|学案下载
终身会员
搜索
    上传资料 赚现金
    新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第4节三角恒等变换学案含解析
    立即下载
    加入资料篮
    新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第4节三角恒等变换学案含解析01
    新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第4节三角恒等变换学案含解析02
    新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第4节三角恒等变换学案含解析03
    还剩13页未读, 继续阅读
    下载需要10学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第4节三角恒等变换学案含解析

    展开
    这是一份新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第4节三角恒等变换学案含解析,共1页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现,基本技能·思想·活动体验等内容,欢迎下载使用。

    第四节 三角恒等变换

    一、教材概念·结论·性质重现

    1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

    (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β.

    (2)cos(α±β)=cos αcos βsin αsin β.

    (3)tan(α±β)=.

    两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系:C(α±β)同名相乘,符号反;S(α±β)异名相乘,符号同;T(α±β)分子同,分母反.

    2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

    (1)sin 2α=2sin αcos α.

    (2)cos 2α=cos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α.

    (3)tan 2α=.

    二倍角是相对的,例如,的二倍角,3α是的二倍角.

    3.常用公式

    (1)降幂扩角公式:cos2α=,sin2α=.

    (2)升幂公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α.

    (3)公式变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1tan α·tan β).

    (4)辅助角公式:asin x+bcos x=sin(x+φ),

    其中sin φ=,cos φ=.

    4.常见的配角技巧

    2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=,α=.

    二、基本技能·思想·活动体验

    1.判断下列说法的正误,对的打“√”,错的打“×”.

    (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. (√)

    (2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立. (√)

    (3)公式tan(α+β)=可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立.              (×)

    (4)当α是第一象限角时,sin (×)

    (5)存在角α,使得sin 2α=2sin α成立. (√)

    2.sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=(  )

    A.-  B.  C.-  D.

    D 解析sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=.故选D.

    3.cos2-sin2=________.

     解析根据二倍角公式有cos2-sin2=cos .

    4.化简=________.

    4sin α 解析原式=4sin α.

    5.tan α,tan(αβ)=tan β=________.

     解析因为tan α,tan(αβ)=所以tan β=tan[(αβ)-α]=.

    考点1 公式的简单应用——基础性

    1.(2020·山东九校联考)已知点A在圆x2+y2=4上,且∠xOA=π,则点A的横坐标为(  )

    A.  B.  C.  D.

    A 解析:设点A(x0,y0),因为点A在圆上,所以x+y=4.因为∠xOA=π,cos=cos=cos·cos-sinsin.

    又因为cos ∠xOA=cos 所以x0.故选A.

    2(2020·沈阳三模)被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”,在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用,0.618就是黄金分割比m=的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18°,则=(  )

    A.4  B.+1  C.2  D.-1

    C 解析:由题意,2sin 18°=m=,所以m2=4sin218°,

    =2.

    3.=(  )

    A.4  B.2  C.-2  D.-4

    D 解析:=-4.

    4.(2020·全国卷Ⅱ)若sin x=-,则cos 2x=________.

     解析:因为sin x=-,所以cos 2x=1-2sin2x=.

    应用三角恒等变换公式化简求值的策略

    (1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为:“同名相乘,符号反”.

    (2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.

    (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.

    考点2 三角函数的化简求值问题——综合性

    考向1 给值求值问题

    (1)(2020·全国卷Ⅰ)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=(  )

    A.  B.  C.  D.

    A 解析:由3cos 2α-8cos α=5,得6cos2α-8cos α-8=0,即3cos2α-4cos α-4=0,解得cos α=-或cos α=2(舍去).又因为α∈(0,π),所以sin α=.故选A.

    (2)(2020·山东师范大学附中高三质评)若sin θ=cos(2π-θ),则tan 2θ=(  )

    A.-  B.  C.-  D.

    C 解析:因为sin θ=cos (2π-θ)=cos θ,所以tan θ=,所以tan 2θ==-.故选C.

    (3)若α∈,且3cos 2α=sin,则sin 2α的值为________.

     解析:cos 2α=sin=sin

    =2sincos.

    代入原式6sin·cos=sin.

    因为α所以cos所以sin 2α=cos =2cos2 -1=-.

    给值求值问题的求解思路

    (1)化简所求式子.

    (2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).

    (3)将已知条件代入所求式子,化简求值.

