2023届广西柳州市新高三摸底考试数学（理）试题含解析

这是一份2023届广西柳州市新高三摸底考试数学（理）试题含解析，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
广西柳州市2023届新高三摸底考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．2．设，若复数的虚部与复数的虚部相等，则（       ）A． B． C． D．3．已知向量，的夹角为，且，，则（       ）A．－1 B． C．－2 D．14．执行如图所示的程序框图,输出的s值为(　　)A．2 B． C． D．5．若，则（       ）A． B． C． D．6．若，则（       ）A．－ B． C． D．7．设变量x，y满足约束条件，则目标函数的最小值为（       ）A．2 B．－3 C．－2 D．08．已知直线与圆相交于A，B两点，则k＝（       ）A． B． C． D．9．今年中国空间站将进入到另一个全新的阶段—正式建造阶段，首批参加中国空间站建造的6名航天员，将会分别搭乘着神舟十四号和神舟十五号载人飞船，接连去往中国空间站，并且在上面“会师”.中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱. 假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人.若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（　　）A．44种 B．48种 C．60种 D．50种10．若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间[0，]上不单调，则的最小值为（       ）A．9 B．7 C．11 D．311．已知函数为上的偶函数，当时，函数，若关于的方程有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是（       ）A． B． C． D．12．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（       ）A． B． C． D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知直线是曲线的一条切线，则b＝___．14．展开式中的系数为___（用数字作答）．15．已知A（3，1），B（－3，0），P是椭圆上的一点，则的最大值为___．16．在正方体中，点E为线段上的动点，现有下面四个命题：①直线DE与直线AC所成角为定值；②点E到直线AB的距离为定值；③三棱锥的体积为定值；④三棱锥外接球的体积为定值．其中所有真命题的序号是______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答17．在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知．(1)求角A的大小；(2)若，，求△ABC的面积．18．已知数列{}满足，．(1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；(2)求数列的前n项和．19．年北京冬奥会的申办成功与“亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有人表示对冰球运动没有兴趣．(1)完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？ 有兴趣没兴趣合计男  女   合计    (2)先从样本对冰球有兴趣的学生中按分层抽样的方法取出名学生，再从这人中随机抽取人，记抽取的人中有名男生，求的分布列和期望． 20．如图，在三棱锥中，，，O为AC的中点． (1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且PM与面ABC所成角的正切值为，求二面角的平面角的余弦值．21．已知函数．（1）讨论当时，f(x)单调性．（2）证明：．22．已知平面上动点Q（x，y）到F（0，1）的距离比Q（x，y）到直线的距离小1，记动点Q（x，y）的轨迹为曲线C．(1)求曲线C的方程．(2)设点P的坐标为（0，－1），过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明：．
参考答案：1．B【解析】【分析】先化简集合，再利用交集运算求解.【详解】因为，所以，即，所以.故选：B.2．D【解析】【分析】根据已知条件求得的值，利用复数的乘法化简可得结果.【详解】因为复数的虚部与复数的虚部相等，则，则，因此，.故选：D.3．A【解析】【分析】根据数量积的运算求解即可【详解】故选：A4．C【解析】【详解】试题分析：时，成立，第一次进入循环：；成立，第二次进入循环：；成立，第三次进入循环：，不成立，输出，故选C.【名师点睛】解决此类型问题时要注意：第一，要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，并根据各自的特点执行循环体；第二，要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；第三，要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体，争取写出每一个循环，这样避免出错.  5．A【解析】【分析】利用对数的运算及对数函数的性质进行比较大小.【详解】因为，所以；因为，所以，，，而，所以，即.故选：A.6．B【解析】【分析】根据诱导公式结合同角三角函数的关系求解即可【详解】由题意，，故故选：B7．C【解析】【分析】作出平面区域，结合图像求直线在轴截距的最小值，通过平移直线可得在在点处取到最小值，代入运算求解．【详解】根据题意可得平面区域，如图所示：∵目标函数，即，则求直线在轴截距的最小值结合图像可得在点处取到最小值故选：C．8．B【解析】【分析】圆心到直线的距离为，则,而，所以，解方程即可求出答案.【详解】圆的圆心，所以圆心到直线的距离为，则，而，所以，解得：.故选：B.9．A【解析】【分析】由分步乘法计数原理，利用间接法即可求解.【详解】解：由题意，要安排甲，乙，丙，丁等6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人，共有种方案；若甲、乙两人同时在天和核心舱做实验，则有种方案；若甲、乙两人同时在问天实验舱做实验，则有种方案.所以甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则共有不同的安排方案.故选：A.10．C【解析】【分析】根据给定条件，求出的关系式，再求出函数含有数0的单调区间即可判断作答.【详解】因直线是曲线的一条对称轴，则，即，由得，则函数在上单调递增，而函数在区间上不单调，则，解得，所以的最小值为11.故选：C11．B【解析】【分析】作出函数的图像，设，从而可化条件为方程有两个根，利用数形结合可得，，根据韦达定理即可求出实数a的取值范围.【详解】由题意，作出函数的图像如下，由图像可得， 关于的方程有且仅有6个不同的实数根，设，有两个根，不妨设为；且， 又  故选：B【点睛】本题主要考查函数与方程、由方程根的个数求参数的取值范围，考查学生运用数形结合思想解决问题的能力，属于中档题.12．