2021高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天专题强化五天体运动的“三类热点”问题学案作业（含解析）新人教版

专题强化五　天体运动的“三类热点”问题

专题解读1.本专题是万有引力定律在天体运行中的特殊运用，同步卫星是与地球表面相对静止的卫星；而双星或多星模型有可能没有中心天体，近年来常以选择题形式在高考题中出现．

2．学好本专题有助于学生更加灵活地应用万有引力定律，加深对力和运动关系的理解．

3．需要用到的知识：牛顿第二定律、万有引力定律、圆周运动规律等．

1．卫星的轨道

(1)赤道轨道：卫星的轨道在赤道平面内，同步卫星就是其中的一种．

(2)极地轨道：卫星的轨道过南、北两极，即在垂直于赤道的平面内，如极地气象卫星．

(3)其他轨道：除以上两种轨道外的卫星轨道．

所有卫星的轨道平面一定通过地球的球心．

2．同步卫星问题的“四点”注意

(1)基本关系：G＝ma＝m＝mrω2＝mr.

(2)重要手段：构建物理模型，绘制草图辅助分析．

(3)物理规律：

①不快不慢：具有特定的运行线速度、角速度和周期．

②不高不低：具有特定的位置高度和轨道半径．

③不偏不倚：同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，只能在赤道上方特定的点运行．

(4)重要条件：

①地球的公转周期为1年，其自转周期为1天(24小时)，地球半径约为6.4×103km，地球表面重力加速度g约为9.8m/s2.

②月球的公转周期约27.3天，在一般估算中常取27天．

③人造地球卫星的运行半径最小为r＝6.4×103km，运行周期最小为T＝84.8min，运行速度最大为v＝7.9km/s.

3．两个向心加速度

4.两种周期

(1)自转周期是天体绕自身某轴线转动一周所需的时间，取决于天体自身转动的快慢．

(2)公转周期是运行天体绕中心天体做圆周运动一周所需的时间，T＝2π，取决于中心天体的质量和运行天体到中心天体的距离．

例1　(2019·安徽宣城市第二次模拟)有a、b、c、d四颗地球卫星，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b在地面附近近地轨道上正常运动，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图1，则有(　　)

图1

A．a的向心加速度等于重力加速度g

B．b在相同时间内转过的弧长最长

C．c在4h内转过的圆心角是

D．d的运动周期有可能是20h

答案　B

解析　同步卫星的周期、角速度与地球自转周期、角速度相同，则知a与c的角速度相同，根据a＝ω2r知，c的向心加速度大于a的向心加速度．由G＝mg，解得：g＝，卫星的轨道半径越大，向心加速度越小，则c的向心加速度小于b的向心加速度，而b的向心加速度约为g，则a的向心加速度小于重力加速度g，故A错误；由G＝m，解得：v＝，卫星的半径r越大，速度v越小，所以b的速度最大，在相同时间内转过的弧长最长，故B正确；c是地球同步卫星，周期是24h，则c在4h内转过的圆心角是×4＝，故C错误；由开普勒第三定律＝k可知：卫星的半径r越大，周期T越大，所以d的运动周期大于c的周期24h，即不可能是20h，故D错误．

变式1　(多选)(2019·甘肃兰州市第一次诊断)中国北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，是继美国全球定位系统(GPS)、俄罗斯格洛纳斯卫星导航系统、欧洲伽利略卫星导航系统之后第四个成熟的卫星导航系统.2018年12月27日北斗三号基本系统完成建设，即日起提供全球服务．在北斗卫星导航系统中，有5颗地球静止轨道卫星，它们就好像静止在地球上空的某一点．对于这5颗静止轨道卫星，下列说法正确的是(　　)

A．它们均位于赤道正上方

B．它们的周期小于近地卫星的周期

C．它们离地面的高度都相同

D．它们必须同时正常工作才能实现全球通讯

答案　AC

解析　所有地球静止轨道卫星的位置均位于赤道正上方，故A项正确；地球静止轨道卫星的轨道半径大于近地卫星的轨道半径，据开普勒第三定律知，地球静止轨道卫星的周期大于近地卫星的周期，故B项错误；据G＝m()2r知，地球静止轨道卫星的轨道半径相同，离地面的高度相同，故C项正确；同步卫星离地高度较高，有三颗地球静止轨道卫星工作就能实现全球通讯，故D项错误．

1．变轨原理

(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．如图2所示．

图2

(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.

(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.

2．变轨过程分析

(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB.

(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同．

(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3.

(4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3.

