专题06 侧棱相等模型练习-新高考数学二轮热点专题之一网打尽空间几何体外接球模型

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专题06 侧棱相等模型（解析版）一、解题技巧归纳总结1．侧棱相等模型：如图，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点.    解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高(也是圆锥的高)；第三步：勾股定理：，解出.2． 正棱锥外接球半径： .二、典型例题例1.已知四棱锥的的侧棱长均为，底面是两邻边长分别为和的矩形，则该四棱锥外接球的表面积为（     ）A.           B.           C.         D.【解析】因为底面是矩形，所以矩形的对角线为截面圆的直径.由题意知该四棱锥外接球的球心在截面中的射影为的中点，此时，在中，由勾股定理得，解得.设该四棱锥外接球的半径为，则，所以在中，由勾股定理得，解得，所以外接球的表面积为.故选C.例2.体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，球心在此三棱锥内部，且，点为的中点，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是        .【解析】设，则，因为体积为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球面上，所以，解得.由，得或（舍），所以.由题意知点为的中点，在中，，解得，所以当截面垂直于时，截面圆的半径为，故截面圆面积的最小值是.例3.在三棱锥中， ，且，则该三棱锥外接球的表面积为________.【解析】设顶点在底面中的射影为，由于，所以，即点是底面的外心，又，所以为的中点，因为，所以，设外接球的球心为，半径为，则必在上，，在中，，解得，所以.例4.在三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（    ）A. B. C. D.【解析】如图7所示，过点作底面ABC的垂线，垂足为，设为外接球的球心，连接，因，，故，，又为直角三角形，，∴，∴，∴，∴.例5.如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是　　．【解析】显然正六棱锥的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2，又正六棱锥的高依题意可得为2，，斜高为：．依此可求得正六棱锥的侧面积：故答案为．三、配套练习1．在三棱锥中，，且，，两两互相垂直，则三棱锥的外接球的体积为　　A． B． C． D．【解析】以、、为过同一顶点的三条棱，作正方体如图，则正方体的外接球同时也是三棱锥外接球．正方体的对角线长为，球直径为，半径，因此，三棱锥外接球的体积为：故选：．2．在三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】过点作平面于，则是在平面内的射影，是直线与底面所成的角，得，中，，，设三棱锥外接球的球心为，，在平面内的射影是的外心由此可得，外接球心必定在上，连接、、中，，，可得，三棱锥外接球的半径，该三棱锥外接球的表面积为．故选：．3．在三棱锥中，，，且，则该三棱锥外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】由题意，点在底面上的射影是的中点，是三角形的外心，令球心为，，且，，又，如图在直角三角形中，，即则该三棱锥外接球的表面积为．故选：．4．在三棱锥中，，，且，则该三棱锥外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】在三棱锥中，由，得顶点在底面三角形的投影为底面三角形的外心，取的中点，则三棱锥的外接球的球心在它的高上， 设三棱锥的外接球的半径为，则，由题意可得，，在中，，解得，所以球的表面积．故选：．5．在三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的体积为　　A． B． C． D．【解析】如图，由，过作平面，垂足为，则为三角形的外心，在中，由，，可得，则由正弦定理可得：，即．．