2021届上海市建平中学高三冲刺模拟卷3数学试题（解析版）

这是一份2021届上海市建平中学高三冲刺模拟卷3数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
上海市建平中学2021届高三冲刺模拟卷3数学试题一、填空题1．已知定义在[﹣1，1]上的函数f（x）值域为[﹣2，0]，则y=f（cosx）的值域为_____．2．已知直线l的参数方程是（t为参数），则它的普通方程是_____．3．已知定义在上的增函数满足，若实数满足不等式，则的最小值是______．4．已知点P是棱长为1的正方体的底面上一点(包括边界)，则的取值范围是____.5．一个球的体积为，则该球的表面积为______.6．已知等比数列满足，，则的前项积的最大值为______.7．现有个不同小球，其中红色、黄色、蓝色、绿色小球各个，从中任取个，要求这个小球不能是同一颜色，且红色小球至多个，不同的取法为_____．8．已知点，，且平行四边形的四个顶点都在函数的图像上，则四边形的面积为______.9．已知集合M=，集合M的所有非空子集依次记为：M1，M2，...,M15，设m1，m2，...，m15分别是上述每一个子集内元素的乘积，规定：如果子集中只有一个元素，乘积即为该元素本身，则m1+m2+...+m15=_____10．给定正整数和正数，对于满足条件的所有无穷等差数列，当________时，取得最大值．11．函数f（x）=sinπx+cosπx+|sinπx﹣cosπx|对任意x∈R有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x2﹣x1|的最小值为      ．12．设数列是首项为0的递增数列，函数满足：对于任意的实数，总有两个不同的根，则的通项公式是________．二、单选题13．直线l在平面上，直线m平行于平面，并与直线l异面.动点P在平面上，且到直线l、m的距离相等.则点P的轨迹为（       ）A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线14．已知函数.若，使成立，则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．已知动点在椭圆上,为椭圆的右焦点,若点满足且,则的最小值为（　　）A． B．3 C． D．116．关于曲线：的下列说法：①关于原点对称；②关于直线对称；③是封闭图形，面积大于；④不是封闭图形，与圆无公共点；⑤与曲线D：的四个交点恰为正方形的四个顶点，其中正确的个数是（　　）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个三、解答题17．如图，三棱锥，侧棱，底面三角形为正三角形，边长为，顶点在平面上的射影为，有，且.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.18．如图所示，某人在斜坡处仰视正对面山顶上一座铁塔，塔高米，塔所在山高米，米，观测者所在斜坡近似看成直线，斜坡与水平面夹角为，（1）以射线为轴的正向，为轴正向，建立直角坐标系，求出斜坡所在直线方程；（2）当观察者视角最大时，求点的坐标（人的身高忽略不计）.19．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元）.当年产量不小于80千件时，（万元），每千件商品售价为50万元.通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？20．如图，设椭圆两顶点，短轴长为4，焦距为2，过点的直线与椭圆交于两点．设直线与直线交于点.（1）求椭圆的方程；（2）求线段中点的轨迹方程；（3）求证：点的横坐标为定值.21．已知函数，为常数，且.（1）证明函数的图象关于直线对称；（2）当时，讨论方程解的个数； （3）若满足，但，则称为函数的二阶周期点，则是否有两个二阶周期点，说明理由.    