例2　(2019·辽宁大连市第二次模拟)2018年12月12日，在北京飞控中心工作人员的精密控制下，“嫦娥四号”开始实施近月制动，成功进入环月圆轨道Ⅰ.12月30日成功实施变轨，进入椭圆着陆轨道Ⅱ，为下一步月面软着陆做准备．如图3所示，B为近月点，A为远月点．关于“嫦娥四号”卫星，下列说法正确的是(　　)

图3

A．卫星在轨道Ⅱ上A点的加速度大于在B点的加速度

B．卫星沿轨道Ⅰ运动的过程中，卫星中的科考仪器处于超重状态

C．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，机械能增加

D．卫星在轨道Ⅱ经过A点时的动能小于在轨道Ⅱ经过B点时的动能

答案　D

解析　根据万有引力提供向心力有：G＝ma，B点距月心更近，所以加速度更大，A错误；在轨道Ⅰ运动的过程中，万有引力全部提供向心力，所以处于失重状态，B错误；卫星从高轨道变轨到低轨道，需要点火减速，近心运动到低轨道，所以从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，外力做负功，机械能减小，C错误；从A点到B点，万有引力做正功，动能增大，所以B点动能大，D正确．

变式2　(2019·山东潍坊市二模)如图4所示，绕月空间站绕月球做匀速圆周运动，航天飞机仅在月球引力作用下沿椭圆轨道运动，M点是椭圆轨道的近月点，为实现航天飞机在M点与空间站对接，航天飞机在即将到达M点前经历短暂减速后与空间站对接．下列说法正确的是(　　)

图4

A．航天飞机沿椭圆轨道运行的周期大于空间站的周期

B．航天飞机在对接前短暂减速过程中，机内物体处于完全失重状态

C．航天飞机与空间站对接前后机械能增加

D．航天飞机在对接前短暂减速过程中机械能不变

答案　A

解析　因航天飞机沿椭圆轨道运行的半长轴大于空间站运动的圆轨道半径，根据开普勒第三定律可知，航天飞机沿椭圆轨道运行的周期大于空间站的周期，选项A正确；航天飞机在对接前接近月球的短暂减速过程中，加速度方向背离月球，则机内物体处于超重状态，选项B错误；航天飞机与空间站对接前后因速度不变，则机械能守恒，选项C错误；航天飞机在对接前短暂减速过程要克服阻力做功，则机械能减小，选项D错误．

变式3　(多选)(2019·湖南娄底市下学期第二次模拟)如图5所示，设地球半径为R，假设某地球卫星在距地球表面高度为h的圆形轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，运行周期为T，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近地点B时，再次点火进入近地轨道Ⅲ绕地球做匀速圆周运动，引力常量为G，不考虑其他星球的影响，则下列说法正确的是(　　)

图5

A．该卫星在轨道Ⅲ上B点的速率大于在轨道Ⅱ上A点的速率

B．卫星在圆轨道Ⅰ和圆轨道Ⅲ上做圆周运动时，轨道Ⅰ上动能小，引力势能大，机械能小

C．卫星从远地点A向近地点B运动的过程中，加速度变小

D．地球的质量可表示为

答案　AD

解析　在轨道Ⅰ上A点时点火减速变轨进入椭圆轨道Ⅱ，所以在轨道Ⅰ上A点速率大于在轨道Ⅱ上A点的速率，在轨道Ⅲ上B的速率大于在轨道Ⅰ上A点的速率，即在轨道Ⅲ上B点的速率大于在轨道Ⅱ上A点的速率，故A正确；从轨道Ⅰ到轨道Ⅲ，引力做正功，动能增加，引力势能减小，在A点和B点变轨过程中，发动机点火减速运动，则机械能减小，即在轨道Ⅰ上动能小，引力势能大，机械能大，故B错误；根据公式G＝ma可得a＝，所以距离地球越近，向心加速度越大，故从远地点到近地点运动过程中，加速度变大，故C错误；在轨道Ⅰ上运动过程中，万有引力充当向心力，故有＝m(R＋h)，解得M＝，故D正确．

1．双星模型

(1)定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图6所示．

图6

(2)特点：

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即

＝m1ωr1，＝m2ωr2

②两颗星的周期及角速度都相同，即

T1＝T2，ω1＝ω2.

③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L.

④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝.

⑤双星的运动周期T＝2π.

⑥双星的总质量m1＋m2＝.

