新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第7节解三角形应用举例学案含解析

第七节　解三角形应用举例

一、教材概念·结论·性质重现

1．仰角和俯角

2.方位角

3.方向角

4.坡角与坡度

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)若从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＝β．(√)

(2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为． (×)

(3)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°． (×)

(4)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是． (×)

2．如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的(　　)

A．北偏东10° B．北偏西10°

C．南偏东80° D．南偏西80°

D　解析：由条件及图可知，∠A＝∠CBA＝40°，

又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°.

3．如图，为测量一棵树OP的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点间的距离为60 m，则树的高度为________m.

30＋30　解析：在△PAB中，∠PAB＝30°，∠APB＝15°，AB＝60 m，

sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°·sin 30°＝×－×＝.

由正弦定理得＝，

所以PB＝＝30(＋)，

所以树的高度OP＝PBsin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)(m)．

4．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出A，B的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D．若测得CD＝ km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，则A，B两点间的距离为________ km.

　解析：因为∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，∠ACD＝60°，

所以∠DAC＝60°，所以AC＝CD＝ km.

在△BCD中，∠DBC＝180°－∠CDB－∠ACD－∠ACB＝45°，

由正弦定理，得BC＝·sin∠BDC＝·sin 30°＝(km)．

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 45°＝＋－2×××＝.所以AB＝ km.所以A，B两点间的距离为 km.

5．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为________．

40 m　解析：设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝x.在△BCD中，由余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.

考点1　解三角形的实际应用——应用性

考向1　测量距离问题

如图，某旅游景点有一座风景秀丽的山峰，山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2个小时的时间进行徒步攀登．已知∠ABC＝120°，∠ADC＝150°，BD＝1 km，AC＝3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250m，请问：两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰．(即从B点出发到达C点)

解：在△ABD中，由题意知，∠ADB＝∠BAD＝30°，所以AB＝BD＝1.

因为∠ABD＝120°，由正弦定理＝，解得AD＝(km)．

在△ACD中，由AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos 150°，

得9＝3＋CD2＋2××CD．

即CD2＋3CD－6＝0，解得CD＝(km)，

BC＝BD＋CD＝(km)．

两个小时小王和小李可徒步攀登1 250×2＝2 500(m)，即2.5km，

而<＝＝2.5，

所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰．

考向2　测量高度问题

如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1)．参考数据：≈1.414，≈2.236.

22．6　解析：因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，

所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.

设这辆汽车的速度为v m/s，则BC＝14v.

在Rt△ABD中，

AB＝＝＝200.

在Rt△ACD中，

AC＝＝＝100.

在△ABC中，由余弦定理，

得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，

所以(14v)2＝(100)2＋2002－2×100×200×cos 135°，所以v＝≈22.6，

所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.

1．圭表(如图1)是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆(称为“表” )和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺(称为“圭” )．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角(即∠ABC)为26.5°，夏至正午太阳高度角(即∠ADC)为73.5°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离(即BD的长)为a，则表高(即AC的长)为(　　)

A． B．

C． D．

D　解析：由题意得，∠BAD＝73.5°－26.5°＝47°.在△ABD中，由正弦定理可得，＝，即＝，

则AD＝.

在△ACD中，＝sin∠ADC＝sin 73.5°，

所以AC＝.故选D．

2．如图是改革开放四十周年大型展览的展馆——国家博物馆．现欲测量博物馆正门柱楼顶部一点P离地面的高度OP(点O在柱楼底部)．在地面上的A，B两点测得点P的仰角分别为30°，45°，且∠ABO＝60°，AB＝50米，则OP为(　　)

A．15米 B．25米 

C．35米 D．45米

B　解析：如图所示：

由于∠OAP＝30°，∠PBO＝45°，∠ABO＝60°，AB＝50米，OP⊥AO，OP⊥OB．

设OP＝x，则OA＝x，OB＝x，

在△OAB中，由余弦定理得OA2＝OB2＋AB2－2OB·AB·cos∠ABO，

即(x)2＝502＋x2－2×50x×，

所以x2＋25x－1 250＝0，解得x＝25或x＝－50(舍)．

3．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80米，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为________米．

80　解析：如图，在△ACD中，∠DCA＝15°，∠ADC＝150°，所以∠DAC＝15°.

