2021-2022学年北京市丰台区八年级（下）期中数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年北京市丰台区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 如图，数轴上点表示的数为，，且，以原点为圆心，为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4. 菱形的两条对角线长分别是和，则它的面积是(    )

A.  B.   C.   D.  

5. 下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

6. 菱形和矩形都具有的性质是(    )

A. 对角线互相垂直 B. 对角线长度相等
C. 对角线平分一组对角 D. 对角线互相平分

7. 如图，在中，，，，则边上的高的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 如图、在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别是，，点在轴上，则点的横坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 在平行四边形中，为的中点，点，为边上任意两个不重合的动点不与端点重合，的延长线与交于点，的延长线与交于点下面四个推断：；；若平行四边形是菱形，则至少存在一个四边形是菱形；对于任意的平行四边形，存在无数个四边形是矩形，其中，所有正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

10. 如图，有一个球形容器，小海在往容器里注水的过程中发现，水面的高度、水面的面积及注水量是三个变量．下列有四种说法：
    是的函数；是的函数；是的函数，是的函数．
    其中所有正确结论的序号是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共16分）

11. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12. 函数的自变量的取值范围是______．
13. 如图，在中，，点是的中点，，，则 ______ ．

14. 如图，请给矩形添加一个条件，使它成为正方形，则此条件可以为______ ．
15. 如图，在▱中，，，于，则 ______ ．

16. 我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示．在图中，若正方形的边长为，正方形的边长为，且，则正方形的边长为______．

17. 如图，把矩形沿直线向上折叠，使点落在点的位置上，交于点，若，，则的长为______．

18. 如图，菱形的边长为，，点是的中点，点是上一动点，则的最小值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共54分）

19. 计算：
    ；
    ；
    ；
    ．
20. 如图，在中，于点，，，求与的面积．

21. 已知：．
    求作：的平分线；
    作法：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；
    分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧在的内部相交于点；
    画射线．
    射线即为所求．
    使用直尺和圆规，依作法补全图形保留作图痕迹；
    完成下面的证明．
    证明：连接，．
    由作法可知．
    四边形是______，
    平分______填推理的依据．

22. 已知：如图，、分别是▱的边、上的点，且．
    求证：．

23. 如图，在中，，为边上的中线，点与点关于直线对称，连接、．
    求证：四边形是菱形；
    连接，若，，求的长．

24. 如图，在▱中，于点点，延长至点使，连接，，．
    求证：四边形是矩形；
    若，，，求的长．

25. 在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下：
    对于两个数，，称为，这两个数的算术平均数，称为，这两个数的几何平均数，称为，这两个数的平方平均数．
    小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整：
    若，，则______，______，______；
    小聪发现当，两数异号时，在实数范围内没有意义，所以决定只研究当，都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题：
    如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图中阴影部分的面积可以表示．
    
    请分别在图，图中用阴影标出一个面积为，的图形；
    借助图形可知当，都是正数时，，，的大小关系是______把，，从小到大排列，并用“”或“”号连接．
26. 已知：如图，为正方形的边延长线上一动点，且，连接点与点关于直线对称，过点作于点，直线与直线交于点．
    依题意补全图；
    若，请直接写出 ______ 用含的式子表示；
    用等式表示与的数量关系，并证明．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．，即被开方数中含有能开得尽方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B.是最简二次根式，故本选项符合题意；
C.，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.，即被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，注意：满足以下两个条件：被开方数中的因式是整式，因数是整数，被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数，像这样的二次根式叫最简二次根式．．
 

2.【答案】 

【解析】解：如图，在中，，则．
以为圆心，以为半径画弧，交数轴的正半轴于点，
，
点表示的实数是．
故选：．
根据勾股定理，结合数轴即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，实数与数轴以及复杂作图，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：菱形的两条对角线长分别是和，
它的面积是：
故选：．
由菱形的两条对角线长分别是和，利用菱形的面积等于其对角线积的一半求解，即可求得答案．
此题考查了菱形的性质．此题比较简单，注意掌握菱形的面积等于其对角线积的一半定理的应用是解此题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：、与不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意．
B、原式，故B不符合题意．
C、原式，故C符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据二次根式的加减运算法则以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

6.【答案】 

【解析】解：矩形的对角线相等且互相平分，菱形的对角线垂直且互相平分，
菱形和矩形都具有的性质为对角线互相平分，
故选：．
利用矩形的性质和菱形的性质可求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：在中，，，，则由勾股定理得到：．
，
．
故选：．
由勾股定理求出，由三角形的面积的计算方法即可求出斜边上的高的长．
本题考查了勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：连接，

点，点，
，
四边形是矩形，
，
点的横坐标为，
故选：．
由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解．
本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，

四边形是平行四边形，
四边形是中心对称图形，则其对称中心是对角线的中点，
，，
故有且仅有当时，，故错误；
如图，

由得，，
四边形是平行四边形，
，故正确；
如图，

四边形是菱形，
即，
点，在边上，且不与端点，重合，
，
不存在一个四边形是菱形，故错误；
如图，存在无数点使，
平行四边形是中心对称图形，
，，
四边形是平行四边形，
又，有无数次垂直，
所以，存在无数个四边形是矩形，故正确，
正确的结论是，
故选：．
分别根据平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定进行判断即可得到正确的结论．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，矩形的判定进行判断，熟练掌握相关判定与性质是解答此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：因为这是球形容器，
是的函数，故符合题意，
不是的函数，故不符合题意，
不是的函数，故不符合题意，
是的函数．故符合题意．
故选：．
根据函数的定义可知，满足对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可判断函数．
本题主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量，，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量，根据球形容器，水面的高度和注水量对应有两个水面的面积是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：若在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意，得
，
解得，
故答案为：．
根据分母不能为零，可得答案．
本题考查了函数自变量的取值范围，利用分母不能为零得出不等式是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：，，，
，
点是斜边的中点，
．
故答案为：．
直接利用勾股定理得出的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出答案即可．
此题主要考查了勾股定理以及直角三角形的性质，正确掌握直角三角形的性质是解题关键．
 

