新高考数学一轮复习课时讲练第9章第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系 (含解析)

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这是一份新高考数学一轮复习课时讲练第9章第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系 (含解析)，共18页。试卷主要包含了直线与圆的位置关系，圆C，已知圆C等内容，欢迎下载使用。

第4讲　直线与圆、圆与圆的位置关系

1．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
方法位置关系
几何法
代数法
相交
d Δ>0
相切
d＝r
Δ＝0
相离
d>r
Δ<0
2.圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)．
方法位置关系
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r1－r2| 两组不同的实数解
内切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一组实数解
内含
0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)
无解

[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．(　　)
(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．(　　)
(3)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．(　　)
(4)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
[教材衍化]
1．(必修2P128练习T4改编)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为，
所以≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
答案：[－3，1]
2．(必修2P133A组T9)圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦长为________．
解析：由
得两圆公共弦所在直线为x－y＋2＝0.
又圆x2＋y2＝4的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为＝.由勾股定理得弦长的一半为＝，所以所求弦长为2.
答案：2
[易错纠偏]
(1)忽视分两圆内切与外切两种情形；
(2)忽视切线斜率k不存在的情形；
(3)求弦所在直线的方程时遗漏一解．
1．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________．
解析：两圆的圆心距d＝，由两圆相切(外切或内切)，得＝5＋1或＝5－1，解得a＝±2或a＝0.
答案：±2或0
2．已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为________．
解析：由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意；当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y－1＝k(x－3)，所以kx－y＋1－3k＝0，所以＝3，所以k＝－，所以切线方程为4x＋3y－15＝0.综上，切线方程为x＝3或4x＋3y－15＝0.
答案：x＝3或4x＋3y－15＝0
3．若直线过点P且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为________．
解析：当直线的斜率不存在时，该直线的方程为x＝－3，代入圆的方程得y＝±4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足题意．当直线的斜率存在时，不妨设直线的方程为y＋＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－＝0，则圆心到直线的距离d＝，则2＝8，解得k＝－，所以直线方程为3x＋4y＋15＝0.
综上所述，所求直线方程为x＝－3或3x＋4y＋15＝0.
答案：x＝－3或3x＋4y＋15＝0

　　　　　　直线与圆的位置关系
(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切　　　　　　　　　 B．相交
C．相离 D．不确定
(2)圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点的充要条件是________．
【解析】　(1)因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2＞1，从而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝＜1，
所以直线与圆相交．
(2)法一：将直线方程代入圆方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直线与圆没有公共点的充要条件是Δ＝16k2－12(k2＋1)<0，解得k∈(－，)．
法二：圆心(0，0)到直线y＝kx＋2的距离d＝，直线与圆没有公共点的充要条件是d>1，即>1，解得k∈(－，)．
【答案】　(1)B　(2)k∈(－，)

(变条件)若将本例(1)的条件改为“点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1上”，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系如何？
解：由点M在圆上，得a2＋b2＝1，所以圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝1，则直线与圆O相切．

[提醒]　上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．　
　(2020·衢州模拟)圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.因为圆心到直线的距离为＝2，又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，由数形结合知，圆上到直线的距离为1的点有3个．

