2021-2022学年陕西省安康市汉滨区初中数学毕业考试模拟冲刺卷含解析

这是一份2021-2022学年陕西省安康市汉滨区初中数学毕业考试模拟冲刺卷含解析，共23页。试卷主要包含了计算﹣2+3的结果是，下列算式中，结果等于a5的是等内容，欢迎下载使用。

2021-2022中考数学模拟试卷
考生须知：
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．若数a使关于x的不等式组有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y的分式方程+3=有整数解，则满足条件的所有整数a的个数是（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．如图，将RtABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到A' B'C，连接AA'，若∠1=20°，则∠B的度数是( )

A．70° B．65° C．60° D．55°
3．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中结论正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
4．计算﹣2+3的结果是（　　）
A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣6
5．在0，-2，5，，-0.3中，负数的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下列算式中，结果等于a5的是（　　）
A．a2+a3 B．a2•a3 C．a5÷a D．（a2）3
7．如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则BD两点间的距离为（ ）

A．2 B． C． D．
8．已知a﹣b=1，则a3﹣a2b+b2﹣2ab的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
9．甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．一元一次不等式组的解集中，整数解的个数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
11．在平面直角坐标系中，若点A(a，－b)在第一象限内，则点B(a，b)所在的象限是(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．下列运算正确的是( )
A．4x+5y=9xy B．（−m）3•m7=m10
C．（x3y）5=x8y5 D．a12÷a8=a4
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与轴相交于点A、B，若其对称轴为直线x=2，则OB–OA的值为_______．

14．分解因式：__________．
15．如图，在4×4的方格纸中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形．O、A、B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB周长等于_____．（结果保留根号及π）．

16．电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB=AC=BC=1．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0=2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1（第1次落点）处，且CP1= CP0；第二步从P1跳到AB边的P2（第2次落点）处，且AP2= AP1；第三步从P2跳到BC边的P3（第3次落点）处，且BP3= BP2；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn（n为正整数），则点P2016与点P2017之间的距离为_________．

17．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y=（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，∠AOB=∠OBA=45°，则k的值为_______．

18．一艘轮船在小岛A的北偏东60°方向距小岛80海里的B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，则该船行驶的速度为____________海里/时．
三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（6分）如图所示，点P位于等边的内部，且∠ACP=∠CBP．
(1)∠BPC的度数为________°；
(2)延长BP至点D，使得PD=PC，连接AD，CD．
①依题意，补全图形；
②证明：AD+CD=BD；
(3)在(2)的条件下，若BD的长为2，求四边形ABCD的面积．

20．（6分）尺规作图：校园有两条路OA、OB，在交叉路口附近有两块宣传牌C、D，学校准备在这里安装一盏路灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P．（不写画图过程，保留作图痕迹）

21．（6分）如图，已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0，3），与x轴分别交于点A，点B（3，0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．

22．（8分）九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销售量的相关信息如下表：
时间x（天）

1≤x＜50

50≤x≤90

售价（元/件）

x＋40

90

每天销量（件）

200－2x

已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元[求出y与x的函数关系式；问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果.
23．（8分）某新建成学校举行美化绿化校园活动，九年级计划购买A，B两种花木共100棵绿化操场，其中A花木每棵50元，B花木每棵100元．
（1）若购进A，B两种花木刚好用去8000元，则购买了A，B两种花木各多少棵？
（2）如果购买B花木的数量不少于A花木的数量，请设计一种购买方案使所需总费用最低，并求出该购买方案所需总费用．
24．（10分）如图，AD是⊙O的直径，AB为⊙O的弦，OP⊥AD，OP与AB的延长线交于点P，过B点的切线交OP于点C．求证：∠CBP=∠ADB．若OA=2，AB=1，求线段BP的长.

