高考物理一轮复习第4章曲线运动万有引力与航天第6课时天体运动与人造卫星学案

第6课时　天体运动与人造卫星

1．三种宇宙速度

2．地球同步卫星的特点

(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。

(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s。

(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。

(4)高度一定：据G＝mr得r＝≈4.24×104  km，卫星离地面高度h＝r－R≈3.6×104 km(为恒量)。

(5)速率一定：运行速度v＝≈3.08 km/s(为恒量)。

(6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。

3．极地卫星和近地卫星

(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。

(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。

[基础自查]

1．判断正误

(1)同步卫星可以定点在北京市的正上方。(×)

(2)不同的同步卫星的质量不同，但离地面的高度是相同的。(√)

(3)第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最小速度。(×)

(4)第一宇宙速度的大小与地球质量有关。(√)

(5)月球的第一宇宙速度也是7.9 km/s。(×)

(6)同步卫星的运行速度一定小于地球第一宇宙速度。(√)

(7)若物体的速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，则物体可绕太阳运行。(√)

2．(2021年1月新高考8省联考·江苏卷)2020年12月3日，嫦娥五号上升器携带月壤样品成功回到预定环月轨道，这是我国首次实现地外天体起飞。环月轨道可以近似为圆轨道，已知轨道半径为r，月球质量为M，引力常量为G。则上升器在环月轨道运行的速度为(　　)

A.           B.

C.          D.

解析：选D　根据卫星绕月球做圆周运动的向心力等于万有引力，则G＝m，解得v＝ ，故选项D正确。

3．(多选)可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道(　　)

A．与地球表面上某一纬线(非赤道)是共面同心圆

B．与地球表面上某一经线所决定的圆是共面同心圆

C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的

D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的

解析：选CD　人造地球卫星在运行时，由于地球对卫星的万有引力提供它做匀速圆周运动的向心力，轨道的圆心一定与地球的中心重合，不可能是地球上除地心以外的某一点，选项A错误；由于地球同时绕地轴自转，所以卫星的轨道平面不可能与某一经线所决定的平面共面，B错误；若卫星在赤道平面内，则其圆轨道可以有不同高度，周期也可以不同，故卫星可以相对地面静止，也可以相对地面运动，选项C、D均正确。

4．(多选)北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS)，建立后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星。关于这些卫星，以下说法正确的是(　　)

A．5颗同步卫星的轨道半径都相同

B．5颗同步卫星的运行轨道必定在同一平面内

C．导航系统所有卫星的运行速度一定都大于第一宇宙速度

D．导航系统所有卫星中，运行轨道半径越大的，周期越小

解析：选AB　所有同步卫星的轨道都位于赤道平面内，轨道半径和运行周期都相同，A、B均正确；由v＝ 可知，导航系统所有卫星运行的速度都小于第一宇宙速度，且运行轨道半径越大，周期越大，C、D均错误。

考点一　宇宙速度的理解与计算

1．第一宇宙速度的推导

方法一：由G＝m 得v1＝ ≈7.9×103  m/s。

方法二：由mg＝m 得v1＝≈7.9×103  m/s。

第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，Tmin＝2π  ≈5 075 s≈85  min。

2．宇宙速度与运动轨迹的关系

(1)v发＝7.9 km/s时，卫星在地球表面绕地球做匀速圆周运动(近地卫星)。

(2)7.9 km/s＜v发＜11.2 km/s时，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆。

(3)11.2 km/s≤v发＜16.7 km/s时，卫星绕太阳做椭圆运动。

(4)v发≥16.7 km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。

[典例]　(多选)在星球表面发射探测器，当发射速度为v时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到v时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球。已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1，下列说法正确的有(　　)

A．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大

B．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大

C．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等

D．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大

[解析]　探测器在星球表面做匀速圆周运动时，由G＝m，得v＝，则摆脱星球引力时的发射速度v＝，与探测器的质量无关，选项A错误；设火星的质量为M，半径为R，则地球的质量为10M，半径为2R，地球对探测器的引力F1＝G＝，比火星对探测器的引力F2＝G大，选项B正确；探测器脱离地球时的发射速度v1＝＝ ，脱离火星时的发射速度v2＝ ，v2＜v1，选项C错误；探测器脱离星球的过程中克服引力做功，势能逐渐增大，选项D正确。

