2021-2022学年江西省景德镇一中高一（17）班下学期期中考试数学试题含解析

2021-2022学年江西省景德镇一中高一（17）班下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．若，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】首先利用诱导公式，将自变量调整到一个单调区间内，再比较大小.

【详解】，，

，

在区间单调递增，，

即.

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用诱导公式，化简，这样自变量都在区间 ，即可利用单调性比较大小.

2．已知是第二象限角，则（       ）

A．是第一象限角 B．

C． D．是第三或第四象限角

【答案】C

【分析】由已知可求，，，，逐项分析即可得解．

【详解】∵是第二象限角，

∴，，即，，

∴是第一象限或第三象限角，故A错误；

由是第一象限或第三象限角，或，故B错误；

∵是第二象限角，

∴，，

∴，，

∴是第三象限，第四象限角或终边在轴非正半轴，，故C正确，D错误.

故选：C．

3．已知，，则等于（     ）

A． B．或 C．或 D．

【答案】A

【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，求得所给式子的值．

【详解】解：∵，，

∴平方可得，即，

∴，，

∵可得：，解得：，或（舍去），

∴，可得：．

故选A．

【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角函数在各个象限中的符号，熟记公式即可，属于基础题．

4．已知，，则的值是（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据两角差的余弦函数公式，即可得出结果．

【详解】解：∵，，

∴，

∴，

∴ .

故选A．

【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

5．若复数满足，则的共轭复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．

【详解】，，

则z的共轭复数的虚部为1．

故选D．

【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

6．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】计算得出，求出的取值范围，由此可求得的取值范围.

【详解】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，、、、、、均为边长为的等边三角形，

当点位于正六边形的顶点时，取最大值，

当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即，

所以，.

所以，.

故答案为：.

【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：

（1）利用定义：

（2）利用向量的坐标运算；

（3）利用数量积的几何意义．

具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

7．在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则xy的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.

【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过作，垂足为，

因为，

所以有，

，设，，

因此有

因为，

所以有，

而，

所以，

当时，xy有最大值，当，或时，xy有最小值，

故选：B

【点睛】关键点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.

8．在锐角△ABC中，，，则△ABC的周长的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用面积公式和余弦定理可得，然后根据正弦定理及三角变换可得，再根据三角形是锐角三角形，得到的范围，转化为三角函数求取值范围的问题.

【详解】∵，

∴，

∴，即，为锐角，

∴，又，

由正弦定理可得，

所以

，其中，，

因为为锐角三角形，

所以，

所以，又，

∴，

故的周长的取值范围是．

故选：C.

二、多选题

9．函数的对称中心可以是（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】由求得对称中心，即得．

【详解】对于函数，令，求得，，

∴函数的对称中心为，，

取，得对称中心为；

取，得对称中心为；

不可能是，.

故选：BC．

10．在中，角所对的边分别为，且，．若有二解，则的值可以是（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】BC

【分析】由题可得，即可求出参数的取值范围，从而得解；

【详解】因为，，有二解，

所以，即.

故选：BC.

11．已知向量，，则下列命题正确的是（          ）

A．若，则

B．若在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为

C．存在，使得

D．的最大值为

【答案】BCD

【分析】利用向量的数量积为0，求出正切函数值，判断A；根据投影向量的定义以及向量的夹角判断B；通过向量的模的求法求解θ判断C；利用向量的数量积结合两角和与差的三角函数，求解最大值判断D．

【详解】解：对于A，若，则，

所以，故A错误；

对于B，若在方向上的投影向量为，

则，所以，

又，所以，

即向量与的夹角为，故B正确；

对于C，若，

则，

即，

即，所以，

所以当反向时，

此时有，

所以，即，

所以存在，使得，故C正确；

对于D，，其中，

所以的最大值为，故D正确.

故选：BCD.

12．△ABC中，角A、B、C的对边长分别是a，b，c，，，CE与BD交于P点，，AP与BC交于F点，有如下命题，正确的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】利用向量的线性运算的几何表示及共线定理可判断ABC，利用向量的数量积的定义，运算法则及余弦定理可判断D.

【详解】∵，

∴，故A错误；

设，则，

，

∴，

∴，解得，

∴，，

∴，故B正确；

设，则，又三点共线，

∴，即，

∴，，故C正确；

∵，

∴，，

∴，，

∴，即，故D错误.

故选：BC.

三、填空题

13．______．

【答案】

【分析】根据诱导公式及特殊角三角函数值，即可求解.

【详解】

.

故答案为：.