25．（10分）路边路灯的灯柱垂直于地面，灯杆的长为2米，灯杆与灯柱成角，锥形灯罩的轴线与灯杆垂直，且灯罩轴线正好通过道路路面的中心线（在中心线上）.已知点与点之间的距离为12米，求灯柱的高.（结果保留根号）
26．（12分）如图，已知：AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD是⊙O的切线，AD⊥CD于点D，E是AB延长线上一点，CE交⊙O于点F，连接OC、AC．
（1）求证：AC平分∠DAO．
（2）若∠DAO=105°，∠E=30°
①求∠OCE的度数；
②若⊙O的半径为2，求线段EF的长．

27．（12分）如图，已知是的外接圆，圆心在的外部，，，求的半径.




参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1、D
【解析】
由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a的值即可．
【详解】
不等式组整理得：，
由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x＞-3的解，得到-3＜a-1≤3，
即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4，
分式方程去分母得：5-y+3y-3=a，即y=，
由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个，
故选：D．
【点睛】
本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2、B
【解析】
根据图形旋转的性质得AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，从而得∠AA′C=45°，结合∠1=20°，即可求解．
【详解】
∵将RtABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到A' B'C，
∴AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，
∴∠AA′C=45°，
∵∠1=20°，
∴∠B′A′C=45°-20°=25°，
∴∠A′B′C=90°-25°=65°，
∴∠B=65°．
故选B．
【点睛】
本题主要考查旋转的性质，等腰三角形和直角三角形的性质，掌握等腰三角形和直角三角形的性质定理，是解题的关键．
3、C
【解析】
试题解析：∵图象与x轴有两个交点，
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，
①正确；
∵﹣=﹣1，
∴b=2a，
∵a+b+c＜0，
∴b+b+c＜0，3b+2c＜0，
∴②是正确；
∵当x=﹣2时，y＞0，
∴4a﹣2b+c＞0，
∴4a+c＞2b，
③错误；
∵由图象可知x=﹣1时该二次函数取得最大值，
∴a﹣b+c＞am2+bm+c（m≠﹣1）．
∴m（am+b）＜a﹣b．故④正确
∴正确的有①②④三个，
故选C．
考点：二次函数图象与系数的关系．
【详解】
请在此输入详解！
4、A
【解析】
根据异号两数相加的法则进行计算即可．
【详解】
解：因为-2，3异号，且|-2|＜|3|，所以-2+3=1．
故选A．
【点睛】
本题主要考查了异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．
5、B
【解析】
根据负数的定义判断即可
【详解】
解：根据负数的定义可知，这一组数中，负数有两个，即-2和-0.1．
故选B．
6、B
【解析】
试题解析：A、a2与a3不能合并，所以A选项错误；
B、原式=a5，所以B选项正确；
C、原式=a4，所以C选项错误；
D、原式=a6，所以D选项错误．
故选B．
7、C
【解析】
解：连接BD．在△ABC中，∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=2．∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=4，DE=3，∴BE=2．在Rt△BED中，BD=．故选C．