    考向2 给值求角问题

    已知cos α=,cos(α-β)=,且0<β<α<,则β=________.

     解析:因为0<β<α<

    所以0<α-β<.

    又因为cos(α-β)=

    所以sin(α-β)=.

    因为cos α=,0<α<

    所以sin α=.

    所以cos β=cos[α-(α-β)]=cos α·cos(α-β)+sin αsin(α-β)=××.

    因为0<β<,所以β=.

    已知三角函数值求角的解题步骤

    (1)根据条件确定所求角的范围;

    (2)确定待求角的某种三角函数值,为防止增解,最好选取在上述范围内单调的三角函数;

    (3)结合三角函数值及角的范围求角.

    1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈,2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=(  )

    A.  B.  C.  D.

    B 解析:由2sin 2α=cos 2α+1,得4sin αcos α=2cos2α.又因为α∈,所以2sin α=cos α.又因为sin2α+cos2α=1,所以sin α=.

    2.已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两根,且α,β∈,则α+β=(  )

    A.  B.或-  C.-  D.-

    D 解析:由题意得tan α+tan β=-3<0,tan αtan β=4>0,所以tan(α+β)=,且tan α<0,tan β<0.又由α,β∈,得α,β∈,所以α+β∈(-π,0),所以α+β=-.

    3.(2020·泰安高三一轮检测)已知α,β∈,sin(α+β)=-,sin,则cos=________.

     解析:因为α,β∈,所以α+β∈,β-.因为sin (α+β)=-,sin,所以cos(α+β)=,cos=-,所以cos=cos=cos(α+β)·cos+sin(α+β)sin××=-.

    考点3 角的变换与式的变换——综合性

    考向1 角的变换

    (1)(2020·全国卷Ⅲ)已知sin θ+sin=1,则sin=(  )

    A.  B.  C.  D.

    B 解析:因为sin θ+sin

    =sin θ+sin θcos +cos θsin

    =sin θ+sin θ+cos θ

    sin θcos θ

    sin =1,

    所以sin .故选B.

    (2)(2020·济南一模)已知cos-sin2的值为________.

     解析-sin2.

    (3)化简: =________.

    1 解析:

    =1.

    本例(2)中条件改为“cos(75°+α)=”,求cos(30°-2α)的值.

    解:因为cos(75°+α)=

    所以sin(15°-α)=cos(75°+α)=

    所以cos(30°-2α)=1-2sin2(15°-α)=1-2×.

     

    应用角的变换求值策略

    解决此类问题应明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角),熟悉角的变换技巧,及半角与倍角的相互转化,如:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,40°=60°-20°,=2×等.

    考向2 式的变换

    计算:-sin 10°.

    解:原式=

    sin 10°

    -sin 10°·

    -sin 10°·

    -2cos 10°

    .

    应用式的变换求值策略

    解决此类问题应明确各个三角函数名称之间的联系,常常用到同角关系、诱导公式,把正弦、余弦函数化为正切函数,或者把正切函数化为正弦、余弦函数.

    1.(2020·石家庄模拟)若cos α(1+tan 10°)=1,则α的一个可能值为(  )

    A.75°  B.50°  C.40°  D.10°

    C 解析:因为cos α(1+tan 10°)=1,

    所以cos α==cos 40°,

    所以α的一个可能值为40°.故选C.

    2.(2020·百校联盟1月联考)已知α,β都是锐角,cos(α+β)=,sin(α-β)=,则sin α=(  )

    A.  B.  C.  D.

    A 解析:因为α,β都是锐角,所以0<α+β<π,-<α-β<.

    又因为cos(α+β)=,sin(α-β)=

    所以sin(α+β)=,cos(α-β)=

    则cos 2α=cos[(α+β)+(α-β)]

    =cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)

    ××=-.

    因为cos 2α=1-2sin2α=-,所以sin2α=.

    因为sin α>0,所以sin α=.故选A.

    考点4 三角恒等变换的综合应用——应用性

    已知函数f (x)=(2cos2x-1)sin 2x+cos 4x.

    (1)求函数f (x)的最小正周期及单调递减区间;

    (2)若α∈(0,π),且f ,求tan的值.

    解:(1)因为f (x)=(2cos2x-1)·sin 2x+cos 4x=cos 2xsin 2x+cos 4x=(sin 4x+cos 4x)=sin

    所以函数f (x)的最小正周期T=.

