人教版高考数学一轮复习第12章推理与证明算法复数第1节合情推理与演绎推理学案理含解析

第一节　合情推理与演绎推理

‖知识梳理‖

1．合情推理

2.演绎推理

(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

►常用结论

归纳推理是由特殊到一般，由具体到抽象的一种推理形式，通过观察、试验，对有限的资料归纳整理，提出带有规律性的猜想，归纳推理得出的结论不一定正确．

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(　　)

(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(　　)

(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(　　)

(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

二、走进教材

2．(选修2－2P84A3改编)对于任意正整数n，2n与n2的大小关系为(　　)

A．当n≥2时，2n≥n2

B．当n≥3时，2n≥n2

C．当n≥4时，2n>n2

D．当n≥5时，2n>n2

答案：D

3．(选修2－2P84A5改编)在等差数列{an}中，若a10＝0，则有a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，且n∈N*)成立．类比上述性质，在等比数列{bn}中，若b10＝1，则存在的等式为________________．

答案：b1b2…bn＝b1b2…b19－n(n<19且n∈N*)

三、易错自纠

4．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(2x＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(2x＋1)是奇函数，以上推理(　　)

A．结论正确 B．大前提不正确

C．小前提不正确 D．全不正确

解析：选C　因为f(x)＝sin(2x＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确．故选C．

5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．

解析：＝＝·＝×＝.

答案：1∶8

6．设n为正整数，f(n)＝1＋＋＋…＋，计算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________．

解析：∵f(21)＝，f(22)>2＝，f(23)>，f(24)>，∴归纳得，f(2n)≥.

答案：f(2n)≥

|题组突破|

1．(2019届江西宜春中学期中)在平面几何中有如下结论：正△ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P－ABC的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝(　　)

A． B．

C． D．

解析：选B　从平面图形类比到空间图形，从二维类比到三维，可得到如下结论：正四面体的内切球与外接球半径之比为，所以正四面体的内切球的体积V1与外接球的体积V2之比＝＝，故选B．

2．若{an}是等差数列，m，n，p是互不相等的正整数，则有：(m－n)ap＋(n－p)am＋(p－m)an＝0，类比上述性质，相应地，对等比数列{bn}，m，n，p是互不相等的正整数，有____________．

解析：等差数列的三项之和类比等比数列的三项之积，等差数列中(m－n)ap类比等比数列中的b，因此有b·b·b＝1.

答案：b·b·b＝1

3.如图所示，在三棱锥S－ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA，SB，SC和底面ABC所成的角分别为α1，α2，α3，△SBC，△SAC，△SAB的面积分别为S1，S2，S3，类比三角形中的正弦定理，给出空间图形的一个猜想是________．

解析：类比三角形中的正弦定理，在四面体S－ABC中，我们猜想＝＝成立．

答案：＝＝

►名师点津

类比推理的分类及处理方法

|题组突破|

4．德国著名数学家高斯年少成名，被誉为“数学王子”．其年幼时，在对1＋2＋3＋…＋100的求和运算中，提出了倒序相加法，该方法的原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也被称为高斯算法．若函数f(x)＝，则f(1)＋f(2)＋…＋f(m＋2 018)＝(　　)

A． B．

C． D．

解析：选C　由题意知，f(1)＋f(2)＋…＋f(m＋2 018)＝＋＋…＋＋，①

又f(1)＋f(2)＋…＋f(m＋2 018)＝＋＋…＋＋，②

①②两式相加整理得，f(1)＋f(2)＋…＋f(m＋2 018)＝×＝.故选C．

5．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n>1，n∈N)个点，相应的图案中总的点数记为an，则＋＋＋…＋＝(　　)

A． B．

C． D．

解析：选C　观察图形可知，每个图形中每条边上有n个点，所以3条边上有3n个点，又三角形图形的3个顶点重复计数了一次，所以an＝3n－3，n>1，n∈N，则＝＝＝－，则＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋＝1－＝.故选C．

6．观察下列等式：

12＝1；

12－22＝－3；

12－22＋32＝6；

12－22＋32－42＝－10；

…

照此规律，第n个等式为________．

解析：观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1.

答案：12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1

►名师点津

归纳推理问题的常见类型及解题策略

逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程．主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎．

【例】　(2019年全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．

甲：我的成绩比乙高．

乙：丙的成绩比我和甲的都高．

丙：我的成绩比乙高．

成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为(　　)

A．甲、乙、丙 B．乙、甲、丙

C．丙、乙、甲 D．甲、丙、乙

[解析]　依题意，若甲预测正确，则乙、丙均预测错误，此时三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若乙预测正确，此时丙预测也正确，这与题意相矛盾；若丙预测正确，则甲预测错误，此时乙预测正确，这与题意相矛盾．综上所述，三人成绩由高到低的次序为甲、乙、丙，故选A．

[答案]　A

►名师点津

求解此类题目一般利用反设推理方法，即逐个肯定或否定，结合条件进行推理判断，从而得出正确结论．

|跟踪训练|

(2019届重庆七校联考)某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知，下列推测一定正确的是(　　)

A．今天是周四 B．今天是周六

C．A车周三限行 D．C车周五限行

解析：选A　在限行政策下，要保证每天至少有四辆车可以上路行驶，周一到周五每天只能有一辆车限行．由周末不限行，B车昨天限行知，今天不是周一，也不是周日；由E车周四限行且明天可以上路可知，今天不是周三；由E车周四限行，B车昨天限行知，今天不是周五；从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，如果今天是周二，A，C两车连续上路行驶到周五，只能同时在周一限行，不符合题意；如果今天是周六，则B车周五限行，又E车周四限行，所以A，C两车连续上路行驶到周二，只能同时在周三限行，不符合题意．所以今天是周四，故选A．