14．已知复数，则复数z在复平面内对应向量的模为______．

【答案】1

【分析】利用的次幂运算及复数的除法运算求得，从而即得.

【详解】因为，而，

所以，，

所以复数z在复平面内对应向量的模为1．

故答案为：1.

15．的值为______．

【答案】0.5

【分析】利用诱导公式，然后将，用，代替，再利用两角和差的余弦公式进行化简即可.

【详解】原式

故答案为：.

16．在直角三角形ABC中，C为直角，，I是的内心，MN是的内切圆的直径，则的取值范围是_________．

【答案】

【分析】根据直角三角形，可建立直角坐标系，写出圆的参数方程，进而可得点坐标，根据向量的坐标表示，在坐标运算下，求出数量积的表达，然后根据三角函数的最值确定数量积的范围.

【详解】设内切圆的半径为，由等面积法可得

建立如图所示的平面直角坐标系

圆的参数方程为，

设因为的中点为,所以

从而

其中

,故答案为:

四、解答题

17．已知，．

(1)当时，求；

(2)若和的夹角为钝角，求x的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据得到，再求的模长即可.

（2）根据题意得到，再解不等式组即可.

【详解】(1)因为，所以，解得，

所以，，.

(2)和的夹角为钝角，所以，解得且.

故的取值范围

18．设函数，其中.已知.

（1）求；

（2）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.

【答案】（1）.

（2）.

【详解】试题分析：（1）利用两角和与差的三角函数化简得到

由题设知及可得.

（2）由（1）得

从而.

根据得到，进一步求最小值.

试题解析：（1）因为，

所以

由题设知，

所以，.

故，，又，

所以.

（2）由（1）得

所以.

因为，

所以，

当，

即时，取得最小值.

【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.

19．已知，，分别为三个内角，，的对边，，，且.

(1)求的值；

(2)若的面积为，求的最小值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用向量数量积的坐标表示，再由两角和与差的余弦公式以及同角三角函数基本关系化简即可求解；

（2）利用余弦定理以及三角形面积公式化简所求代数式为，再由两角和的正切公式以及基本不等式计算即可得最小值.

【详解】(1)因为，，，

所以，

即，

所以，

即，所以，

(2)

.

20．如图所示，在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且满足．D为BC边上一点，，回答下列问题：

(1)求面积的大小；

(2)求AC的长度．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)将已知条件化简得到∠BAC，再由正弦定理、余弦定理可解答；

(2)由正弦定理、余弦定理及勾股定理可解答

【详解】(1)由，由正弦定理得，

变形整理得，又

所以，

又因为，所以，

在中，由余弦定理有，

解得或（因为可知，故舍去），

所以.

(2)在中，由余弦定理有，所以，

因为，所以，

在中，由正弦定理有，即，

解得

21．已知函数．

(1)求的值域；

(2)讨论函数在上的零点个数．

【答案】(1)；

(2)详见解析.

【分析】（1）运用二倍角公式、辅助角公式化简函数表达式后即可求解；

（2）先换元，再运用数形结合思想分类讨论可得答案.

【详解】(1)∵，

∴

，

故的值域为.

(2)因为，

令，则，

在上的零点个数等价于函数的图象与直线的交点个数.

当时，，

当时，，

所以

的图象如图所示，.

当，即时，的图象与直线的交点个数为3，

故在上的零点个数为3.

当，即或，的图象与直线的交点个数为4，

故在上的零点个数为4.

当.即，的图象与直线的交点个数为2，

故在上的零点个数为2.

当，即或时，的图象与直线没有交点，

故在上的零点个数为0.

综上，当时，在上的零点个数为3；

当或时，在上的零点个数为4；

当时，在上的零点个数为2；

当或时，在上的零点个数为0.

22．已知函数图象的最高点为，距离该最高点最近的一个对称中心为．

(1)求的解析式，并求出的单调递减区间；

(2)若函数，的图象关于对称，且在上单调递增，求a的值．

【答案】(1)，单调递减区间为；

(2)或.

【分析】（1）根据最高点可知振幅，相邻最高点及零点可知函数周期及，代入最高点坐标可求出，利用正弦函数的性质可得函数的单调区间；

（2）由题可得，然后利用正弦函数的对称性及单调性即得.

【详解】(1)∵函数图象的最高点为，距离该最高点最近的一个对称中心为，

∴，，

∴，，

∴，代入点，得.

又，

∴，

∴，

由，可得

，

即的单调递减区间为；

(2)由题可得，

又的图象关于对称，且在上单调递增，

∴，即，

由，可得，

则，即，

又，∴或.