[答案]　BD

[集训冲关]

1．某星球的质量是地球质量的4倍，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度的(忽略该星球与地球的自转)，该星球的第一宇宙速度与地球第一宇宙速度的比值为(　　)

A．1∶1  B．2∶1

C．1∶2  D．4∶1

解析：选A　设地球质量为M，则星球质量为4M，设地球表面重力加速度为g，则星球表面的重力加速度是g；由万有引力提供向心力做匀速圆周运动得：G＝mg，解得：＝4。根据卫星的第一宇宙速度公式v＝ ，分别代入地球和星球的各物理量，得：＝。

2.如图为天文学家公布的首张黑洞的照片，黑洞的发现是由全球200多位科学家，历时十年、从全球四大洲8个观测点共同合作完成的成果，这也表明当今世界合作才会共赢，单边主义只会越走越窄。黑洞是一个非常致密的天体，会形成强大的引力场，连光也无法逃脱。某黑洞中心天体的质量是太阳的50亿倍，太阳质量为2×1030 kg，光在真空中的传播速度c＝3×108 m/s，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，请估算该黑洞最大半径的数量级为(　　)

A．109 m  B．1010 m

C．1011 m  D．1013 m

解析：选D　设黑洞的可能半径为R，质量为M，根据第二宇宙速度的定义，结合第一宇宙速度可知，须满足 >c，即有R<，所以黑洞的可能最大半径：Rmax＝ m＝1.5×1013 m，故D正确，A、B、C错误。

考点二　卫星运行参量的分析与比较

[典例]　(2019·天津高考)2018年12月8日，肩负着亿万中华儿女探月飞天梦想的嫦娥四号探测器成功发射，“实现人类航天器首次在月球背面巡视探测，率先在月背刻上了中国足迹”。已知月球的质量为M、半径为R，探测器的质量为m，引力常量为G，嫦娥四号探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动时，探测器的(　　)

A．周期为   B．动能为

C．角速度为   D．向心加速度为

[解析]　探测器绕月运动由万有引力提供向心力，对探测器，由牛顿第二定律得，G＝m2r，解得周期T＝；由G＝m 知，动能Ek＝mv2＝；由G＝mrω2得，角速度ω＝；由G＝ma得，向心加速度a＝。所以A正确，B、C、D错误。

[答案]　A

利用万有引力定律解决卫星运动问题的技巧

(1)一个模型：卫星(包括天体)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型。

(2)两组公式：①G＝m＝mω2r＝mr＝ma

②mg＝(g为天体表面处的重力加速度)。

(3)a、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径和中心天体质量共同决定，所有参量的比较，最终归结到半径的比较。　　

 [集训冲关]

1．(2020·浙江7月选考)火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3∶2，则火星与地球绕太阳运动的(　　)

A．轨道周长之比为2∶3

B．线速度大小之比为∶

C．角速度大小之比为2∶3

D．向心加速度大小之比为9∶4

解析：选C　火星与地球轨道周长之比等于公转轨道半径之比，A项错误；火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由G＝ma＝m＝mω2r，解得a＝，v＝ ，ω＝，所以火星与地球线速度大小之比为∶，B项错误；角速度大小之比为2∶3，C项正确；向心加速度大小之比为4∶9，D项错误。

2．(2020·天津等级考)北斗问天，国之夙愿。我国北斗三号系统的收官之星是地球静止轨道卫星，其轨道半径约为地球半径的7倍。与近地轨道卫星相比，地球静止轨道卫星(　　)

A．周期大  B．线速度大

C．角速度大  D．加速度大

解析：选A　近地轨道卫星的轨道半径稍大于地球半径，由万有引力提供向心力，可得G＝m，解得线速度v＝，由于地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地轨道卫星的轨道半径，所以地球静止轨道卫星的线速度较小，选项B错误；由万有引力提供向心力，可得G＝mr2，解得周期T＝2π ，所以地球静止轨道卫星的周期较大，

选项A正确；由ω＝，可知地球静止轨道卫星的角速度较小，选项C错误；由万有引力提供向心力，可得G＝ma，解得加速度a＝G，所以地球静止轨道卫星的加速度较小，选项D错误。

3．(2020·江苏高考)(多选)甲、乙两颗人造卫星质量相等，均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍。下列应用公式进行的推论正确的有(　　)