点睛：本题考查了勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．
8、C
【解析】
先将前两项提公因式，然后把a﹣b=1代入，化简后再与后两项结合进行分解因式，最后再代入计算．
【详解】
a3﹣a2b+b2﹣2ab=a2（a﹣b）+b2﹣2ab=a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2=1．
故选C．
【点睛】
本题考查了因式分解的应用，四项不能整体分解，关键是利用所给式子的值，将前两项先分解化简后，再与后两项结合．
9、A
【解析】
设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．
解：设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意得：
=，
故选A．
10、C
【解析】
试题分析：∵解不等式得：，解不等式，得：x≤5，∴不等式组的解集是，整数解为0，1，2，3，4，5，共6个，故选C．
考点：一元一次不等式组的整数解．
11、D
【解析】
先根据第一象限内的点的坐标特征判断出a、b的符号，进而判断点B所在的象限即可.
【详解】
∵点A(a，-b)在第一象限内，
∴a>0，-b>0，
∴b<0，
∴点B((a，b)在第四象限，
故选D．
【点睛】
本题考查了点的坐标，解决本题的关键是牢记平面直角坐标系中各个象限内点的符号特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
12、D
【解析】
各式计算得到结果，即可作出判断．
【详解】
解：A、4x+5y=4x+5y，错误；
B、（-m）3•m7=-m10，错误；
C、（x3y）5=x15y5，错误；
D、a12÷a8=a4，正确；
故选D．
【点睛】
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
13、4
【解析】
试题分析：设OB的长度为x，则根据二次函数的对称性可得：点B的坐标为(x+2，0)，点A的坐标为(2-x，0)，则OB-OA=x+2-(x-2)=4.
点睛：本题主要考查的就是二次函数的性质.如果二次函数与x轴的两个交点坐标为(，0)和(，0)，则函数的对称轴为直线：x=.在解决二次函数的题目时，我们一定要注意区分点的坐标和线段的长度之间的区别，如果点在x的正半轴，则点的横坐标就是线段的长度，如果点在x的负半轴，则点的横坐标的相反数就是线段的长度.
14、3（m-1）2
【解析】
试题分析：根据因式分解的方法，先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可，即3m2-6m+3=3（m2-2m+1）=3（m-1）2.
故答案为：3（m-1）2
点睛：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式，完全平方公式）、三检查（彻底分解）.
15、π+4
【解析】
根据正方形的性质，得扇形所在的圆心角是90°，扇形的半径是2．
解：根据图形中正方形的性质，得
∠AOB=90°，OA=OB=2．
∴扇形OAB的弧长等于π．
16、3
【解析】
∵△ABC为等边三角形，边长为1，根据跳动规律可知，
∴P0P1=3，P1P2=2，P2P3=3，P3P4=2，…
观察规律：当落点脚标为奇数时，距离为3，当落点脚标为偶数时，距离为2，
∵2017是奇数，
∴点P2016与点P2017之间的距离是3．
故答案为：3．
【点睛】考查的是等边三角形的性质，根据题意求出P0P1，P1P2，P2P3，P3P4的值，找出规律是解答此题的关键．
17、
【解析】
分析：过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，则OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，由等腰三角形的判定与性质得出OA=BA，∠OAB=90°，证出∠AOM=∠BAN，由AAS证明△AOM≌△BAN，得出AM=BN=1，OM=AN=k，求出B（1+k，k﹣1），得出方程（1+k）•（k﹣1）=k，解方程即可．
详解：如图所示，过A作AM⊥y轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，

则OD=MN，DN=OM，∠AMO=∠BNA=90°，
∴∠AOM+∠OAM=90°，
∵∠AOB=∠OBA=45°，
∴OA=BA，∠OAB=90°，
∴∠OAM+∠BAN=90°，
∴∠AOM=∠BAN，
∴△AOM≌△BAN，
∴AM=BN=1，OM=AN=k，
∴OD=1+k，BD=OM﹣BN=k﹣1
∴B（1+k，k﹣1），
∵双曲线y=（x＞0）经过点B，
∴（1+k）•（k﹣1）=k，
整理得：k2﹣k﹣1=0，
解得：k=（负值已舍去），
故答案为．
点睛：本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识.解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形.
【详解】
请在此输入详解！
18、
【解析】
设该船行驶的速度为x海里/时，由已知可得BC＝3x，AQ⊥BC，∠BAQ＝60°，∠CAQ＝45°，AB＝80海里，在直角三角形ABQ中求出AQ、BQ，再在直角三角形AQC中求出CQ，得出BC＝40＋40＝3x，解方程即可．
【详解】
如图所示：