　　　　　　圆的切线与弦长问题(高频考点)
圆的切线与弦长问题，是近年来高考的一个热点，多以选择题、填空题的形式呈现，多为中、低档题目．主要命题角度有：
(1)求圆的切线方程；
(2)求弦长及切线长；
(3)由弦长及切线问题求参数．
角度一　求圆的切线方程
过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为(　　)
A．2x＋y－5＝0 B．2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0 D．x－2y－7＝0
【解析】　因为过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，
所以点(3，1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，
因为圆心与切点连线的斜率k＝＝，
所以切线的斜率为－2，则圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.故选B.
【答案】　B
角度二　求弦长及切线长
(1)若a，b，c是△ABC三个内角的对边，且csin C＝3asin A＋3bsin B，则直线l：ax－by＋c＝0被圆O：x2＋y2＝12所截得的弦长为(　　)
A．4 B．2
C．6 D．5
(2)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝________．
【解析】　(1)因为＝＝，
故由csin C＝3asin A＋3bsin B可得c2＝3(a2＋b2)．
圆O：x2＋y2＝12的圆心为O(0，0)，半径为r＝2，圆心O到直线l的距离d＝＝，所以直线l被圆O所截得的弦长为2＝2＝6，故选C.
(2)由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A(－4，－1)．
所以|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.所以|AB|＝6.
【答案】　(1)C　(2)6
角度三　由弦长及切线问题求参数
(1)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为(　　)
A．3 B.
C．2 D．2
(2)(2019·高考浙江卷)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________．
【解析】　(1)如图，把圆的方程化成标准形式得x2＋(y－1)2＝1，
所以圆心为(0，1)，半径为r＝1，四边形PACB的面积
S＝2S△PBC，
所以若四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值为1.
而S△PBC＝r·|PB|，即|PB|的最小值为2，
此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离d，
此时d＝＝＝，
即k2＝4，因为k>0，所以k＝2.
(2)法一：设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，则r＝＝.
法二：因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以×2＝－1，所以m＝－2，r＝＝.
【答案】　(1)D　(2)－2　

(1)求直线被圆截得的弦长的常用方法
①几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2.
②代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝|x1－x2|.
(2)圆的切线方程的求法
①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.　

1．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是(　　)
A. B.
C．[－，] D.
解析：选B.如图，设圆心C(2，3)到直线y＝kx＋3的距离为d，若|MN|≥2，
则d2＝r2－≤4－3＝1，
即≤1，解得－≤k≤.
2．(2020·温州中学高三期末)若经过点P(－3，0)的直线l与圆M：x2＋y2＋4x－2y＋3＝0相切，则圆M的圆心坐标是________；半径为________；切线在y轴上的截距是________．
解析：圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝2，则圆心坐标为(－2，1)，半径R＝，设切线斜率为k，过P的切线方程为y＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＝0，则圆心到直线的距离d＝＝＝，平方得k2＋2k＋1＝(k＋1)2＝0，解得k＝－1，此时切线方程为y＝－x－3，即在y轴上的截距为－3.
答案：(－2，1)　　－3
3．(2020·杭州市学军中学高三模拟)已知直线l：mx－y＝1，若直线l与直线n：x＋m(m－1)y＝2垂直，则m的值为________，动直线l：mx－y＝1被圆C：x2－2x＋y2－8＝0截得的最短弦长为________．
解析：由题意得m－m(m－1)＝0⇒m＝0或m＝2；动直线l：mx－y＝1过定点(0，－1)，而动直线l：mx－y＝1被圆C：(x－1)2＋y2＝9截得的弦长最短时，弦中点恰为(0，－1)，此时弦长为2＝2.
答案：0或2　2

　　　　　　圆与圆的位置关系
(1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
(2)已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1相外切，则ab的最大值为(　　)
A. B.
C. D．2
【解析】　(1)由
得两交点为(0，0)，(－a，a)．
因为圆M截直线所得线段长度为2，
所以＝2.
又a>0，所以a＝2.
所以圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0，2)，半径r1＝2.
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1，1)，半径r2＝1，
所以|MN|＝＝.
因为r1－r2＝1，r1＋r2＝3，1<|MN|<3，
所以两圆相交．
(2)由圆C1与圆C2相外切，可得＝2＋1＝3，即(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝9，根据基本不等式可知9＝a2＋2ab＋b2≥2ab＋2ab＝4ab，即ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立．故选C.
【答案】　(1)B　(2)C

(变条件)若本例(2)条件中“外切”变为“内切”，求ab的最大值．
解：由C1与C2内切，得＝1.
即(a＋b)2＝1, 又ab≤＝，
当且仅当a＝b时等号成立，故ab的最大值为.