取中点，作交于，则为该三棱锥外接球的球心．由，可得，则．可知与重合，即该棱锥外接球半径为1．该三棱锥外接球的体积为．故选：．6．正三棱锥中，，，则该三棱锥外接球的体积为　　A． B． C． D．【解析】设等边三角形 的中心为，根据正三棱雉的几何性质以及外接球的性质可知球心 在三棱锥的高上，在等边三角形 中，延长交 于，则且 是 的中点．根据等边三角形的性质可知，所以，设外接球的半径为，则，即，解得，所以外接球的体积为．故选：．7．已知体积为的正三棱锥的外接球的球心为，若满足，则此三棱锥外接球的半径是　　A．2 B． C． D．【解析】正三棱锥的外接球的球心满足，说明三角形在球的大圆上，并且为正三角形，设球的半径为：，棱锥的底面正三角形的高为：底面三角形的边长为：正三棱锥的体积为：解得，则此三棱锥外接球的半径是故选：．8．正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为　　A． B． C． D．【解析】如图所示，过作平面，垂足为，则为三角形的外心，由题意可知，，因为侧棱与底面成角，即，所以，中，，解可得，则正三棱锥的外接球的体积．故选：．9．如图，在三棱锥中，、分别是棱、的中点，且，若，则此正三棱锥外接球的体积是　　A． B． C． D．【解析】三棱锥正棱锥，（对棱互相垂直）又而，平面即平面，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球．侧棱长为：2，，正三棱锥外接球的体积是．故选：．10．已知正四棱锥中，，且所有的棱长相等，则该四棱锥的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】如图，设正四棱锥底面的中心为，设外接球的球心为，则在正四棱锥的高上．在直角三角形中，，，则高，则，，在直角三角形中，，解得，即与重合，即正四棱锥外接球的球心是它的底面的中心，且球半径，球的表面积，故选：．11．已知正四棱锥中，底面边长为2，侧棱长为，则该四棱锥外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】过点作平面，则球心在直线上，设球心为，外接球半径为，如图所示：，四棱锥为正四棱锥，点为与的交点，，在中，，，，在中：，，，，解得，该四棱锥外接球的表面积，故选：．12．如图所示，正方形的边长为2，切去阴影部分围成一个正四棱锥，则当正四棱锥体积最大时，该正四棱锥外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】由题意，正方形的边长为2，可得对角线的一半为，折成正四棱锥后，设正四棱锥边长为，高为，可得：，．正四棱锥体积最大时，即．由，则，令，可得，即当体积取得最大值；．正四棱锥底面正方形外接圆．正四棱锥外接球的半径，可得解得：正四棱锥外接球的表面积．故选：．13．已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为，则这个四棱锥的外接球的体积为　　A． B． C． D．【解析】如图，设正四棱锥底面的中心为，则在直角三角形中，，，在直角三角形中，，正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为2，正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心，且球半径，球的体积故选：．14．已知正六棱锥的底面边长为，体积为，则其外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】如图是正六棱锥的六分之一，为高，为外接球球心，，得，得，设，在直角三角形中，，解得，．故选：．15．已知是等腰直角三角形，斜边，是平面外的一点，且满足，，则三棱锥外接球的表面积为　　．【解析】，棱锥顶点在底面投影为的外心，则的外接圆半径等于三棱锥外接球半径，是等腰直角三角形，斜边，，外接圆半径，则三棱锥外接球的半径，故三棱锥外接球的表面积．故答案为：．16．在中，，，，为外一点，满足，则三棱锥的外接球的半径为　　．【解析】在中，，，，所以，为外一点，满足，则平面，球心为上一点，如图所示：所以：，设球的半径为，所以，解得：．故答案为：17．如图，在四面体中，，点是点在平面上的投影，且，则四面体的外接球的体积为　　．【解析】在四面体中，，点是点在平面上的投影，且，，设，则，．