14.【答案】答案不唯一 

【解析】解：添加的条件可以是理由如下：
四边形是矩形，，
四边形是正方形．
故答案为：答案不唯一．
根据正方形的判定添加条件即可．
本题考查了矩形的性质，正方形的判定，能熟记正方形的判定定理是解此题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由平行四边形中，易得，又因为，所以；再根据，可得．
此题主要考查了是平行四边形的性质，以及等腰三角形的性质，关键是掌握平行四边形的对角相等．
 

16.【答案】 

【解析】解：

，

，
．
答：正方形的边长为．
故答案为：．
根据正方形面积公式，由面积的和差关系可得个直角三角形的面积，进一步得到个直角三角形的面积，再由面积的和差关系可得正方形的面积，进一步求出正方形的边长．
考查了勾股定理的证明，关键是熟练掌握正方形面积公式，以及面积的和差关系，难点是得到正方形的面积．
 

17.【答案】 

【解析】解：四边形是矩形，
，，
是由折叠得到，
，
，
，
，
，
设，则，，
在中，，
，
解得：，
则的长为：．
故答案为：．
先根据折叠的性质得到，再由得到，则，可判断，设，则，然后在中利用勾股定理得到，再解方程即可得出以及的长．
本题考查了矩形的性质、折叠变换的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；熟练掌握折叠变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：连接，，与交点即为点，过点作，交延长线于，
菱形，
与关于对称，
，
，
，点是的中点，
，
，
，
在中，，，
，，
在中，，，
，
故答案为．
连接，，与交点即为点，过点作，交延长线于，则，在中，求出，，在中，求出，则可求的最小值．
本题考查轴对称求最短距离，灵活运用菱形的对称性，将所求的最小值转化为求的长是解题的关键．
 

19.【答案】解：


．



．



．



． 

【解析】先化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算．
利用平方差公式计算．
先化简二次根式，并利用绝对值的定义去掉绝对值符号，再合并计算．
利用二次根式的乘法和除法运算法则计算．
本题考查实数的混合运算，涉及到二次根式的性质及相关运算、去绝对值运算、平方差公式的运用等知识，熟练掌握相关运算法则是解决问题的关键．
 

20.【答案】解：于点，，，


，
，


，



． 

【解析】利用勾股定理求得的长度，再次利用勾股定理可求得的长度，从而结合三角形的面积公式可求的面积．
本题主要考查三角形的面积，勾股定理，解答的关键是利用勾股定理求得的长与的长．
 

21.【答案】解：如图，射线即为所求．

菱形；菱形的对角线平分一组对角． 

【解析】解：见答案．
连接，．
由作法可知．
四边形是菱形，
平分菱形的对角线平分一组对角．
故答案为：菱形；菱形的对角线平分一组对角．
根据要求作出图形即可．
利用菱形的性质解决问题即可．
本题考查作图复杂作图，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用菱形的性质解决问题．
 

22.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】先由平行四边形的对边平行得出，再根据平行线的性质得到，而，于是，根据平行线的判定得到，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，从而根据平行四边形的对边相等得到．
本题考查了平行四边形的判定与性质，平行线的判定与性质，难度适中．证明出是解题的关键．
 

23.【答案】证明：连接，交于，

点与点关于直线对称，
是线段的垂直平分线，
，，
，为的中点，
，
，
四边形是菱形；

解：过作，交的延长线于，

，，，
，
，
由勾股定理得，
四边形是菱形，，
，，
，，
，
，，，
由勾股定理得：，
，
由勾股定理得：． 

【解析】连接，交于，根据轴对称性质得出，，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，再根据菱形的判定得出即可；
过作，交的延长线于，求出和长，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了轴对称的性质，菱形的性质和判定，直角三角形斜边上的中线性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，能熟记菱形的性质和判定、直角三角形斜边上的中线性质、含角的直角三角形的性质是解此题的关键．
 

24.【答案】证明：，
．
即 ．
在▱中，且，
且．
四边形是平行四边形．
，
．
四边形是矩形；

解：四边形是矩形，，
．
，，
．
．
，
的面积．
． 

【解析】先证明四边形是平行四边形，再证明即可．
证明是直角三角形，由三角形的面积即可得出的长．
本题考查矩形的性质、菱形的性质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握这些知识的应用，属于中考常考题型．
 

25.【答案】     

【解析】解：当，时，，，，
故答案为：，，；
，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：

，
则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：

由可知，，当且仅当，即时，等号成立，
，都是正数，
，，都是正数，，
故答案为：．
将，分别代入，，求值即可得；
分别求出，，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；
根据中的所画的图形可得，由此即可得出结论．
本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键．
 

26.【答案】解：补全图形如图，



与的数量关系为．
证明：如图，在上取点，使得，连接，

四边形是正方形，
，，，
，
，
，
点与点关于直线对称，
，且点在上，
，
于点，
，
，
在和中，

≌，
，
，，
，
． 

【解析】解：见答案；
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为．
见答案．

由题意补全图形即可；
由正方形的性质得出，由直角三角形的性质可得出答案；
在上取点，使得，连接，由正方形的性质得出，，，证明≌，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质可得出答案．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，对称的性质，等腰直角三角形的性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．