北师大版高考数学一轮复习第1章第3节简单的逻辑联结词全称量词与存在量词课时作业理含解析

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

授课提示：对应学生用书第269页

[A组　基础保分练]

1.设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则（　　）

A.任意x∈Q，x∈P　　　　 B.任意x∉Q，x∉P

C.存在x∉Q，x∈P  D.存在x∈P，x∉Q

解析：因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，由此可知A项错误，B项正确，C项错误，D项错误.

答案：B

2.若命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0，则非p为（　　）

A.不存在x∈R，使得x3－x2＋1＜0

B.存在x∈R，使得x3－x2＋1＜0

C.对任意的x∈R，都有x3－x2＋1≥0

D.存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0

解析：命题p：对任意的x∈R，都有x3－x2＋1＜0的否定非p：存在x∈R，使得x3－x2＋1≥0.

答案：D

3.命题p：存在常数列不是等比数列，则命题非p为（　　）

A.任意常数列不是等比数列

B.存在常数列是等比数列

C.任意常数列都是等比数列

D.不存在常数列是等比数列

解析：因为特称命题的否定是全称命题，命题p：存在常数列不是等比数列的否定命题非p：任意常数列都是等比数列.

答案：C

4.（2021·淮北模拟）命题p：若向量a·b＜0，则a与b的夹角为钝角；命题q：若cos α·cos β＝1，则sin（α＋β）＝0.下列命题为真命题的是（　　）

A.p  B.非q

C.p且q  D.p或q

解析：当a，b方向相反时，a·b＜0，但夹角是180°，不是钝角，命题p是假命题；

若cos αcos β＝1，则cos α＝cos β＝1或cos α＝cos β＝－1，所以sin α＝sin β＝0，从而sin（α＋β）＝0，命题q是真命题，所以p或q是真命题.

答案：D

5.（2021·惠州模拟）设命题p：若定义域为R的函数f（x）不是偶函数，则对任意的x∈R，f（－x）≠f（x）.命题q：f（x）＝x|x|在（－∞，0）上是减函数，在（0，＋∞）上是增函数.则下列判断错误的是（　　）

A.p为假命题　　　　　　　 B.非q为真命题

C.p或q为真命题  D.p且q为假命题

解析：函数f（x）不是偶函数，仍然存在x，使得f（－x）＝f（x），p为假命题；f（x）＝x|x|＝在R上是增函数，q为假命题.所以p或q为假命题.

答案：C

6.若命题“存在x∈R，使得3x2＋2ax＋1＜0”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）

A.（－，）

B.（－∞，－）∪[，＋∞）

C.[－，]

D.（－∞，－]∪（，＋∞）

解析：命题“存在x∈R，使得3x2＋2ax＋1＜0”是假命题，即“任意x∈R，3x2＋2ax＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a2－12≤0，解得－≤a≤.

答案：C

7.（2021·株洲模拟）已知命题p：任意x＞0，ex＞x＋1，命题q：存在x∈（0，＋∞），ln x≥x，则下列命题为真命题的是（　　）

A.p且q　　　　　　　 B.（非p）且q

C.p且（非q）  D.（非p）且（非q）

解析：令f（x）＝ex－x－1，则f′（x）＝ex－1，当x＞0时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）＞f（0）＝0，所以ex＞x＋1，命题p为真命题；

令g（x）＝ln x－x，x＞0，则g′（x）＝－1＝，x∈（0，1）时，g′（x）＞0；x∈（1，＋∞）时，g′（x）＜0，所以g（x）max＝g（1）＝－1＜0，所以g（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，所以q假.

答案：C

8.若命题“任意x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题，则实数k的取值范围是（　　）

A.（－4，0）  B.（－4，0]

C.（－∞，－4]∪（0，＋∞）  D.（－∞，－4）∪[0，＋∞）

解析：命题：“任意x∈R，kx2－kx－1＜0”是真命题.当k＝0时，则有－1＜0；当k≠0时，则有k＜0，且Δ＝（－k）2－4×k×（－1）＝k2＋4k＜0，解得－4＜k＜0.综上所述，实数k的取值范围是（－4，0].

答案：B

9.若命题p的否定是“任意x∈（0，＋∞）， ＞x＋1”，则命题p可写为“　　　　　　　　　　　　”.

解析：因为p是非p的否定，所以只需将全称量词变为存在量词，再对结论否定即可.

答案：存在x∈（0，＋∞），≤x＋1

10.已知命题p：x2＋4x＋3≥0，q：x∈Z，且“p且q”与“非q”同时为假命题，则x＝__________.

解析：若p为真，则x≥－1或x≤－3，

因为“非q”为假，则q为真，即x∈Z，

又因为“p且q”为假，所以p为假，故－3＜x＜－1，

由题意，得x＝－2.

答案：－2

[B组　能力提升练]

1.（2021·西安模拟）下列各组命题中，满足“‘p或q’为真、‘p且q’为假、‘非q’为真”的是（　　）

A.p：y＝在定义域内是减函数；q：f（x）＝ex＋e－x是偶函数

B.p：对任意的x∈R，x2＋x＋1≥0；q：x>1是x>2成立的充分不必要条件

C.p：x＋的最小值是6；q：直线l：3x＋4y＋6＝0被圆（x－3）2＋y2＝25截得的弦长为3

D.p：抛物线y2＝8x的焦点坐标是（2，0）；q：过椭圆＋＝1的左焦点的最短的弦长是3

解析：A.y＝在（－∞，0）和（0，＋∞）上分别是减函数.则命题p是假命题；易知q是真命题，则非q是假命题，不满足题意.