，，，，，如图，设为四面体的外接球的球心，则，，，解得，四面体的外接球的体积为．故答案为：．18．在三棱锥中，，，．顶点在平面内的射影为，若且，则三棱锥的外接球的体积为　　．【解析】由于三棱锥的顶点在平面内的射影为点，为球心，，即，①同理对①两边取点乘，可得，②又③由①②③解得，舍去），，，，又在直角三角形中，，解得，则有球的体积．故答案为：．19．．在三棱锥中，，，且，则该三棱锥外接球的表面积为　　．【解析】取中点，连结，，在三棱锥中，，，且，，，由勾股定理可得：，，平面，，该三棱锥外接球的球心在上，设球半径为，则，，解得，该三棱锥外接球的表面积为．故答案为：．20．三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，，平面，则三棱锥外接球的表面积为　　．【解析】由题意，底面是边长为的等边三角形，，平面，把三棱锥放到正方体中，可得是正方体的三个平面对角线．可得：正方体的边长为1；三棱锥外接球半径．球的表面积为：．故答案为：．21．在三棱锥中，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为　　．【解析】如图所示：，，又，，，则，为直角三角形，外接圆的圆心在边的中点上，设外接圆的圆心为，所以三棱锥的外接球的球心在过且与平面垂直的直线上，设外接球半径为，连接，，则，所以要使，点在的外接圆圆心的位置即可，又，，，则，由正弦定理可得：，解得：，三棱锥的外接球的表面积为：，故答案为：．22．在三棱锥中，已知，，，则三棱锥外接球的表面积为　　．【解析】如图，作平面，垂足为，连结，，．因为，，所以平面，故，同理得，故为的垂心．又因为，故，故为的外心．故为等边三角形，因此，解得，故，设三棱锥的外接球的半径为，则，解得，故外接球表面积为．故答案为：．23．如图所示，已知四棱锥的底面为正方形，且，，则四棱锥外接球的体积为　　．【解析】取与交点，记为，连接，由对称性可知底面，且外接球球心必在上．设外接球半径为，球心为，做出剖面图如图所示：则在中，由勾股定理有，解得因此，外接球的体积为．24．已知三棱锥中，为等边三角形，，，则三棱锥的外接球的体积为　　．【解析】如图所示：三棱锥，为正方体所截得的三棱锥，所以三棱锥的外接球，即为正方体的外接球，则其外接球半径为，所以外接球的体积为：．故答案为：．25．已知三棱锥中，，是边长为2等边三角形，侧棱与底面所成夹角的余弦值为，则该三棱锥外接球的表面积为　　．【解析】过点作平面于，则是在平面内的射影是直线与底面所成的角，得，是边长为2等边三角形，，中，，，，，互相垂直，将三棱锥扩充为正方体，其外接球为三棱锥外接球，正方体的对角线长为，三棱锥外接球的半径，因此该三棱锥外接球的表面积为．故答案为：．26．已知三棱锥的顶点在平面内的射影为点，侧棱，点为三棱锥的外接球的球心，，，已知，且，则球的表面积为　　．【解析】由于三棱锥的顶点在平面内的射影为点，为球心，，即有，，，由，①则有，即有，②同理对①两边取点乘，可得，③又④由②③④解得，，，，即有．即有，即为，又，即，⑤又在直角三角形中，，即有⑥由⑤⑥解得，则有球的表面积．故答案为：．27．已知是等腰直角三角形，斜边，是平面外的一点，且满足，，则三棱锥外接球的半径为　　；该球体积为　　．【解析】如图所示，由，所以三棱锥顶点在底面投影为的外心，又是等腰直角三角形，斜边，所以是的中点，则；由球的对称性知的外接圆半径等于三棱锥外接球半径，在中，，，由正弦定理得，，所以外接圆半径，即三棱锥外接球的半径为；所以三棱锥外接球的体积为．故答案为：，．28．在正三棱锥中，侧棱侧面，侧棱，则此正三棱锥的外接球的表面积为　　．【解析】三棱锥正棱锥且侧棱侧面，，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，，，（3），故答案为：．29．在六棱锥中，底面是边长为的正六边形，且与底面垂直，则该六棱锥外接球的体积等于　　．【解析】六棱锥中，底面是边长为的正六边形，且与底面垂直，可得是该六棱锥外接球的直径，底面是边长为的正六边形的对角线差为：，可得，外接球的半径为：，外接球的体积为：．故答案为：30．已知正六棱锥，，，则该六棱锥的外接球的表面积为　　．【解析】如图，设点是正六边形的中心，则，由，得，正六棱锥的外接球球心在所在的直线上，设，则，，解得，外接球半径，该六棱锥的外接球的表面积为：．故答案为：．