A．由v＝可知，甲的速度是乙的 倍

B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍

C．由F＝可知，甲的向心力是乙的

D．由＝k可知，甲的周期是乙的2 倍

解析：选CD　两卫星均绕地球做圆周运动，甲的轨道半径是乙的2倍，由＝，可得v＝ ，则乙的速度是甲的倍，选项A错误；由ma＝，可得a＝，则乙的向心加速度是甲的4倍，选项B错误，由F＝，结合两人造卫星质量相等，可知甲的向心力是乙的，选项C正确；两卫星均绕地球做圆周运动，且甲的轨道半径是乙的2倍，结合开普勒第三定律可知，甲的周期是乙的2 倍，选项D正确。

考点三　卫星的变轨问题

1．卫星发射及变轨过程概述

人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。

(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。

(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。

(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆轨道Ⅲ。

2．三轨道运行物理量的大小比较

(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。

(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过B点时的加速度也相同。

(3)周期：设卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k，可知T1＜T2＜T3。

[典例]　(2021年1月新高考8省联考·广东卷)2020年12月17日，嫦娥五号成功返回地球，创造了我国到月球取土的伟大历史。如图所示，嫦娥五号取土后，在P处由圆形轨道Ⅰ变轨到椭圆轨道Ⅱ，以便返回地球。下列说法正确的是(　　)

A．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均超重

B．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时机械能相等

C．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时速率相等

D．嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时加速度大小相等

[解析]　嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行时均处于失重状态，故A错误。嫦娥五号在轨道Ⅰ上经过P点时经加速后进入轨道Ⅱ运行，故嫦娥五号在轨道Ⅰ运行至P处时的速率小于在轨道Ⅱ运行至P处时的速率；加速过程有外力对嫦娥五号做功，则机械能增大，故B、C错误。根据G＝ma得a＝，可知嫦娥五号在轨道Ⅰ和Ⅱ运行至P处时加速度大小相等，故D正确。

[答案]　D

 [规律方法]　卫星变轨的实质

[集训冲关]

1．(多选)如图，虚线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道，其中轨道Ⅰ为与第一宇宙速度7.9 km/s对应的近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅲ为与第二宇宙速度11.2 km/s对应的脱离轨道，a、b、c三点分别位于三条轨道上，b点为轨道Ⅱ的远地点，b、c点与地心的距离均为轨道Ⅰ半径的2倍，则(　　)

A．卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道Ⅰ的2倍

B．卫星经过a点的速率为经过b点的 倍

C．卫星在a点的加速度大小为在c点的4倍

D．质量相同的卫星在b点的机械能小于在c点的机械能

解析：选CD　由开普勒第三定律可得：＝，解得：＝，故A错误；由公式v＝，如果卫星在过b点的圆轨道做圆周运动，卫星经过a点的速率为经过b点的倍，但卫星在b点经过减速才能变做椭圆运动，所以卫星经过a点的速率不是经过b点的倍，故B错误；由向心加速度公式a＝可知，卫星在a点的加速度大小为在c点的4倍，故C正确；卫星越高，发射过程中要克服引力做功越多，又卫星在Ⅱ轨道上运行时机械能守恒，所以质量相同的卫星在b点的机械能小于在c点的机械能，故D正确。

2．我国成功发射“天宫二号”空间实验室，然后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接，如图所示，假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(　　)

A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接

B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接

C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接

解析：选C　飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间实验室的对接，选项A错误；同理，空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室将做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船做离心运动，逐渐靠近空间实验室，可实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能实现对接，选项D错误。

3.如图是一次卫星发射过程，先将卫星发射进入绕地球的较低圆形轨道Ⅰ，然后在a点使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ，再在椭圆轨道的远地点b使卫星进入同步轨道Ⅲ，则下列说法正确的是(　　)

A．卫星在轨道Ⅰ的速率小于卫星在轨道Ⅲ的速率

B．卫星在轨道Ⅰ的周期大于卫星在轨道Ⅲ的周期

C．卫星运动到轨道Ⅰ的a点时，需减速才可进入轨道Ⅱ

D．卫星运动到轨道Ⅱ的b点时，需加速才可进入轨道Ⅲ

解析：选D　根据G＝m得，v＝ ，又同步轨道Ⅲ的半径大于近地轨道Ⅰ的半径，则卫星在轨道Ⅰ的速率大于卫星在轨道Ⅲ的速率，故A项错误；根据开普勒第三定律，＝k可知，轨道半径或椭圆的半长轴越大的，周期越大，因此卫星在轨道Ⅰ的周期小于卫星在轨道Ⅲ的周期，故B项错误；卫星从近地圆轨道上的a点需加速，使得万有引力小于需要的向心力，进入椭圆转移轨道Ⅱ，故C项错误；卫星从轨道Ⅱ上的b点需加速，使得万有引力等于需要向心力，进入轨道Ⅲ，故D项正确。

