北师大版高考数学一轮复习第9章第7节n次独立重复试验与二项分布课时作业理含解析

第七节 n次独立重复试验与二项分布

授课提示：对应学生用书第387页

[A组　基础保分练]

1.（2021·郑州模拟）设X～B（4，p），其中0<p<且P（X＝2）＝，那么P（X＝1）＝（　　）

A.　　　　　　　　 B.

C.  D.

解析：P（X＝2）＝Cp2（1－p）2＝，即p2（1－p）2＝·，解得p＝或p＝（舍去），故P（X＝1）＝Cp·（1－p）3＝.

答案：D

2.从甲袋内摸出1个白球的概率是，从乙袋内摸出1个白球的概率是，如果从两个袋内各摸出1个球，那么是（　　）

A.2个球不都是白球的概率

B.2个球都不是白球的概率

C.2个球都是白球的概率

D.2个球恰好有1个球是白球的概率

解析：因为2个球不都是白球的对立事件是2个球都是白球，两者是相互独立的，2个球都是白球的概率P＝×＝，所以2个球不都是白球的概率是1－＝.

答案：A

3.在射击中，甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，丙命中目标的概率为，现在3个人同时射击目标，则目标被击中的概率为（　　）

A.  B.

C.  D.

解析：目标被击中的概率P＝1－P（··）＝1－[1－P（甲）][1－P（乙）][1－P（丙）]＝1－××＝.

答案：A

4.（2021·长沙模拟）已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未损坏，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（　　）

A.0.75  B.0.6

C.0.52  D.0.48

解析：设一个这种元件使用到1年时还未损坏为事件A，使用到2年时还未损坏为事件B，则由题意知P（AB）＝0.6，P（A）＝0.8，则这个元件使用寿命超过2年的概率为P（B|A）＝＝＝0.75.

答案：A

5.（2021·厦门模拟）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3∶1的比分获胜的概率为（　　）

A.  B.

C.  D.

解析：第四局甲第三次获胜，并且前三局甲获胜两次，所以所求的概率为P＝C××＝.

答案：A

6.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是（　　）

A.  B.

C.  D.

解析：法一：由题意知，每次试验成功的概率为，失败的概率为，在2次试验中成功次数X的可能取值为0，1，2，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝C××＝＝，P（X＝2）＝＝，EX＝0×＋1×＋2×＝.

法二：由题意知，一次试验成功的概率p＝，故X～B，所以EX＝2×＝.

答案：B

7.某射手每次射击击中目标的概率都是，这名射手射击5次，有3次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率是_________.

解析：设“第i次射击击中目标”为事件Ai（i＝1，2，3，4，5），“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件C，则

P（C）＝P（A1A2A345）＋P（1A2A3A45）＋P（12A3A4A5）＝×＋××＋×＝.

答案：

8.某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立.则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为　　　　，该选手回答了5个问题结束的概率为_________.

解析：依题意，该选手第2个问题回答错误，第3，4个问题均回答正确，第1个问题回答正误均有可能，则所求概率P＝0.8×0.2×0.82＋0.2×0.2×0.82＝1×0.2×0.82＝0.128.

依题意，设答对的事件为A，可分第3个正确与错误两类，若第3个正确则有AA 或  A 两类情况，其概率为：0.8×0.2×0.8×0.2＋0.2×0.2×0.8×0.2＝0.025 6＋0.006 4＝0.032.该选手第3个问题的回答是错误的，第1，2两个问题回答均错误或有且只有1个错误，则所求概率P＝0.23＋2×0.2×0.8×0.2＝0.008＋0.064＝0.072.所以，所求概率为0.032＋0.072＝0.104.

答案：0.128　0.104

9.（2020·高考北京卷）某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二.为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立.

（1）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

（2）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；

（3）将该校学生支持方案的概率估计值记为p0，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为p1，试比较p0与p1的大小.（结论不要求证明）

解析：（1）该校男生支持方案一的概率为＝，

该校女生支持方案一的概率为＝；

（2）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生，一个女生支持方案一，

所以3人中恰有2人支持方案一概率为C＋C＝；

（3）p1＜p0

10.（2021·上饶模拟）随着节能减排意识深入人心以及共享单车的大范围推广，越来越多的市民在出行时喜欢选择骑行共享单车.为了研究广大市民共享单车的使用情况，某公司在我市随机抽取了100名用户进行调查，得到如下数据：

每周骑行共享单车6次及6次以上的用户称为“骑行达人”，视频率为概率，在我市所有“骑行达人”中，随机抽取4名用户.

（1）求抽取的4名用户中，既有男“骑行达人”，又有女“骑行达人”的概率；

（2）为了鼓励女性用户使用共享单车，对抽出的女“骑行达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X，求X的分布列及数学期望.

