新高考数学二轮专题《导数》第20讲 导数解答题之导数解决含三角函数式的证明（2份打包，解析版+原卷版）

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第20讲 导数解答题之导数解决含三角函数式的证明1．已知函数．（1）证明：函数在上单调递增；（2）若，，求的取值范围．【解析】解：（1）证明：，因为，所以，，于是（等号当且仅当时成立）．故函数在上单调递增．（2）由（1）得在上单调递增，又，所以，（ⅰ）当时，成立．（ⅱ）当时，令，则，当时，，单调递减，又，所以，故时，．由式可得，令，则由式可得令，得在上单调递增，又，，所以存在使得，即时，，所以时，，单调递减，又，所以，即时，，与矛盾．综上，满足条件的的取值范围是，．2．已知函数为常数，是自然对数的底数）是实数集上的奇函数，函数是区间，上的减函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若在，及所在的取值范围上恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）试讨论函数的零点的个数．【解析】解：（Ⅰ）是上的奇函数，，（4分）（Ⅱ）由知，，又在，上单调递减，在，上恒成立．对，恒成立，，（6分）在，上恒成立，即（7分），，即对恒成立令，则（8分），．（9分）（Ⅲ）由知，讨论函数的零点的个数，即讨论方程根的个数．令，，，当时，，在上为增函数；当时，，在上为减函数，当时，（e）而，函数、在同一坐标系的大致图象如图所示，①当，即时，方程无解．函数没有零点；（10分）②当，即时，方程有一个根．函数有1个零点（11分）③当，即时，方程有两个根．函数有2个零点．（12分）3．已知函数在点处的切线方程为．（Ⅰ）求，的值，并讨论在上的增减性；（Ⅱ）若，且，求证：．（参考公式：【解析】（Ⅰ）解：由题意知，解得故，．当时，为减函数，且，，为增函数．（Ⅱ）证明：由，得，所以，两边同除以，得，所以，令，得，得．因为，所以，因为，又，易知，所以，又，所以，故，得．4．设．（Ⅰ）求证：当时，；（Ⅱ）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．【解析】（Ⅰ）证明：，则，设，则，（2分）当时，，即为增函数，所以，即在时为增函数，所以．（4分）（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知时，，，所以，（6分）设，则，设，则，当时，所以为增函数，所以，所以为增函数，所以，所以对任意的恒成立．（8分）又，时，，所以时对任意的恒成立．（9分）当时，设，则，，所以存在实数，使得任意，均有，所以在为减函数，所以在时，所以时不符合题意．综上，实数的取值范围为，．（12分）（Ⅱ）解法二：因为等价于（6分）设，则可求，（8分）所以当时，恒成立，在，是增函数，所以，即，即所以时，对任意恒成立．（9分）当时，一定存在，满足在时，，所以在是减函数，此时一定有，即，即，不符合题意，故不能满足题意，综上所述，时，对任意恒成立．（12分）5．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围；（3）设函数，．过点作函数的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列，求数列的所有项之和的值．【解析】解：（1），的增区间为；减区间为．（4分）（2）令要使恒成立，只需当时，，令，则对恒成立，在上是增函数，则，①当时，恒成立，在上为增函数，，满足题意；②当时，在上有实根，在上是增函数，则当，时，，不符合题意；③当时，恒成立，在上为减函数，不符合题意，，即，．（8分）（3），设切点坐标为，则切线斜率为，从而切线方程为，，令，，这两个函数的图象均关于点对称，则它们交点的横坐标也关于对称，从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列的项也关于成对出现，又在共有1008对，每对和为．．（12分）6．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）如果对于任意的，，恒成立，求实数的取值范围．【解析】解：（1）由于，所以，当，，即，，时，；当，，即，，时，．所以的单调递增区间为，，，单调递减区间为，，；（2）令，要使总成立，只需，时，对求导，可得，令，则，所以在，上为减函数，所以，；对分类讨论：①当时，恒成立，所以在，上为增函数，所以，即，故成立；②当时，在上有实根，因为在，上为减函数，所以当，时，，所以，不符合题意；③当时，恒成立，所以在，上为减函数，则，由，可得，即有．综上，可得实数的取值范围是，．7．已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）如果对于任意的，总成立，求实数的取值范围．【解析】解：（1）由于，所以，当，即时，；当，即时，．所以的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）令，要使总成立，只需时，对求导，可得，令，则，所以在上为增函数，所以；对分类讨论：①当时，恒成立，所以在上为增函数，所以，即恒成立；②当时，在上有实根，因为在上为增函数，所以当时，，所以，不符合题意；③当时，恒成立，所以在上为减函数，则，不符合题意．综上，可得实数的取值范围是，．8．已知，其中．（1）若在处取得极值，求实数的值．（2）若在，上单调递增，求实数的取值范围．【解析】解：（1），（2分）由可得，；（4分）经检验，满足题意．（5分）（2）函数在单调递增．在上恒成立．（7分）即在上恒成立．即，（10分）．（11分）检验，时，，，仅在处取得．所以满足题意．．（12分）9．已知．（1）若在上单调，求实数的取值范围；（2）证明：当时，在，上恒成立．【解析】解：（1）（1分）若在上单调递增，则当，恒成立，当时，，此时；（4分）若在上单调递减，同理可得（5分）所以的取值范围是（6分）（2）时，（7分）当，时，在上单调递增，在上单调递减，（9分）存在，使得在，上，在，上，所以函数在，上单调递增，在，上单调递减（11分）故在，上，，，所以在，上恒成立（12分）10．已知．（1）若在其定义域上为单调递减函数，求实数的取值范围；（2）若函数在上有1个零点．（ⅰ）求实数的取值范围；（ⅱ）证明：若，则不等式成立．【解析】解：（1）在上恒成立，（1分）所以，令，则，由，得，所以在单调递增，由，得，所以在单调递减，所以当时，取得最小值（1），（2分）所以．（3分）（2），，，所以，当时，，所以在，单调递增，又因为，所以在，上无零点．（4分）当时，，使得，所以在，单调递减，在单调递增，又因为，，所以若，即时，在，上无零点，（5分）若，即时，在，上有一个零点，（6分）当时，，在，上单调递减，在，上无零点，综上当时，在，上有一个零点（7分）证明：要证当时，成立，只需证，只需证，（8分）设，，则，所以在上单调递增，（1），由（1）知，时，，即，当且仅当时取等号，所以当时，即，所以，（9分）又因为，所以，所以，所以，即，不等式成立．（10分）