2．多星模型

(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．

(2)三星模型：

①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图7甲所示)．

②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．

图7

(3)四星模型：

①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)．

②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．

例3　(多选)(2018·全国卷Ⅰ·20)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)

A．质量之积 B．质量之和

C．速率之和 D．各自的自转角速度

答案　BC

解析　两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示

每秒转动12圈，角速度已知

中子星运动时，由万有引力提供向心力得

＝m1ω2r1①

＝m2ω2r2②

l＝r1＋r2③

由①②③式得＝ω2l，所以m1＋m2＝，

质量之和可以估算．

由线速度与角速度的关系v＝ωr得

v1＝ωr1④

v2＝ωr2⑤

由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算．

质量之积和各自自转的角速度无法求解．

变式4　(2019·安徽A10联盟开年考)宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此的万有引力作用，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动，称为双星系统．由恒星A与恒星B组成的双星系统绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如图8所示．已知它们的运行周期为T，恒星A的质量为M，恒星B的质量为3M，引力常量为G，则下列判断正确的是(　　)

图8

A．两颗恒星相距

B．恒星A与恒星B的向心力大小之比为3∶1

C．恒星A与恒星B的线速度大小之比为1∶3

D．恒星A与恒星B的轨道半径之比为∶1

答案　A

解析　两恒星做匀速圆周运动的向心力来源于两恒星之间的万有引力，所以向心力大小相等，即MrA＝3MrB，解得恒星A与恒星B的轨道半径之比为rA∶rB＝3∶1，故选项B、D错误；设两恒星相距L，则rA＋rB＝L，rA＝L，根据牛顿第二定律有：MrA＝G，解得L＝，选项A正确；由v＝r得，恒星A与恒星B的线速度大小之比为3∶1，选项C错误．

变式5　(多选)如图9，天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动．已知引力常量为G，不计其他星体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是(　　)

图9

A．三颗星的质量可能不相等

B．某颗星的质量为

C．它们的线速度大小均为

D．它们两两之间的万有引力大小为

答案　BD

解析　轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，r＝＝l.根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，所以三颗星的质量一定相同，设为m，则有2Gcos30°＝m··l，解得m＝，它们两两之间的万有引力F＝G＝G＝，故A错误，B、D正确；线速度大小为v＝＝·＝，C错误．

1.(多选)(2019·福建泉州市第一次质量检查)如图1，虚线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别表示地球卫星的三条轨道，其中轨道Ⅰ为与第一宇宙速度7.9km/s对应的近地环绕圆轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，轨道Ⅲ为与第二宇宙速度11.2 km/s对应的脱离轨道，a、b、c三点分别位于三条轨道上，b点为轨道Ⅱ的远地点，b、c点与地心的距离均为轨道Ⅰ半径的2倍，则(　　)

图1

A．卫星在轨道Ⅱ的运行周期为轨道Ⅰ的2倍

B．卫星经过a点的速率为经过b点的倍

C．卫星在a点的加速度大小为在c点的4倍

D．质量相同的卫星在b点的机械能小于在c点的机械能

答案　CD

解析　由题意可知，轨道Ⅱ的半长轴a2＝，则由开普勒第三定律有：＝，解得：＝，故A错误；由公式v＝可知，如果卫星在Ⅱ轨道做椭圆运动，卫星经过两个轨道交点的速率为经过b点的倍，但卫星在Ⅰ轨道经过加速才能做椭圆运动，所以卫星经过a点的速率不是经过b点的倍，故B错误；由公式a＝可知，卫星在a点的加速度大小是在c点的4倍，故C正确；卫星越高，发射过程中要克服引力做的功越多，所以质量相同的卫星在b点的机械能小于在c点的机械能，故D正确．

2．(2019·山西五地联考期末)2018年12月8日2时23分，嫦娥四号探测器搭乘长征三号乙运载火箭，开始了奔月之旅．她肩负着沉甸甸的使命：首次实现人类探测器月球背面软着陆.12月12日16时45分，嫦娥四号探测器成功实施近月制动，顺利完成“太空刹车”，被月球捕获，进入了近月点约100公里的环月轨道，如图2所示(　　)

图2

A．嫦娥四号在地月转移轨道经过P点时和在100公里环月轨道经过P点时的速度相同

B．嫦娥四号从100公里环月轨道的P点进入椭圆环月轨道后机械能减小

C．嫦娥四号在100公里环月轨道运动的周期等于在椭圆环月轨道运动周期

D．嫦娥四号在100公里环月轨道运动经过P的加速度大小等于在椭圆环月轨道经过P的加速度大小，但方向有可能不一样

答案　B

解析　嫦娥四号在地月转移轨道的P点是近月点，速度比较大，要进入100公里环月轨道，需减速，使得万有引力等于所需要的向心力．所以在地月转移轨道P点的速度大于在100公里环月轨道P点的速度，故A错误；从100公里环月轨道进入椭圆环月轨道嫦娥四号需要点火减速，发动机做负功，机械能减小，故B正确；根据开普勒第三定律＝k知，100公里环月轨道半径大于椭圆环月轨道的半长轴，则嫦娥四号在100公里环月轨道上运动的周期大于在椭圆环月轨道上运动的周期，故C错误；嫦娥四号卫星在不同轨道经过P点，所受的万有引力相等，根据牛顿第二定律知，加速度大小相等，方向相同，故D错误．