考点四　宇宙双星、多星模型

题型1　双星模型

双星模型的运行特点：

1．两颗行星做匀速圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力提供的，故两行星做匀速圆周运动的向心力大小相等。

2．两颗行星均绕它们连线上的一点做匀速圆周运动，因此它们的运行周期和角速度是相等的。

3．两颗行星做匀速圆周运动的半径r1和r2与两行星间距L的大小关系：r1＋r2＝L。

 [例1]　(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)

A．质量之积  B．质量之和

C．速率之和  D．各自的自转角速度

[解析]　两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示：

每秒转动12圈，角速度已知，

中子星运动时，由万有引力提供向心力得

G＝m1ω2r1①

G＝m2ω2r2②

l＝r1＋r2③

由①②③式得＝ω2l，所以m1＋m2＝，

质量之和可以估算。

由线速度与角速度的关系v＝ωr得v1＝ωr1④

v2＝ωr2⑤

由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算。

质量之积和各自的自转角速度无法求解。

[答案]　BC

三星模型的运行特点：

1.如图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动。这三颗行星始终位于同一直线上，中心行星受力平衡。转动的行星由其余两颗行星的引力提供向心力：＋＝ma。两颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。

2.如图所示，三颗质量相等的行星位于一正三角形的顶点处，都绕三角形的中心做圆周运动。每颗行星运行所需向心力都由其余两颗行星对其万有引力的合力来提供。

×2×cos 30°＝ma，其中L＝2rcos 30°。

三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。题型2　三星模型

[例2]　(多选)太空中存在一些离其他恒星很远的、由三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是直线三星系统——三颗星体始终在一条直线上；另一种是三角形三星系统——三颗星体位于等边三角形的三个顶点上。已知某直线三星系统A每颗星体的质量均为m，相邻两颗星体中心间的距离都为R；某三角形三星系统B的每颗星体的质量恰好也均为m，且三星系统A外侧的两颗星体与三星系统B每颗星体做匀速圆周运动的周期相等。引力常量为G，则(　　)

A．三星系统A外侧两颗星体运动的线速度大小为v＝

B．三星系统A外侧两颗星体运动的角速度大小为ω＝

C．三星系统B的运动周期为T＝4πR

D．三星系统B任意两颗星体中心间的距离为L＝ R

[解析]　对三星系统A，由＋＝m，可得v＝ ，T＝＝4πR ，ω＝＝ ，而三星系统B的运行周期与三星系统A外侧星体的运行周期相同，故TB＝4πR ，选项A错误，B、C正确。对三星系统B：由2×cos 30°＝m·，可解得：L＝ R，选项D正确。

[答案]　BCD

题型3　四星模型

四星模型的运行特点：

1．如图所示，四颗质量相等的行星位于正方形的四个顶点上，沿外接于正方形的圆轨道做匀速圆周运动。

×2×cos 45°＋＝ma，

其中r＝L。

四颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等。

2．如图所示，三颗质量相等的行星位于正三角形的三个顶点，另一颗恒星位于正三角形的中心O点，三颗行星以O点为圆心，绕正三角形的外接圆做匀速圆周运动。

×2×cos 30°＋＝ma，

其中L＝2rcos 30°。

外围三颗行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小均相等。

[例3]　宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用。设四星系统中每颗星的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上。已知引力常量为G。关于宇宙四星系统，下列说法错误的是(　　)

A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动

B．四颗星的轨道半径均为

C．四颗星表面的重力加速度均为

D．四颗星的周期均为2πa

[解析]　其中一颗星在其他三颗星的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为a，故A正确，B错误；在每颗星表面，根据万有引力近似等于重力，可得G＝m′g，解得g＝，故C正确；由万有引力定律和向心力公式得＋＝m·，解得T＝2πa ，故D正确。

[答案]　B