    2kπ≤4x+≤2kπ,k∈Z,

    ≤x≤,k∈Z.

    所以函数f (x)的单调递减区间为,k∈Z.

    (2)因为f

    所以sin=1.

    又α∈(0,π),所以-<α-.

    所以α-.故α=.

    因此,tan=2-.

    三角恒等变换综合应用的解题思路

    (1)将f (x)化为asin x+bcos x的形式.

    (2)构造f (x)=.

    (3)和角公式逆用,得f (x)=sin(x+φ)(其中φ为辅助角).

    (4)利用f (x)=sin(x+φ)研究三角函数的性质.

    (5)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.

    1.(2020·北京卷)若函数f (x)=sin(x+φ)+cos x的最大值为2,则常数φ的一个取值为________.

     解析:因为f (x)=cos φsin x+(sin φ+1)cos x=sin(x+θ),

    其中tan θ=,所以=2,解得sin φ=1,故可取φ=.

    2.已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(-3,).

    (1)求sin 2α-tan α的值;

    (2)若函数f (x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)·sin α,求函数g(x)=f -2f 2(x)在区间上的值域.

    解:(1)因为角α的终边经过点P(-3,),

    所以sin α=,cos α=-,tan α=-.

    所以sin 2α-tan α=2sin αcos α-tan α=-=-.

    (2)因为f (x)=cos(x-α)cos α-sin(x-α)sin α=(cos xcos α+sin xsin α)·cos α-(sin xcos α-cos xsin α)sin α=cos x·cos2α+cos xsin2α=cos x,

    所以g(x)=cos-2cos2x

    sin 2x-1-cos 2x

    =2sin-1.

    因为0≤x≤所以≤2x-.

    所以≤sin≤1.

    所以-2≤2sin-1≤1.

    故函数g(x)在区间上的值域是[-2,1].

    已知=-sin的值

    [四字程序]

    求sin

    的值

    1.解答本题可能会用到哪些公式?

    2.条件中既有“切”又有“弦”,如何处理?

    三角恒等变换

    1.转化与回归;

    2.数形结合

    =-

    1.两角和的正弦、正切公式,二倍角公式,同角三角函数基本关系等;

    2.通常要切化弦

    sin

    (sin 2α+cos 2α)

    1.弦切互化及“1”的代换;

    2.拆角凑角;

    3.构造图形

    思路参考:利用同角三角函数关系求值.

    解:=-,解得tan α=-或tan α=2.

    当tan α=-时,α可能为第二象限角或第四象限角.

    若α为第二象限角,

    sin α=,cos α=-

    所以sin 2α=-,cos 2α=.

    若α为第四象限角,则

    sin α=-,cos α=

    sin 2α=-,cos 2α=.

    把sin 2α=-,cos 2α=代入求值,

    得sin(sin 2α+cos 2α)=.

    当tan α=2时,α可能为第一象限角或第三象限角.

    若α为第一象限角,则

    sin α=,cos α=

    所以sin 2α=,cos 2α=-.

    若α为第三象限角,则

    sin α=-,cos α=-

    所以sin 2α=,cos 2α=-.

    把sin 2α=,cos 2α=-代入求值,

    sin(sin 2α+cos 2α)=.

    所以sin.

    思路参考:根据万能公式sin 2α=,cos 2α=求值.

    解:=-

    解得tan α=-或tan α=2.

    根据公式sin 2α=,cos 2α=

    可得当tan α=-时,sin 2α=-,cos 2α=

    当tan α=2时,sin 2α=,cos 2α=-,两种情况的结果都是sin(sin 2α+cos 2α)=.

    思路参考:利用同角三角函数基本关系中“1”的代换.

    解:=-

    解得tan α=-或tan α=2.

    sin(sin 2α+cos 2α)

    (2sin αcos α+cos2α-sin2α)

    ×

    ×.

    将tan α=-或tan α=2代入上式均有sin.

    思路参考:把正切转化为正弦、余弦的比值,得到α与α+的正余弦值的关系.

    解:因为=-

    所以sin αcos=-cos α·sin.①

    -α,

    所以sin=sin

    =sincos α-cossin α=.②

    由①②,得sin αcos=-

    cos αsin

    把2α+拆分为α+,可得

    sin=sin

    =sin αcos+cos α·sin.