(1)几何法判断圆与圆的位置关系的步骤
①确定两圆的圆心坐标和半径；
②利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，并求r1＋r2，|r1－r2|；
③比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，然后写出结论．
(2)两圆公共弦长的求法
两圆公共弦长，先求出公共弦所在直线的方程，在其中一圆中，由弦心距d，半弦长，半径r所在线段构成直角三角形，利用勾股定理求解．　

1．圆C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9与圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4外切，则m的值为(　　)
A．2 B．－5
C．2或－5 D．不确定
解析：选C.由C1(m，－2)，r1＝3；C2(－1，m)，r2＝2；
则两圆心之间的距离为|C1C2|＝＝2＋3＝5，解得m＝2或－5.故选C.
2．(2020·嘉兴模拟)若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
解析：⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，如图，可知两切线分别过另一圆的圆心，所以O1A⊥OA.

又因为|OA|＝，|O1A|＝2，
所以|OO1|＝5.又A，B关于OO1所在直线对称，
所以AB长为Rt△OAO1斜边上的高的2倍．
所以|AB|＝2 ×＝4.
答案：4
核心素养系列19　直观想象——解决直线与圆的综合问题
直观想象是发现和提出数学问题、分析和解决数学问题的重要手段，是探索和形成论证思路、进行逻辑推理、构建抽象结构的思维基础．
在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·＝0，则点A的横坐标为________．
【解析】　法一：如图．
由题意易得∠BAD＝45°.
设直线DB的倾斜角为θ，则tan θ＝－，
所以tan∠ABO＝－tan(θ－45°)＝3，
所以kAB＝－tan∠ABO＝－3.
所以AB的方程为y＝－3(x－5)，
由得xA＝3.

法二：设A(a，2a)，a>0，则C，
所以圆C的方程为＋(y－a)2＝＋a2，
由得
所以·＝(5－a，－2a)·＝＋2a2－4a＝0，所以a＝3或a＝－1，又a>0，所以a＝3，所以点A的横坐标为3.
法三：因为·＝0，所以AB⊥CD，又点C为AB的中点，所以∠BAD＝45°.设直线l的倾斜角为θ，直线AB的斜率为k，则tan θ＝2，k＝tan＝－3.又B(5，0)，所以直线AB的方程为y＝－3(x－5)，又A为直线l：y＝2x上在第一象限内的点，联立直线AB与直线l的方程，得解得，所以点A的横坐标为3.
【答案】　3

本题法一，把·＝0的数量关系，转化为CD⊥AB，进而推出∠BAD＝45°，结合图形得出直线AB的斜率，体现核心素养中的直观想象．　
[基础题组练]
1．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为(　　)
A．4　　　　　　　　　　　 B．3
C．2 D．1
解析：选C.(直接法)集合A表示圆，集合B表示一条直线，又圆心(0，0)到直线x＋y＝1的距离d＝＝<1＝r，所以直线与圆相交．
2．直线l：x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0恒有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．[－，]
B．[－2，2]
C．[－－1，－1]
D．[－2－1，2－1]
解析：选D.圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为(2，1)，半径为2，圆心到直线的距离d＝＝，若直线l与圆C恒有公共点，则≤2，解得－2－1≤m≤2－1，故选D.
3．若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为2，则a的值为(　　)
A．±2 B．2
C．－2 D．无解
解析：选A.圆x2＋y2＝a2的圆心为原点O，半径r＝|a|.
将x2＋y2＝a2与x2＋y2＋ay－6＝0左右分别相减，
可得a2＋ay－6＝0，即得两圆的公共弦所在直线的方程为a2＋ay－6＝0.
原点O到直线a2＋ay－6＝0的距离d＝，
根据勾股定理可得a2＝()2＋，
所以a2＝4，所以a＝±2.故选A.
4．(2020·台州中学高三月考)若直线y＝kx＋4＋2k与曲线y＝有两个交点，则k的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B.
C. D．(－∞，－1]
解析：选B.曲线y＝即x2＋y2＝4(y≥0)，
表示一个以(0，0)为圆心，以2为半径的位于x轴上方的半圆，如图所示．