参考答案：1．[﹣2，0]【解析】【分析】根据cosx范围确定函数f（x）自变量，再根据条件确定值域.【详解】∵f（x）的定义域是[﹣1，1]，值域是[﹣2，0]，而cosx∈[﹣1，1]，故f（cosx）的值域是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]．【点睛】本题考查函数定义域与值域，考查基本分析求解能力，属基础题.2．3x﹣4y+5=0【解析】【分析】根据加减消元得普通方程.【详解】故答案为：【点睛】本题考查参数方程化普通方程，考查基本分析求解能力，属基础题.3．8【解析】【分析】由知，可将不等式变为，利用函数单调性可得，根据线性规划的知识，知的几何意义为原点与可行域中的点的距离的平方，从而可知所求最小值为到直线的距离的平方，利用点到直线距离公式求得结果.【详解】由得：等价于为上的增函数       ，即则可知可行域如下图所示：则的几何意义为原点与可行域中的点的距离的平方可知到直线的距离的平方为所求的最小值本题正确结果；【点睛】本题考查函数单调性的应用、线性规划中的平方和型的最值的求解，关键是能够利用平方和的几何意义，将问题转化为两点间距离的最值的求解问题.4．【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设，利用空间向量的坐标运算可知，利用可求解.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，则，，，设则，，∴∵，∴当，时，有最小值.当点P取，，，时，有最大值1.∴的取值范围是.故答案为：【点睛】方法点睛：利用几何意义求最值的几种常见形式有：①截距型：，将问题转化为在轴截距的问题；②斜率型：，将问题转化为与连线斜率的问题；③两点间距离型：，将问题转化为与两点间距离的平方的问题；④点到直线距离型：，将问题转化为到直线的距离的倍的问题.5．【解析】【分析】设球的半径为，由球的体积求出的值，再由球的表面积公式即可求解.【详解】设球的半径为，由题意可得：，所以解得：，所以该球的表面积为,故答案为：.6．64【解析】【分析】设公比为，利用求得，结合等比数列通项公式求得，将所求式子变为，利用二次函数性质求得的最大值，代入即可得到所求的最大值.【详解】设等比数列公比为，则，解得：       当或时，       故答案为：【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量和最值问题的求解，关键是能够将所求的前项积表示为关于的复合函数的形式，结合二次函数的最值与指数函数的性质可求得结果；易错点是忽略的条件，造成二次函数最值求解错误.7．472【解析】【分析】利用间接法，先求出不考虑特殊情况共有多少种取法，再减去每一种小球各取三个和两个红色小球的情况，即为所求.【详解】由题意，不考虑特殊情况，共有C163＝560种取法，其中每一种小球各取三个，有4C43＝16种取法，两个红色小球，共有C42C121＝72种取法，故所求的取法共有560﹣16﹣72＝472种．故答案为：472．8．【解析】【分析】根据奇偶性的判定可知为奇函数，由此可知关于原点对称，关于原点对称；利用直线方程的求法可求得直线，进而得到原点到直线的距离，利用两点间距离公式可求得，由可求得结果.【详解】由得：或，即定义域为为定义在上的奇函数与关于原点对称，与关于原点对称       又       直线方程为：，即到直线距离，又故答案为：【点睛】本题考查四边形面积的求解问题，涉及到函数奇偶性与对称性的应用、直线方程的求解、两点间距离公式和点到直线距离公式的应用等知识；关键是能够根据对称性确定所求四边形面积为面积的四倍.9． 【解析】【分析】根据二项式定理的推导过程构造出函数，当时，函数的值就是所有子集的乘积．【详解】集合的所有非空子集的乘积之和为函数展开式中所有项数之和令，故答案为【点睛】本题主要考查的是元素与集合关系的判定，函数展开式的系数问题，构造函数求解，注意转化思想的应用，属于难题．10．##1.5【解析】【分析】，把代入得，代入得，根据二次函数配方可得答案.【详解】，把代入得，又因为，代入得，根据二次函数配方得：，即当时，达到最大.故答案为：1.5 .11．【解析】【详解】试题分析：先将函数写出分段函数，结合三角函数的图象，再确定|x2﹣x1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值，由此可得结论．解：由题意可得，f（x）=，若f（x1）≤f（x）≤f（x2）恒成立，则f（x1）为函数的最小值，f（x2）为函数的最大值．|x2﹣x1|的最小值为相邻最小值与最大值处横坐标差的绝对值．由于x=时，函数取得最大值2，x=时，sinπx=cosπx=﹣，函数取得最小值，∴|x2﹣x1|的最小值为﹣=，故答案为．考点：正弦函数的图象．12．【解析】【分析】利用三角函数的图象与性质、诱导公式和数列的递推公式，可得，再利用“累加”法和等差数列的前n项和公式，即可求解．【详解】由题意，因为，当时，，又因为对任意的实数，总有两个不同的根，所以，所以，又，对任意的实数，总有两个不同的根，所以，又，对任意的实数，总有两个不同的根，所以，由此可得，所以，所以．故答案为．