该船行驶的速度为x海里/时，
3小时后到达小岛的北偏西45°的C处，
由题意得：AB＝80海里，BC＝3x海里，
在直角三角形ABQ中,∠BAQ＝60°，
∴∠B＝90°−60°＝30°，
∴AQ＝AB＝40,BQ＝AQ＝40，
在直角三角形AQC中,∠CAQ＝45°，
∴CQ＝AQ＝40，
∴BC＝40＋40＝3x，
解得：x＝.
即该船行驶的速度为海里/时；
故答案为：.
【点睛】
本题考查的是解直角三角形，熟练掌握方向角是解题的关键.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19、（1）120°；（2）①作图见解析；②证明见解析；（3） .
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形的性质，可知∠ACB=60°，在△BCP中，利用三角形内角和定理即可得；
（2）①根据题意补全图形即可；
②证明，根据全等三角形的对应边相等可得，从而可得；
（3）如图2，作于点，延长线于点，根据已知可推导得出，由（2）得，，根据 即可求得.
【详解】（1）∵三角形ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，即∠ACP+∠BCP=60°，
∵∠BCP+∠CBP+∠BPC=180°，∠ACP=∠CBP，
∴∠BPC=120°，
故答案为120；
(2)①∵如图1所示.

②在等边中，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴
在和中，
，
∴ ，
∴，
∴；
（3）如图2，作于点，延长线于点，

∵，
∴，
∴，
∴，
又由（2）得，，

.
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握相关性质定理、正确添加辅助线是解题的关键.
20、见解析.
【解析】
分别作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，它们的交点即为点P．
【详解】
如图，点P为所作．

【点睛】
本题考查了作图−应用与设计作图，熟知角平分线的性质与线段垂直平分线的性质是解答此题的关键．
21、（1）y=﹣x2+2x+3（2）（，）（3）当点P的坐标为（，）时，四边形ACPB的最大面积值为
【解析】
（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P点坐标；
（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．
【详解】
（1）将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

解得
二次函数的解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，
如图1，连接PP′，则PE⊥CO，垂足为E，

∵C（0，3），
∴
∴点P的纵坐标，
当时，即
解得（不合题意，舍），
∴点P的坐标为
（3）如图2，

P在抛物线上，设P（m，﹣m2+2m+3），
设直线BC的解析式为y=kx+b，
将点B和点C的坐标代入函数解析式，得

解得
直线BC的解析为y=﹣x+3，
设点Q的坐标为（m，﹣m+3），
PQ=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m．
当y=0时，﹣x2+2x+3=0，
解得x1=﹣1，x2=3，
OA=1，

S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ



当m=时，四边形ABPC的面积最大．
当m=时，，即P点的坐标为
当点P的坐标为时，四边形ACPB的最大面积值为．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用菱形的性质得出P点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质．
22、（1）；（2）第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）41.
【解析】
（1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案.
（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案.
（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．
【详解】
（1）当1≤x＜50时，，
当50≤x≤90时，，
综上所述：.
（2）当1≤x＜50时，二次函数开口下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=-2×452+180×45+2000=6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元.
（3）解，结合函数自变量取值范围解得，
解，结合函数自变量取值范围解得
所以当20≤x≤60时，即共41天，每天销售利润不低于4800元．
【点睛】
本题主要考查了1.二次函数和一次函数的应用（销售问题）；2.由实际问题列函数关系式；3. 二次函数和一次函数的性质；4.分类思想的应用．
23、（1）购买A种花木40棵，B种花木60棵；（2）当购买A种花木50棵、B种花木50棵时，所需总费用最低，最低费用为7500元．
【解析】
（1）设购买A种花木x棵，B种花木y棵，根据“A，B两种花木共100棵、购进A，B两种花木刚好用去8000元”列方程组求解可得；
（2）设购买A种花木a棵，则购买B种花木（100﹣a）棵，根据“B花木的数量不少于A花木的数量”求得a的范围，再设购买总费用为W，列出W关于a的解析式，利用一次函数的性质求解可得．
【详解】
解析：（1）设购买A种花木x棵，B种花木y棵，
根据题意，得：，解得：，
答：购买A种花木40棵，B种花木60棵；
（2）设购买A种花木a棵，则购买B种花木（100﹣a）棵，
根据题意，得：100﹣a≥a，解得：a≤50，
设购买总费用为W，则W=50a+100（100﹣a）=﹣50a+10000，
∵W随a的增大而减小，∴当a=50时，W取得最小值，最小值为7500元，
答：当购买A种花木50棵、B种花木50棵时，所需总费用最低，最低费用为7500元．
考点：一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用.
24、（1）证明见解析；（2）BP=1.
【解析】
分析：（1）连接OB，如图，根据圆周角定理得到∠ABD=90°，再根据切线的性质得到∠OBC=90°，然后利用等量代换进行证明；
（2）证明△AOP∽△ABD，然后利用相似比求BP的长．
详（1）证明：连接OB，如图，

∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∴∠A+∠ADB=90°，
∵BC为切线，
∴OB⊥BC，
∴∠OBC=90°，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
而OA=OB，
∴∠A=∠OBA，
∴∠CBP=∠ADB；
（2）解：∵OP⊥AD，
∴∠POA=90°，
∴∠P+∠A=90°，
∴∠P=∠D，
∴△AOP∽△ABD，
∴，即，
∴BP=1．
点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
25、
【解析】
设灯柱BC的长为h米，过点A作AH⊥CD于点H，过点B作BE⊥AH于点E，构造出矩形BCHE，Rt△AEB，然后解直角三角形求解．
【详解】
解：设灯柱的长为米，过点作于点过点做于点

∴四边形为矩形，
∵∴
又∵∴
在中，
∴

∴又∴
在中，

解得，（米）
∴灯柱的高为米.
26、（1）证明见解析；（2）①∠OCE=45°；②EF =-2.
【解析】
【试题分析】（1）根据直线与⊙O相切的性质，得OC⊥CD.
又因为AD⊥CD，根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线也平行，得：AD//OC. ∠DAC=∠OCA.又因为OC=OA，根据等边对等角，得∠OAC=∠OCA.等量代换得：∠DAC=∠OAC.根据角平分线的定义得：AC平分∠DAO.
（2）①因为 AD//OC，∠DAO=105°，根据两直线平行，同位角相等得，∠EOC=∠DAO=105°，在 中，∠E=30°，利用内角和定理，得：∠OCE=45°.
②作OG⊥CE于点G，根据垂径定理可得FG=CG， 因为OC=，∠OCE=45°.等腰直角三角形的斜边是腰长的 倍，得CG=OG=2. FG=2.在Rt△OGE中，∠E=30°，得GE=， 则EF=GE-FG=-2.
【试题解析】
（1）∵直线与⊙O相切，∴OC⊥CD.
又∵AD⊥CD，∴AD//OC.
∴∠DAC=∠OCA.
又∵OC=OA，∴∠OAC=∠OCA.
∴∠DAC=∠OAC.
∴AC平分∠DAO.
（2）解：①∵AD//OC，∠DAO=105°，∴∠EOC=∠DAO=105°
∵∠E=30°，∴∠OCE=45°.
②作OG⊥CE于点G，可得FG=CG
∵OC=，∠OCE=45°.∴CG=OG=2.
∴FG=2.
∵在Rt△OGE中，∠E=30°，∴GE=.
∴EF=GE-FG=-2.

【方法点睛】本题目是一道圆的综合题目，涉及到圆的切线的性质，平行线的性质及判定，三角形内角和，垂径定理，难度为中等.
27、4
【解析】
已知△ABC是等腰三角形，根据等腰三角形的性质，作于点，则直线为的中垂线，直线过点，在Rt△OBH中，用半径表示出OH的长，即可用勾股定理求得半径的长．
【详解】

作于点，则直线为的中垂线，直线过点，
，，
，
即，
.
【点睛】
考查垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键.