3.(多选)如图3为某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动的示意图，若A星的轨道半径大于B星的轨道半径，双星的总质量为M，双星间的距离为L，其运动周期为T，则(　　)

图3

A．A的质量一定大于B的质量

B．A的线速度一定大于B的线速度

C．L一定，M越大，T越大

D．M一定，L越大，T越大

答案　BD

解析　设双星质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，角速度相等，均为ω，根据万有引力定律可知：G＝mAω2RA, G＝mBω2RB，距离关系为：RA＋RB＝L，联立解得：＝，因为RA>RB，所以A的质量一定小于B的质量，故A错误；根据线速度与角速度的关系有：vA＝ωRA、vB＝ωRB，因为角速度相等，半径RA>RB，所以A的线速度大于B的线速度，故B正确；又因为T＝，联立可得周期为：T＝2π，所以总质量M一定，两星间距离L越大，周期T越大，故C错误，D正确．

4．(2019·山东济宁市第二次摸底)设月球和地球同步通信卫星都绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径分别为r1、r2；向心加速度大小分别为a1、a2；环绕速度大小分别为v1、v2.下列关系式正确的是(　　)

A．r1＜r2

B．a1>a2

C.＝

D．a1r＝a2r

答案　D

解析　根据万有引力提供向心力G＝ma＝mr，因为同步卫星周期与地球自转周期相同，小于月球公转周期，所以r1>r2，a1<a2，A、B错误；根据万有引力提供向心力G＝m，所以＝，C错误；根据G＝ma，所以ar2＝GM是定值，所以D正确．

5．(2019·山西运城市5月适应性测试)2018年5月21日，我国成功发射了为探月任务执行通信中继服务的“鹊桥”卫星，并定点在如图4所示的地月连线外侧的位置上．“鹊桥”卫星在位置L2时，受到地球和月球共同的引力作用，不需要消耗燃料就可以与月球保持相对静止，且与月球一起绕地球运动．“鹊桥”卫星、月球绕地球运动的加速度分别为a鹊、a月，线速度大小分别为v鹊、v月，周期分别为T鹊、T月，轨道半径分别为r鹊、r月，下列关系正确的是(　　)

图4

A．T鹊<T月 B．a鹊<a月

C．v鹊>v月 D.＝

答案　C

解析　因为“鹊桥”卫星与月球一起绕地球运动，与月球保持相对静止，所以周期相同：T鹊＝T月，A错误；

对月球有：a月＝r月，

对卫星有：a鹊＝r鹊，

因为周期相同，所以a鹊>a月，B错误；

根据v＝，周期相同，而卫星的半径大，所以卫星线速度大，v鹊>v月，C正确；

因为周期相同，而半径不同，且卫星半径大，所以<，D错误．

6．地球和海王星绕太阳公转的方向相同，轨迹都可近似为圆，地球一年绕太阳一周，海王星约164.8年绕太阳一周，海王星冲日现象是指地球处在太阳与海王星之间，2018年9月7日出现过一次海王星冲日，则(　　)

A．地球的公转轨道半径比海王星的公转轨道半径大

B．地球的运行速度比海王星的运行速度小

C．2019年不会出现海王星冲日现象

D．2017年出现过海王星冲日现象

答案　D

解析　地球的公转周期比海王星的公转周期小，根据万有引力提供向心力G＝mr，可得：T＝2π，可知地球的公转轨道半径比海王星的公转轨道半径小，故A错误；根据万有引力提供向心力，有G＝m，解得：v＝，可知海王星的运行速度比地球的运行速度小，故B错误；T地＝1年，则T海＝164.8年，由(ω地－ω海)·t＝2π，ω地＝，ω海＝，可得距下一次海王星冲日所需时间为：t＝≈1.01年，故C错误，D正确．

7.(多选)(2019·陕西宝鸡市高考模拟检测(二))如图5所示，一火箭中固定有一水平放置的压力传感器，传感器上放有一个质量为m的科考仪器．火箭从地面由静止开始以的初始加速度竖直向上加速运动，火箭通过控制系统使其在上升过程中压力传感器的示数保持不变．当火箭上升到距地面的高度时(地球的半径为R，地球表面处的重力加速度为g)，以下判断正确的是(　　)

图5

A．此高度处的重力加速度为g

B．此高度处的重力加速度为g

C．此高度处火箭的加速度为g

D．此高度处火箭的加速度为g

答案　BD

解析　由地球表面万有引力近似等于重力得：mg＝，火箭上升到距地面的高度时，有mg′＝，联立可得：g′＝g，故A错误，B正确；

由牛顿第二定律可知，火箭在地面时有，FN－mg＝m·

上升到距地面的高度时，FN－mg′＝ma

联立解得：a＝g，故C错误，D正确．