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，以及诱导公式，数列的递推关系式和“累加”方法等知识的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．13．D【解析】【详解】设m在平面上的投影，与直线l交于点O.在平面上，以O为原点、直线l为y轴建立直角坐标系.则设的方程为.又设点P（x， y）.则点P到直线l的距离，点P到直线的距离为.从而，点P到直线m的距离平方等于，其中，a为直线m到平面的距离.因此，点P的轨迹方程为，即为双曲线.14．B【解析】【分析】由，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]＝63，化简可得（n+1）（2x0+n+1）＝63，由，得或 ，解出即可．【详解】由，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]＝63所以2（n+1）x0+2（1+2+…n）+（n+1）＝63，即（n+1）（2x0+n+1）＝63，由，得或，解得或，所以函数f（x）的“生成点”为（1，6），（9，2）．故选B．【点睛】本题考查数列求和及函数求值，考查学生对问题的阅读理解能力解决问题的能力，属于基础题．15．A【解析】【详解】由题意得所以考点：圆的切线长，椭圆定义16．D【解析】【分析】根据题意，分析点与点是否在曲线上，可判断①②；由曲线的方程可知、均没有最大值和最小值可以判断③；曲线与圆、曲线联立可判断④⑤；【详解】根据题意，对于①，将原方程中的换成，换成，方程不变，所以曲线关于原点对称，故①正确；对于②，将原方程中的换成，换成，方程与原方程相同，故②正确；对于③，曲线方程中，、均没有最大值和最小值，则不是封闭图形，故③错误；对于④，曲线：与圆：联立无解，所以曲线与圆无公共点，故④正确；对于⑤，时，曲线与曲线只有一个公共点，根据对称性，可得曲线与曲线有且只有四个公共点，故⑤正确。故选：【点睛】本题主要考查曲线与方程，根据所给方程研究曲线的性质以及判断与其他曲线的交点问题。17．(1)证明见解析；(2).【解析】【分析】（1）证明，原题即得证；（2）以为原点，方向直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解.(1)解：因为，且，，所以，所以．因为为正三角形，所以，又由已知可知为平面四边形，所以．因为平面，平面，所以平面．(2)解：由点在平面上的射影为可得平面，所以，．如图，以为原点，方向直线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则由已知可知，1，，，，，，0，，，，．平面的法向量，0，，所以,设，，为平面的一个法向量，则由，得，令，则，，所以平面的一个法向量， ，所以，由图象知二面角是钝二面角，所以二面角的余弦值为.18．(1)(2)【解析】【分析】（1）如图，即直线CD的斜率，点，根据点斜式可直接求出直线CD的方程；（2）由可知，由可得关于点P横坐标x的函数，进而求出视角最大时，点的坐标．【详解】解：（1）由题意知 则直线的斜率为（2）记 等号当当观测者位于处视角最大为【点睛】本题考查三角函数实际应用，解题关键在于用已知条件表示出，得到关于x的函数．19．（1）；（2）100千件．【解析】（1）根据题中条件分段即可求出；（2）分段求出最值，再比较即可得出.【详解】（1）由题可知当时，，当时，，；（2）时，，则时有最大值950；时，，时，，时取等，则时有最大值1000；综上，年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．20．（1）；（2）（）；（3）.【解析】【分析】（1）根据题意可得，由此求得椭圆方程。（2）设，利用点差法求出线段中点的轨迹方程。（3）设直线的方程为： ，直线的方程为： ，联立求得，由此证明点的横坐标为定值。【详解】（1）椭圆两顶点，短轴长为，焦距为，，解得椭圆方程为：.（2）设，则 ①， ②，则①②得，， 即 .线段中点的轨迹方程为：.（3）证明：设直线的方程为： ，直线的方程为： ，两式联立可得： 由①②得 即 ③，又三点共线，则④，②代入③得 把③④代入⑤整理得.【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的综合问题，掌握直线与圆锥曲线的位置关系，合理运用数形结合、整体代入等思想和方法。21．（1）略；（2）当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解；当时，方程有4个解；（3）只有是二阶周期点.【解析】【分析】（1）根据函数对称的性质即可证明函数的图像关于直线对称。（2）当时，求出的表达式，利用数形结合得到结论。（3）根据阶周期点的定义，分别求满足条件的，即可得到结论。【详解】（1）证明：设点为上任意一点，则，所以，函数的图像关于直线对称。（2）当时， ，所以，当时，方程有个解；时，方程有个解；当时，方程有个解；当时，方程有个解。综上：当或时，方程有个解；当时，方程有个解；当时，方程有个解。（3）因为 ，所以当，若，即，若，即 ，当，同理可得：时，；时，.所以 ，从而由得 ，又 ， ， ，所以只有是二阶周期点。【点睛】本题主要考查函数的图像与性质，熟练运用数形结合的思想，利用分类讨论得出答案。