    思路参考:令α+=β,则2α+=α+β.

    将原问题进行转化,然后构造几何图形求解.

    解:令α+=β,则2α+=α+β.

    原题可转化为:

    已知=-,求sin(α+β)的值.

    如图,构造Rt△ABC,其中BC=1,CD=2,AD=1,tan α=,tan β=-,sin(α+β)=sin θ,满足题意.

    在△ABD中,BD=,AB=,AD=1,

    由余弦定理得

    cos θ=

    .

    所以sin(α+β)=sin θ=.

    1.本题考查两角和的正弦、正切公式,三角恒等变换,基本解题方法是利用有关公式直接求值(如解法1).也可根据题目条件恰当选用“1”的代换、拆角凑角、数形结合等方法.在求解过程中,注意综合运用数学思想方法分析与解决问题.

    2.基于课程标准,解答本题一般需要掌握运算求解能力、转化化归能力,体现逻辑推理、数学运算的核心素养.

    3.基于高考数学评价体系,本题涉及两角和的正弦、正切公式等知识,渗透着转化与化归、数形结合等思想方法,有一定的综合性,对培养创造性思维能力起到了积极的作用.

    若tan=3,则=(  )

    A.3  B.-3  C.  D.-

    A 解析:(方法一)因为tan=3,所以tan θ=-.所以=3.

    (方法二)同方法一求得tan θ=-.

    因为sin 2θ==-

    cos 2θ=.

    所以=3.

     

     

    相关学案

    人教b版高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第3节三角恒等变换学案含解析: 这是一份人教b版高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第3节三角恒等变换学案含解析,共16页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现,基本技能·思想·活动体验等内容,欢迎下载使用。

    新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形微专题进阶课4三角函数解析式中“ω”的求法学案含解析: 这是一份新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形微专题进阶课4三角函数解析式中“ω”的求法学案含解析,共3页。

    新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第7节解三角形应用举例学案含解析: 这是一份新教材高考数学一轮复习第4章三角函数与解三角形第7节解三角形应用举例学案含解析,共12页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现,基本技能·思想·活动体验等内容,欢迎下载使用。

    • 精品推荐
    • 课件
    • 教案
    • 试卷
    • 学案
    • 其他

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:资料
    资料售价:学贝 账户剩余:学贝
    选择教习网的4大理由
    • 更专业
      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿
    • 更丰富
      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;900万+优选资源 ⽇更新5000+
    • 更便捷
      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤
    • 真低价
      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣
    VIP权益介绍
    • 充值学贝下载 本单免费 90%的用户选择
    • 扫码直接下载
    元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      充值到账1学贝=0.1元
      0学贝
      本次充值学贝
      0学贝
      VIP充值赠送
      0学贝
      下载消耗
      0学贝
      资料原价
      100学贝
      VIP下载优惠
      0学贝
      0学贝
      下载后剩余学贝永久有效
      0学贝
      • 微信
      • 支付宝
      支付:¥
      元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
      您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      扫码支付0直接下载
      • 微信
      • 支付宝
      微信扫码支付
      充值学贝下载,立省60% 充值学贝下载,本次下载免费
        下载成功

        Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

        若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

        本资源来自成套资源

        更多精品资料

        正在打包资料,请稍候…

        预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

        服务器繁忙,打包失败

        请联系右侧的在线客服解决

        单次下载文件已超2GB,请分批下载

        请单份下载或分批下载

        支付后60天内可免费重复下载

        我知道了
        正在提交订单

        欢迎来到教习网

        • 900万优选资源,让备课更轻松
        • 600万优选试题,支持自由组卷
        • 高质量可编辑,日均更新2000+
        • 百万教师选择,专业更值得信赖
        微信扫码注册
        qrcode
        二维码已过期
        刷新

        微信扫码,快速注册

        手机号注册
        手机号码

        手机号格式错误

        手机验证码 获取验证码

        手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

        设置密码

        6-20个字符,数字、字母或符号

        注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
        QQ注册
        手机号注册
        微信注册

        注册成功

        下载确认

        下载需要:0 张下载券

        账户可用:0 张下载券

        立即下载
        使用学贝下载
        账户可用下载券不足,请取消部分资料或者使用学贝继续下载 学贝支付

        如何免费获得下载券?

        加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

        返回
        顶部
        Baidu
        map