直线y＝kx＋4＋2k即y＝k(x＋2)＋4，表示恒过点(－2，4)，斜率为k的直线，
结合图形可得kAB＝＝－1，
因为＝2，解得k＝－，即kAT＝－，
所以要使直线与半圆有两个不同的交点，k的取值范围是.
5．圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey－3＝0(D<0，E为整数)的圆心C到直线4x－3y＋3＝0的距离为1，且圆C被截x轴所得的弦长|MN|＝4，则E的值为(　　)
A．－4 B．4
C．－8 D．8
解析：选C.圆心C.
由题意得＝1，
即|4D－3E－6|＝10，①
在圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey－3＝0中，令y＝0得x2＋Dx－3＝0.
设M(x1，0)，N(x2，0)，则x1＋x2＝－D，x1x2＝－3.
由|MN|＝4得|x1－x2|＝4，即(x1＋x2)2－4x1x2＝16，
(－D)2－4×(－3)＝16.
因为D<0，所以D＝－2.
将D＝－2代入①得|3E＋14|＝10，
所以E＝－8或E＝－(舍去)．
6．已知圆C：(x－)2＋(y－1)2＝1和两点A(－t，0)，B(t，0)，(t>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则当t取得最大值时，点P的坐标是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选D.设P(a，b)为圆上一点，由题意知，·＝0，即(a＋t)(a－t)＋b2＝0，a2－t2＋b2＝0，所以t2＝a2＋b2＝|OP|2，|OP|max＝2＋1＝3，即t的最大值为3，此时kOP＝，OP所在直线的倾斜角为30°，所以点P的纵坐标为，横坐标为3×＝，即P.
7．(2020·浙江高中学科基础测试)由直线3x－4y＋5＝0上的一动点P向圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0引切线，则切线长的最小值为________．
解析：当直线上的点到圆心(2，－1)的距离最短时，切线长最小．此时，圆心到直线的距离
d＝＝3，r＝1，所以切线长为2.
答案：2
8．(2020·杭州七校联考)已知圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，直线l过圆心且交圆C于A，B两点，交y轴于P点，若2 ＝，则直线l的斜率k＝________．
解析：依题意得，点A是线段PB的中点，|PC|＝|PA|＋|AC|＝3，过圆心C(3，5)作y轴的垂线，垂足为C1，则|CC1|＝3，|PC1|＝＝6.记直线l的倾斜角为θ，则有|tan θ|＝＝2，即k＝±2.
答案：±2
9．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则|PC|的最大值为________．
解析：已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，所以圆心为C(1，2)，半径r＝，若等边△PAB的一边AB为圆C的一条弦，则PC⊥AB.在△PAC中，∠APC＝30°，由正弦定理得＝，所以|PC|＝2sin∠PAC≤2，故|PC|的最大值为2.
答案：2
10．(2020·绍兴柯桥区高三下学期考试)已知圆O1和圆O2都经过点(0，1)，若两圆与直线4x－3y＋5＝0及y＋1＝0均相切，则|O1O2|＝________．
解析：如图，因为原点O到直线4x－3y＋5＝0的距离d＝＝1，到直线y＝－1的距离为1，且到(0，1)的距离为1，
所以圆O1和圆O2的一个圆心为原点O，不妨看作是圆O1，
设O2(a，b)，则由题意：
，解得.
所以|O1O2|＝＝.
答案：
11．(2020·浙江省名校协作体高三联考)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9内有一点P(2，2)，过点P作直线l交圆C于A，B两点．
(1)当l经过圆心C时，求直线l的方程；
(2)当直线l的倾斜角为45°时，求弦AB的长．
解：(1)已知圆C：(x－1)2＋y2＝9的圆心为C(1，0)，因为直线过点P，C，所以kPC＝＝2，直线l的方程为y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
(2)当直线l的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l的方程为y－2＝x－2，即x－y＝0，圆心C到直线l的距离为，又因为圆的半径为3，所以弦AB的长为.
12．圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心坐标为(2，1)．
(1)若圆O1与圆O2外切，求圆O2的方程；
(2)若圆O1与圆O2相交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解：(1)因为圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
所以圆心O1(0，－1)，半径r1＝2.
设圆O2的半径为r2，由两圆外切知|O1O2|＝r1＋r2.
又|O1O2|＝＝2，
所以r2＝|O1O2|－r1＝2－2.
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
(2)设圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，
又圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
相减得AB所在的直线方程为4x＋4y＋r－8＝0.
设线段AB的中点为H，
因为r1＝2，所以|O1H|＝＝.
又|O1H|＝＝，
所以＝，解得r＝4或r＝20.
所以圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