B.判别式Δ＝1－4＝－3<0，则对任意的x∈R，x2＋x＋1≥0成立，即p是真命题；x>1是x>2成立的必要不充分条件，即q是假命题，则“‘p或q’为真、‘p且q’为假、‘非q’为真”，故B满足题意.

C.当x<0时，x＋的最小值不是6，则p是假命题；圆心到直线的距离d＝＝＝3，则弦长＝2＝8，则q是假命题，则p或q为假命题，不满足题意.

D.抛物线y2＝8x的焦点坐标是（2，0），则p是真命题；椭圆的左焦点为（－1，0），当x＝－1时，y2＝，则y＝±，则最短的弦长为×2＝3，即q是真命题，则非q是假命题，不满足题意.

答案：B

2.已知直线m，n，平面α，β，命题p：若α∥β，m∥α，则m∥β；命题q：若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n.下列是真命题的是（　　）

A.p且q  B.p或（非q）

C.p且（非q）  D.（非p）且q

解析：对于命题p，若α∥β，m∥α，则还需m⃘β才能推出m∥β，所以命题p为假命题，命题非p为真命题；对于命题q，若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则由线面平行的性质可推出m∥n，所以命题q为真命题，命题非q为假命题.所以（非p）且q为真命题.

答案：D

3.（2021·南昌模拟）设命题p：存在x∈（0，＋∞），x＋＞3，命题q：任意x∈（2，＋∞），x2＞2x，则下列命题为真命题的是（　　）

A.p且（非q）  B.（非p）且q

C.p且q  D.（非p）或q

解析：命题p：存在x∈（0，＋∞），x＋＞3，当x＝3时，3＋＞3，命题为真.命题q：任意x∈（2，＋∞），x2＞2x，当x＝4时，两式相等，命题为假，则p且（非q）为真.

答案：A

4.（2021·汕头模拟）已知命题p：任意x∈[0，1]，a≥ex；命题q：存在x∈R，x2＋4x＋a＝0.若命题p且q是真命题，则实数a的取值范围是（　　）

A.（4，＋∞）  B.[1，4]

C.[e，4]  D.（－∞，－1）

解析：∵任意x∈[0，1]，a≥ex，∴a≥（ex）max，可得a≥e.∵存在x∈R，x2＋4x＋a＝0，∴Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.∵命题p且q是真命题，∴p与q都是真命题，∴实数a的取值范围是[e，4].

答案：C

5.若存在x∈，使得2x2－λx＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是__________.

解析：因为存在x∈，使得2x2－λx＋1＜0成立是假命题，所以任意x∈，使得2x2－λx＋1≥0恒成立是真命题，即任意x∈，使得λ≤2x＋恒成立是真命题，令f（x）＝2x＋，则f′（x）＝2－，当x∈时，f′（x）＜0，当x∈时，f′（x）＞0，所以f（x）≥f＝2，则λ≤2.

答案：（－∞，2]

6.已知命题p：a2≥0（a∈R），命题q：函数f（x）＝x2－x在区间[0，＋∞）上单调递增，则下列命题：

①p或q；②p且q；③（非p）且（非q）；④（非p）或q.

其中为假命题的序号为__________.

解析：显然命题p为真命题，非p为假命题.因为f（x）＝x2－x＝－，所以函数f（x）在区间上单调递增.所以命题q为假命题，非q为真命题.所以p或q为真命题；p且q为假命题，（非p）且（非q）为假命题，（非p）或q为假命题.

答案：②③④

[C组　创新应用练]

1.不等式组的解集记为D，有下面四个命题：

p1：任意（x，y）∈D，x－2y≥2；

p2：存在（x，y）∈D，x－2y≥3；

p3：任意（x，y）∈D，x－2y≥；

p4：存在（x，y）∈D，x－2y≤－2.

其中的真命题是（　　）

A.p2，p3  B.p1，p4

C.p1，p2  D.p1，p3

解析：不等式组表示的可行域为如图所示的阴影部分，

由解得

所以M.

由图可知，当直线z＝x－2y过点M处时，z取得最小值，且zmin＝－2×＝，

所以真命题是p2，p3.

答案：A

2.已知命题p：任意x∈R，不等式ax2＋2x＋1＜0的解集为空集；命题q：f（x）＝（2a－5）x在R上满足f′（x）＜0，若命题p且（非q）是真命题，则实数a的取值范围是__________.

解析：因为任意x∈R，不等式ax2＋2x＋1＜0的解集为空集，所以当a＝0时，不满足题意；当a≠0时，必须满足解得a≥2.由f（x）＝（2a－5）x在R上满足f′（x）＜0，可得函数f（x）在R上单调递减，则0＜2a－5＜1，解得＜a＜3.若命题p且（非q）是真命题，则p为真命题，q为假命题，所以解得2≤a≤或a≥3，则实数a的取值范围是∪[3，＋∞）.

答案：∪［3，＋∞）