B【解析】【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，用表示，再在两个直角三角形中借助勾股定理求解作答.【详解】依题意，直线都过点，如图，有，，设，则，显然有，，，因此，，在，，即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，所以E的离心率为.故选：B【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法：①定义法，通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；②齐次式法，由已知条件得出关于的二元齐次方程，然后转化为关于的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率.13．2【解析】【分析】求导，令导数值等于1，求得切点坐标，代入切线方程即可得解.【详解】解：函数的定义域为，，令，则，所以切点为，代入，得，所以.故答案为：2.14．【解析】【分析】写出展开式通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】因为的展开式通项为，，在中，，在中，令，可得，所以，展开式中的系数为.故答案为：.15．9【解析】【分析】根据椭圆定义，整理代换可得，结合图形可得，运算求值．【详解】根据题意可得：则点B为椭圆的左焦点，取椭圆的右焦点∴，即∵，即点A在椭圆内，当且仅当点P在AF的延长线上时，等号成立.故答案为：9．16．①③【解析】【分析】由线面垂直的性质定理得线线垂直判断①，由正方体的性质，可通过到的距离来计算到的距离，从而判断②，根据棱锥体积公式，判断③，想象在不同位置时外接球的半径的变化，判断④．【详解】易证平面，平面，所以恒有，直线DE与直线AC所成角为90°，所以①是真命题．点E到直线AB的距离与点E到直线的距离有关，所以②是假命题．因为，由线面平行的判定定理可得平面，故点E到平面的距离d为定值，则为定值，所以③是真命题．平面，在上变化，例如点E在处和在的中点处时，三棱锥的外接球半径不同，故其外接球的体积不是定值，所以④是假命题．故答案为：①③17．(1)(2)【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合内角的范围求解即可；（2）由余弦定理与面积公式求解即可(1)由已知及正弦定理知：．因为C为锐角，则，所以．因为A为锐角，则(2)由余弦定理，．则，即即，因为，则所以△ABC的面积．18．(1)证明见解析；(2)【解析】【分析】（1）根据题意结合等比数列定义可证，可得是首项为2，公比为2的等比数列，利用等比数列通项公式代入运算；（2）因为，利用分组求和结合等差、等比数列求和公式整理运算．(1)由题意可得：∵所以是首项为2，公比为2的等比数列则，即因此{}的通项公式为(2)由（1）知，令则所以．．综上．19．(1)填表见解析，有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”(2)分布列见解析，期望为【解析】【分析】（1）根据题中信息完善列联表，计算的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）分析可知随机变量的可能取值有、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可计算得出的值.(1)解：（1）由题意可知，样本中女生人数为，样本中，对冰球运动有兴趣的女生人数为，根据已知数据得到如下列联表： 有兴趣没兴趣合计男女合计 根据列联表中的数据，得到，，所以，有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”(2)解：由题意得，按分层抽样方法抽取出来的人中，有个男生对冰球感兴趣，有个女生对冰球感兴趣，则的可能取值为、、，，，，所以的分布列如下表所示： 所以，的期望为．20．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）证明：连接OB．法一：通过证明，得到，即可证明PO⊥平面ABC；法二：通过勾股定理证明到，又因为即可证明PO⊥平面ABC；（2）由（1）知，PO⊥面ABC∴OM为PM在面ABC上的射影，则∠PMO为PM与面ABC所成角，可得出， M为BC的中点．法一：作ME⊥AC于E，∴E为OC的中点，作交PA于F，连MF，∠MFE即为二面角的平面角，求出，代入求出的值，即可求出的值.法二: 分别以OB，OC，OP为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系，分别求出面AMP和面APC的法向量，由二面角的公式即可求出答案.(1)证明：连接OB．法一：∵，∴，即△ABC是直角三角形，又O为AC的中点，∴又∵，∴∴．∴，OB、AC平面ABC∴PO⊥平面ABC．法二：连接，，O为AC的中点∴因为∴   ∴，∴∴，OB、AC平面ABC．∴PO⊥平面ABC．(2)由（1）知，PO⊥面ABC∴OM为PM在面ABC上的射影，∴∠PMO为PM与面ABC所成角，∴，∴，在△OMC中由正弦定理可得，∴M为BC的中点．法一：作ME⊥AC于E，∴E为OC的中点，作交PA于F，连MF∴MF⊥PA   ∴∠MFE即为所求二面角的平面角，∴∴法二：分别以OB，OC，OP为x轴，y轴，z轴建立直角坐标系 M（，，0）．记为面AMP的法向量则．面APC的法向量．易知所成角为锐角记为21．（1）见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）对函数求导，按和两类讨论，得出函数的单调性；（2）要证，即证．构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，求出函数的最小值，转化求解即可．【详解】（1）解：由题意可知对于二次函数．当时，恒成立，f(x)在上单调递减；当时，二次函数有2个大于零的零点，分别是，当，f(x)在单调递增；当，f(x)在和单调递减综上：当时，f(x)在（0，＋∞）单调递减当时f(x)在单调递增；单调递减．（2）证明：要证，即证．（方法一）设，则，在（0，＋∞）上为增函数，因为，所以在（，1）上存在唯一的零点m，且，即．所以h(x)在（0，m）上单调递减，在上单调递增，所以，．因为，所以等号不成立，所，所以，从而原不等式得证（方法二）不妨设，则，当时，，当时，，因此恒成立，．则恒成立，．则恒成立，即．又，所以等号不成立，即，从而不等式得证22．(1)；(2)证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意列出方程化简求解即可；（2）要使，只需，利用斜率公式及根与系数的关系化简即可得证.(1)Q（x，y），由题意，得，当时，，平方可得，当时，，平方可得，由可知，不合题意，舍去.综上可得，所以Q的轨迹方程C为．(2)不妨设，因为，所以，从而直线PA的斜率为，解得，即A（2，1），又F（0，1），所以轴．要使，只需．设直线m的方程为，代入并整理，得．首先，，解得或．其次，设，则，，故.此时直线m的斜率的取值范围为．