是1，圆柱外接球的半径为：．圆柱的外接球的表面积为：．故选：．11．《九章算术》是我国古代的数学名著，其中有很多对几何体体积的研究，已知某囤积粮食的容器的下面是一个底面积为，高为的圆柱，上面是一个底面积为，高为的圆锥，若该容器有外接球，则外接球的体积为　　A． B． C． D．【解析】如图所示，根据圆柱与圆锥和球的对称性知，其外接球的直径是，设圆柱的底面圆半径为，母线长为，则，解得，又，，解得，外接球的半径为，外接球的体积为．故选：．二．填空题（共12小题）12．已知一个圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则此圆锥外接球的体积是　　．【解析】如图，是等边三角形，其外接圆的半径就是圆锥外接球的半径，的边长是2，高，外接圆的半径是．故此圆锥外接球的体积为，故答案为．13．已知圆锥的顶点为，母线与底面所成的角为，底面圆心到的距离为1，则该圆锥外接球的表面积为　　．【解析】依题意得，圆锥底面半径，高．设圆锥外接球半径为，则，即，解得：．外接球的表面积为．故答案为：．14．已知圆锥的母线长为2，高为，则该圆锥的外接球的表面积是　　．【解析】圆锥的母线长为2，高为，该圆锥的底面半径为，由题意，圆锥轴截面的顶角为，设该圆锥的底面圆心为，球的半径为，由勾股定理可得，解得，球的表面积为．故答案为：．15．一个圆锥恰有三条母线两两夹角为，若该圆锥的侧面积为，则该圆锥外接球的表面积为　　．【解析】如图，设，则．设，则底面圆的直径为，该圆锥的侧面积为，解得，高．．设圆锥外接球的半径为，所以，解得，则外接球的表面积为．故答案为：．16．已知圆锥如图所示，底面半径为，母线长为，则此圆锥的外接球的表面积为　　．【解析】由圆锥的底面和外接球的截面性质可得外接球的球心在上，设球心为，球的半径为，则，圆，由底面半径为，母线长为，得，，，则有．解得，则．故答案为：．17．已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为8，则该圆锥外接球的表面积是　　．【解析】如图，设母线长为，，，，，，延长使，则为外接球球心，半径为4，表面积为，故答案为：．18．已知圆柱的高和底面半径均为2，则该圆柱的外接球的表面积为　　．【解析】圆柱的底面半径为2，则底面直径为4，又圆柱的高为2，则圆柱的轴截面是边长分别为4和2的矩形，如图：则圆柱的外接球的半径为．该圆柱的外接球的表面积为．故答案为：．19．已知圆柱的上底面圆周经过正三棱锥的三条侧棱的中点，下底面圆心为此三棱锥底面中心．若三棱锥的高为该圆柱外接球半径的2倍，则该三棱锥的外接球与圆柱外接球的半径的比值为　　【解析】设正三棱锥的底面边长为，高为，如图所示：则圆柱高为，底面圆半径为，利用勾股定理，可求得圆柱外接球半径．由，可求得．设正三棱锥的外接球的半径为，则球心到底面距离为，，利用勾股定理，可得，故，故答案为：．20．将一个长为，宽为2的矩形纸板，围成一个轴截面为正方形的圆柱的侧面，则圆柱外接球的体积为　　．【解析】由题意知，围成圆柱的底面圆周长为，则底面圆半径为，且圆柱的高为2，则圆柱外接球的直径为，所以，所以外接球的体积为．故答案为：．21．如图，将一个圆柱等分切割，再重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，当越大，重新组合的几何体就越接近于一个“长方体”，若新几何体的表面积比圆柱的表面积增加了8，则圆柱的侧面积为　　，在满足前面条件且圆柱外接球表面积最小时，它的外接球体积为　　．【解析】设圆柱的底面半径为，高，外接球半径，则即，所以圆柱的侧面积为，即，当且仅当时取等号，此时外接球的表面积最小．故答案为：；．22．有一个圆锥与一个圆柱的底面半径相等，圆锥的母线长是底面半径的2倍，若圆柱的外接球的表面积是圆锥的侧面积的6倍，则圆柱的高是底面半径的　　倍．【解析】设圆柱的高为，底面半径为，圆柱的外接球半径为，则；由母线长为，所以圆锥的高为，所以圆锥的侧面积为，即，化简得，所以，求得圆柱的高与底面半径的比为．故答案为：．