[综合题组练]
1．两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R且ab≠0，则＋的最小值为(　　)
A．1 B．3
C. D.
解析：选A.由题意知两圆的标准方程为(x＋a)2＋y2＝4和x2＋(y－2b)2＝1，圆心分别为(－a，0)和(0，2b)，半径分别为2和1，因为两圆恰有三条公切线，所以两圆外切，故有＝3，即a2＋4b2＝9，所以＋＝＝≥×(1＋4＋4)＝1.当且仅当＝，即|a|＝|b|时取等号，故选A.
2．在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使MA＝2MO，则圆心C的横坐标a的取值范围是(　　)
A. B．[0，1]
C. D.
解析：选A.因为圆心在直线y＝2x－4上，
所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以＝2，
化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，
所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上．
由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤CD≤2＋1，即1≤≤3.
由≥1得5a2－12a＋8≥0，解得a∈R；
由≤3得5a2－12a≤0，解得0≤a≤.
所以点C的横坐标a的取值范围为.故选A.
3．(2020·浙江省镇海中学高三模拟)已知点P(a，b)关于直线l的对称点为P′(b＋1，a－1)，则圆C：x2＋y2－6x－2y＝0关于直线l对称的圆C′的方程为______________；
圆C与圆C′的公共弦的长度为________．
解析：由题设将圆C：x2＋y2－6x－2y＝0中的x，y换为y＋1，x－1可得圆C′的方程为(y＋1)2＋(x－1)2－6(y＋1)－2(x－1)＝0，即x2＋y2－4x－4y－2＝0，也即(x－2)2＋(y－2)2＝10；将两圆的方程两边相减可得公共弦的直线方程为x－y－1＝0，圆心C′(2，2)到该直线的距离d＝，半径r＝，故弦长L＝2＝.
答案：(x－2)2＋(y－2)2＝10　
4．已知抛物线C：y2＝2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．
解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.
由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.
又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.
因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上．
(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.
故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，
圆M的半径r＝.
由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，
故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，
即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.
由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4.
所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.
当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3，1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.
当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为＋＝.
5．(2020·富阳市场口中学高三质检)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是正整数，且与直线4x＋3y－29＝0相切．
(1)求圆的方程；
(2)设直线ax－y＋5＝0(a＞0)与圆相交于A，B两点，求实数a的取值范围；
(3)在(2)的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P(－2，4)，若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)设圆心为M(m，0)(m∈N*)．
由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，
所以＝5，
即|4m－29|＝25.因为m为正整数，故m＝1.
故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝25.
(2)把直线ax－y＋5＝0，即y＝ax＋5
代入圆的方程，消去y，
整理得(a2＋1)x2＋2(5a－1)x＋1＝0，
由于直线ax－y＋5＝0交圆于A，B两点，
故Δ＝4(5a－1)2－4(a2＋1)＞0，
即12a2－5a＞0，由于a＞0，解得a＞，
所以实数a的取值范围是.
(3)设符合条件的实数a存在，
则直线l的斜率为－，
l的方程为y＝－(x＋2)＋4，即x＋ay＋2－4a＝0.
由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1，0)必在l上，
所以1＋0＋2－4a＝0，解得a＝.
由于∈，故存在实数a＝，
使得过点P(－2，4)的直线l垂直平分弦AB.