专题01 长方体模型练习-新高考数学二轮热点专题之一网打尽空间几何体外接球模型

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专题01 长方体模型（解析版）一、解题技巧归纳总结1．正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．2．长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．3．补成长方体（1）若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．（2）若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示． （3）正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示． （4）若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1          图2             图3          图4二、典型例题例1.设正方体的棱长为，则它的外接球的表面积为（    ）A． B． C． D．【解析】设正方体的棱长为，正方体外接球的半径为，则由正方体的体对角线的长就是外接球的直径的大小可知：，即；所以外接球的表面积为：．故选：C．例2.一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为的球面上．如果正四棱柱的底面边长为，那么该棱柱的表面积为　      　．       【解析】由一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为的球面上．正四棱柱的对角线的长为球的直径，现正四棱柱底面边长为，设正四棱柱的高为，，解得，那么该棱柱的表面积为．故答案为：例3.一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球的表面积为          ．            【解析】长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即，由．故答案为：.例4.已知三棱锥的顶点都在同一个球面上（球，且，，当三棱锥的三个侧面的面积之和最大时，该三棱锥的体积与球的体积的比值是　    　．【解析】由题意三棱锥的三条侧棱、、两两互相垂直，三棱锥的三个侧面的面积之和最大，三棱锥的外接球就是它扩展为长方体的外接球，求出长方体的对角线的长：所以球的直径是4，半径为2，所以三棱锥的体积，球的体积：，所以该三棱锥的体积与球的体积的比值是．故答案为：．三、配套练习1．张衡年年）是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家．他的数学著作有《算罔论》，他曾经得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点，，若线段的最小值为，利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为　　A．30 B． C． D．36【解析】设正方体的棱长为，正方体的内切球半径为，正方体的外接球半径满足：，则，由题意知：，所以，，该正方体的外接球的表面积为，又因为圆周率的平方除以十六等于八分之五，即，所以，所以外接球的表面积为．故选：．2．棱长为2的正方体的外接球的体积为　　A．8 B． C． D．【解析】正方体的体对角线，就是正方体的外接球的直径，所以球的直径为：所以球的半径为：，正方体的外接球的体积．故选：．3．已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的表面积为　　A． B． C． D．32【解析】正方体外接球的体积是，则外接球的半径，所以正方体的对角线的长为4，棱长等于，所以正方体的表面积为，故选：．4．已知正方体的外接球的体积是，则这个正方体的体积是　　A． B． C． D．【解析】正方体的外接球的体积是，正方体的外接球的半径，设这个正方体的棱长为，则，解得，这个正方体的体积．故选：．5．已知长方体的表面积为208，，则该长方体的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】设长方体的三条棱长分别为，，．由题意可得：，．，设该长方体的外接球的半径为，则．其表面积．故选：．6．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】在长方体中，，与平面所成的角为，平面，是与平面所成的角，，，，，该长方体的外接球的半径：，该长方体的外接球的表面积为：．故选：．7．在长方体中，，，则该长方体的外接球的表面积为　　A． B． C． D．【解析】由题意可知，长方体的对角线长为，则该长方体的外接球的半径为，因此，该长方体的外接球的表面积为．故选：．8．已知长方体的体积，，若四面体的外接球的表面积为，则的最小值为　　A． B． C． D．【解析】设，，由于，所以．根据长方体的对称性可知四面体的外接球的即为长方体的外接球，所以，所以（当且仅当，等号成立）．故选：．9．若正方体的外接球的体积为，则此正方体的棱长为　2　．【解析】设球的半径为，则，解得：．另设正方体的棱长为，则，解得．故答案为：2．10．若某正方体的表面积为6，则该正方体的外接球的体积为　　．【解析】正方体的表面积为6，正方体的棱长为1，体对角线的长度为，外接球的直径为，所以外接球的体积为，故答案为：．11．已知正方体的外接球的体积为，则该正方体的体积为　8　．【解析】设正方体的棱长为，且正方体外接球的直径为，则，解得；所以外接球的体积为，解得，所以该正方体的体积为．故答案为：8．12．正方体的棱长为，则此正方体的外接球的体积为　　．【解析】正方体的棱长为，正方体的对角线长为，则此正方体的外接球的半径为3，此正方体的外接球的体积为．故答案为：．13．将一个长宽分别，的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围为　　．【解析】设减去的正方形边长为，其外接球直径的平方求导得因为有属于所以故答案为：．14．如图，长方体中，其中，，外接球球心为点，外接球体积为，若的最小值为，则，两点的球面距离为　　．【解析】设、两点在该球面上的球面距离为，外接球体积为，，球的直径即为长方体的对角线长，即，若的最小值为，，在等腰三角形中，球心角，利用球面距离公式得出：故答案为：．15．已知矩形的周长为18，把它沿图中的虚线折成正四棱柱，则这个正四棱柱的外接球表面积的最小值为　　．【解析】设正四棱柱的底面边长为，高为，则，，正四棱柱的外接球半径为，当且仅当时，半径的最小值，外接球的表面积的最小值为．故答案为．