新教材高考数学一轮复习第2章函数的概率与基本初等函数ⅰ第6节对数与对数函案含解析

第六节　对数与对数函数

一、教材概念·结论·性质重现

1．对数的概念

一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．对数的性质与运算法则

(1)对数的运算法则

如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么

①loga(MN)＝logaM＋logaN；

②loga＝logaM－logaN；

③logaMn＝nlogaM (n∈R)．

(2)对数的性质

①loga1＝0；②logaa＝1；③a＝N；

④logaaN＝N(a>0，且a≠1)．

(3)对数的换底公式

logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．

3．对数函数

(1)一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).

(2)对数函数的图象与性质

4．反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)loga(MN)＝logaM＋logaN． (×)

(2)logax·logay＝loga(x＋y)． (×)

(3)函数y＝log2x及y＝log3x都是对数函数． (×)

(4)对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数． (×)

(5)函数y＝ln 与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同． (√)

2．计算log29×log34＋2log510＋log50.25＝(　　)

A．0 B．2 

C．4 D．6

D　解析：原式＝2log23×(2log32)＋log5(102×0.25)＝4＋log525＝4＋2＝6.

3．函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点________．

(2,2)　解析：当x＝2时，函数y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且a≠1)的值为2，所以图象恒过定点(2,2)．

4．函数y＝lg|x|(　　)

A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增

B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减

C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减

D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增

B　解析：y＝lg|x|是偶函数，由图象知(图略)，函数在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

5．若函数y＝f (x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x)＝(　　)

A．log2x  B．   C．log0.5x  D．2x－2

A　解析：由题意知f (x)＝logax(a>0，且a≠1)．因为f (2)＝1，所以loga2＝1.所以a＝2.所以f (x)＝log2x.

考点1　对数运算问题——基础性

1．填空：

(1)lg 25＋lg 2－lg－log29×log32的值是________．

(2)已知2x＝12，log2＝y，则x＋y的值为________．

(3)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________.

(1)－　(2)2　(3)　解析：(1)原式＝lg 5＋lg 2＋－2＝1＋－2＝－.

(2)因为2x＝12，所以x＝log212，

所以x＋y＝log212＋log2＝log24＝2.

(3)因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log2m，b＝log5m，所以＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.所以m2＝10.所以m＝.

2．(2021·北京二中高三月考)在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg[H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据： lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　)

A．  B．  C．  D．

C　解析：由题设有＝＝1014[H＋]2.又10－7.45≤[H＋]≤10－7.35 ，所以10－0.9≤1014[H＋]2≤10－0.7.所以－0.9≤lg1014[H＋]2≤－0.7.又lg ≈－0.3，lg ＝－0.48，lg ＝－0.78，lg ＝－1，只有lg 在范围之中．故选C．

考点2　对数函数的图象及应用——综合性

(1) 已知函数f (x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f (x)＝ln(x＋1)，则函数f (x)的大致图象为(　　)

C　解析：先作出当x≥0时，f (x)＝ln(x＋1)的图象，显然图象经过点(0,0)，再作此图象关于y轴对称的图象，可得函数f (x)在R上的大致图象，如选项C中图象所示．

(2)当0＜x≤时，4x＜logax，则实数a的取值范围是(　　)

A． B．

C．(1，) D．(，2)

B　解析：易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致图象如图．

由题意可知只需满足loga＞4，解得a＞，所以＜a＜1.故选B．

1．下列函数中，其图象与函数y＝ln x的图象关于直线x＝1对称的是(　　)

A．y＝ln(1－x) B．y＝ln(2－x)

C．y＝ln(1＋x) D．y＝ln(2＋x)

B　解析：易知y＝ln x与y＝ln(－x)的图象关于y轴对称，将y＝ln(－x)的图象向右平移2个单位长度所得图象y＝ln[－(x－2)]＝ln(2－x)即与y＝ln x的图象关于直线x＝1对称．

2．已知函数f (x)＝关于x的方程f (x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．

(1，＋∞)　解析：问题等价于函数y＝f (x)与y＝－x＋a的图象有且只有一个交点，结合图象可知a>1.

考点3　对数函数的性质及应用——应用性

考向1　比较函数值的大小

设a＝0.50.4，b＝log0.40.3，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a<b<c  B．c<b<a  C．c<a<b  D．b<c<a

C　解析：因为0<a＝0.50.4<0.50＝1，b＝log0.40.3>log0.40.4＝1，c＝log80.4<log81＝0，所以c<a<b.

考向2　对数方程或不等式问题

(1)设函数f (x)＝若f (a)＞f (－a)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)

C　解析：或

解得a＞1或－1＜a＜0.故选C．

(2)方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________．

x＝　解析：原方程变形为log2(x－1)＋log2(x＋1)＝log2(x2－1)＝2，即x2－1＝4，解得x＝±.又x>1，所以x＝.

考向3　对数函数性质的综合问题

若函数f (x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，4)  B．(－4,4]

C．(－∞，－4)∪[－2，＋∞) D．[－4,4)

D　解析：由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立，且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上单调递减，则≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得－4≤a<4.所以实数a的取值范围是[－4,4)．故选D．

1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则(　　)

A．a<b<c B．a<c<b

C．c<a<b D．b<c<a

B　解析：因为a＝log20.2<log21＝0，b＝20.2>20＝1,0<c＝0.20.3<0.20＝1，所以a<c<b.故选B．

2．已知不等式logx(2x2＋1)<logx3x<0成立，则实数x的取值范围是________．

　解析：原不等式⇔①或②.解不等式组①，得<x<；不等式组②无解．所以实数x的取值范围是.

3．若函数f (x)＝loga(x2－x＋2)在区间[0,2]上的最大值为2，则实数a＝________.

2　解析：令u(x)＝x2－x＋2，则u(x)在[0,2]上的最大值u(x)max＝4，最小值u(x)min＝. 当a>1时，y＝logau是增函数，f (x)max＝loga4＝2，得a＝2；当0<a<1时，y＝logau是减函数，f (x)max＝loga＝2，得a＝(舍去)．故a＝2.