解析：在该市“骑行达人”中，随机抽取1名用户，该用户为男“骑行达人”的概率为，女“骑行达人”的概率为.

（1）抽取的4名用户中，既有男“骑行达人”，又有女“骑行达人”的概率为P＝1－－＝.

（2）记抽出的女“骑行达人”人数为Y，则X＝500Y.

由题意，得Y～B，

∴P（Y＝i）＝C（i＝0，1，2，3，4）.

∴Y的分布列为

∴X的分布列为

∴EY＝4×＝，

∴X的数学期望EX＝500EY＝800.

[B组　能力提升练]

1.已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为（　　）

A.0.85  B.0.819 2

C.0.8  D.0.75

解析：因为某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8，则该射击运动员射击4次看作4次独立重复试验，则至少击中3次的概率C（0.8）3（1－0.8）＋C（0.8）4＝0.819 2.

答案：B

2.（2021·包头调研）甲、乙、丙三人参加一次考试，他们合格的概率分别为，，，那么三人中恰有两人合格的概率是（　　）

A.  B.

C.  D.

解析：三人中恰有两人合格的概率P＝××＋××＋××＝.

答案：C

3.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是（　　）

A.  B.

C.  D.

解析：用间接法考虑，事件A、B一个都不发生概率为P（）＝P（）·P（）＝×＝.

则所求概率P＝1－P（）＝.

答案：C

4.（2021·南昌模拟）为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程.现有3名工人相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名工人选择的项目所属类别互异的概率是（　　）

A.  B.

C.  D.

解析：记第i名工人选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1，2，3.由题意，事件Ai，Bi，Ci（i＝1，2，3）相互独立，则P（Ai）＝＝，P（Bi）＝＝，P（Ci）＝＝，i＝1，2，3，故这3名工人选择的项目所属类别互异的概率是P＝AP（AiBiCi）＝6×××＝.

答案：D

5.（2021·珠海模拟）夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鲟洄游到长江，历经三千多公里的溯流搏击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鲟鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为_________.

解析：设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P（A）＝0.15，P（AB）＝0.05，所以P（B|A）＝＝＝.

答案：

6.（2021·西安模拟）9粒种子分别种在3个坑内，每个坑种3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种，若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种.假设每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，则ξ的数学期望为_________.

解析：每个坑需要补种的概率是相等的，都是＝，所以此为3次独立重复试验模型，每次试验发生的概率都是，所以需要补种的坑的个数的数学期望为3×＝，补种费用ξ的数学期望为10×＝.

答案：

7.为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.

（1）求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；

（2）设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列.

解析：（1）两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，

两人都付0元的概率为P1＝×＝，

两人都付40元的概率为P2＝×＝，

两人都付80元的概率为

P3＝×＝×＝，

则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.

（2）设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，则：

P（ξ＝0）＝×＝；

P（ξ＝40）＝×＋×＝；

P（ξ＝80）＝×＋×＋×＝；

P（ξ＝120）＝×＋×＝；

P（ξ＝160）＝×＝.

ξ的分布列为

[C组　创新应用练]

（2021·南昌模拟）市面上有某品牌A型和B型两种节能灯，假定A型节能灯使用寿命都超过5 000小时.经销商对B型节能灯使用寿命进行了调查统计，得到如图所示的频率分布直方图.

某商家因原店面需重新装修，需租赁一家新店面进行周转，合约期一年.新店面需安装该品牌节能灯5只（同种型号）即可正常营业.经了解，A型20瓦和B型55瓦的两种节能灯照明效果相当，都适合安装.已知A型和B型节能灯每只的价格分别为120元、25元，当地商业电价为0.75元/千瓦时.假定该店面正常营业一年的照明时间为3 600小时，若正常营业期间灯坏了立即购买同型灯更换.（用频率估计概率）

（1）若该商家新店面全部安装了B型节能灯，求一年内恰好更换了2只灯的概率；

（2）若只考虑灯的成本和消耗电费，你认为该商家应选择哪种型号的节能灯，请说明理由.

解析：（1）由频率分布直方图可知

B型节能灯使用寿命超过3 600小时的频率为0.001 0×200＝0.2，

用频率估计概率，得B型节能灯使用寿命超过3 600小时的概率为.

所以一年内一只B型节能灯在使用期间需更换的概率为，

所以一年内5只恰好更换了2只灯的概率为C×＝.

（2）共需要安装5只同型号的节能灯，

若选择A型节能灯，一年共需花费5×120＋3 600×5×20×0.75×10－3＝870（元）.

若选择B型节能灯，由于B型节能灯一年内需更换服从二项分布B，

故一年需更换灯的只数的期望为5×＝4（只），

故一年共需花费（5＋4）×25＋3 600×5×55×0.75×10－3＝967.5（元）.

因为967.5>870，所以该商家应选择A型节能灯.