由正弦定理，得

AC＝＝＝40(＋)(米)．

在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，

所以∠CBD＝30°.

由正弦定理，得＝，

所以BC＝＝＝40(－)(米)．在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1 600(8＋4)＋1 600(8－4)＋2×1 600(＋)×(－)×＝1 600×16＋1 600×4＝1 600×20，解得AB＝80(米)，则A，B两点间的距离为80米．

考点2　正余弦定理在平面几何中的应用

(2020·青岛模拟)如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝1，AD＝，BC＝.

 (1)若CD＝1＋，求四边形ABCD的面积；

(2)若sin∠BCD＝，∠ADC∈，求sin∠ADC．

解：(1)如图，连接BD，在Rt△ABD 中，由勾股定理可得，BD2＝AB2＋AD2＝4，所以BD＝2.

在△BCD中，由余弦定理可得，

cos C＝＝＝.

因为C为三角形的内角，故C＝，

所以S△ABD＝AB·AD＝×1×＝，

S△BCD＝BC·CDsin C＝××(1＋)×＝，

故四边形ABCD的面积S＝.

(2)在△BCD中，由正弦定理可得＝，

所以sin∠BDC＝＝.

因为∠ADC∈，所以∠BDC∈，

所以cos∠BDC＝，

在Rt△ABD中，tan∠ADB＝＝，

故∠ADB＝，

所以sin∠ADC＝sin＝×＋×＝.

1．如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)，AB＝5，BC＝8，CD＝3，AD＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为(　　)

A．7 km B．8 km

C．9 km D．6 km

A　解析：在△ACD中，由余弦定理得cos D＝＝.

在△ABC中，由余弦定理得cos B＝＝.

因为∠B＋∠D＝180°，所以cos B＋cos D＝0，即＋＝0，解得AC2＝49.

所以AC＝7.

2．(2020·山师附中高三模拟)如图，在平面四边形ABCD中，已知AB＝2，AD＝3，∠ADB＝2∠ABD，∠BCD＝.

(1)求BD；

(2)求△BCD周长的最大值．

解：在△ABD中，

设BD＝x，∠ABD＝α，则∠ADB＝2α，

因为＝，

所以cos α＝.

由余弦定理得cos α＝＝.

整理得x2－8x＋15＝0，解得x＝5或x＝3.

当x＝3时，得∠ADB＝2α＝，

与AD2＋BD2≠AB2矛盾，故舍去，

所以BD＝5.

(2)在△BCD中，设∠CBD＝β，

所以＝＝，

所以BC＝sin，CD＝sin β，

所以BC＋CD＝·＝10sin≤10.

所以△BCD周长的最大值为15.

考点3　解三角形与三角函数的综合问题

(2020·合肥模拟)已知函数f (x)＝cos2x＋sin(π－x)sin－.

(1)求函数f (x)在[0，π]上的单调递减区间；

(2)锐角△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知f (A)＝－1，a＝2，求△ABC的面积的最大值．

解：(1)f (x)＝－sin xcos x－＝cos 2x－sin 2x＝－sin.

令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，

得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

所以函数f (x)在[0，π]上的单调递减区间为和.

(2)因为△ABC为锐角三角形，

所以0<A<，所以－<2A－<.

又f (A)＝－sin＝－1，

所以2A－＝，即A＝.

因为a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，当且仅当b＝c＝2时，等号成立．

又a＝2，所以bc≤4，

所以S△ABC＝bcsin A≤.

即△ABC的面积的最大值为.

已知函数f (x)＝sin 2x－cos2x－(x∈R)，设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c＝，f (C)＝0.

(1)求角C；

(2)若向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，求△ABC的周长．

解：(1)f (x)＝sin 2x－cos2x－＝sin 2x－cos 2x－1＝sin－1.

因为f (C)＝sin－1＝0且C为三角形内角，所以C＝.

(2)若向量m＝(1，sin A)与向量n＝(2，sin B)共线，

则sin B－2sin A＝0.

由正弦定理得b＝2a，

由余弦定理得cos＝＝，

解得a＝1，b＝2，故△ABC的周长为3＋.